材料力學(xué)第11章-壓桿穩(wěn)定課件

一、工程背景自動翻斗車中的活塞桿也有類似的問題。如圖示塔吊，立柱承受壓力，當(dāng)壓力過大時(shí)，立柱也有可能從直線的平衡構(gòu)形變成彎曲的平衡構(gòu)形。除此之外，組成塔吊的桁架中受壓力的桿子也可能從直線的平衡構(gòu)形變成彎曲的平衡構(gòu)形，也就是穩(wěn)定性問題。一、工程背景如圖自動升降工作臺，

受壓的桿子就存在彈性穩(wěn)定問題。

如圖示緊湊型超高壓輸電線路相間絕緣間隔棒，當(dāng)它受壓從直線的平衡構(gòu)形變成彎曲的平衡構(gòu)形時(shí)是否一定喪失正常功能呢？這需要經(jīng)過實(shí)驗(yàn)確定，觀察在不同的力的作用下彎曲到什么程度。一、工程背景工程構(gòu)件穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)壓桿穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)?zāi)_手架，當(dāng)整體承受壓力過大時(shí)，有可能從直線的平衡構(gòu)形變成彎曲的平衡構(gòu)形，導(dǎo)致坍塌。另外，組成腳手架中的受壓桿件也有可能從直線平衡構(gòu)形變成彎曲的平衡構(gòu)形，造成整個腳手架坍塌。一、工程背景1907年8月29日，加拿大圣勞倫斯河上一座長為548m的魁北克(Quebec)鋼大橋，在施工中因桁架失穩(wěn)而突然倒塌。74人墜河遇難，橋下1人（逃開），水中救起1人，河對岸1人。俄莫茲爾大橋在試車時(shí)桁架發(fā)生倒塌。

美國華盛頓鎳克爾卜克爾劇院在一場暴風(fēng)雪中，屋蓋結(jié)構(gòu)失穩(wěn)。一、壓桿的兩類力學(xué)模型1.小偏心壓桿與初彎曲壓桿2.軸心受壓直桿二、三種平衡狀態(tài)1.剛體平衡的穩(wěn)定性(1)穩(wěn)定平衡：系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。若對于離開平衡位置

的微小位移，將出現(xiàn)使系統(tǒng)回復(fù)到原有平衡位置的恢復(fù)

力，則稱系統(tǒng)原有的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。決定因素：

就在于偏離平衡位置時(shí)，是否有恢復(fù)力。(2)不穩(wěn)定平衡：系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。若稍離平衡位置，將

出現(xiàn)使系統(tǒng)不再回復(fù)到原有平衡位置(或進(jìn)一步偏離平衡

位置)的傾覆力，則稱系統(tǒng)原有的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。(3)臨界平衡：系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，如有微小干擾，物體離開平衡位置，但除去干擾后，物體不能恢復(fù)原來的平衡狀態(tài)，而在新的位置保持平衡，則物體在原來的平衡狀態(tài)稱為臨界平衡狀態(tài)。不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡隨遇平衡(臨界平衡)2.彈性平衡的穩(wěn)定性(1)穩(wěn)定平衡：系統(tǒng)處于平衡形態(tài)。若對原有平衡形態(tài)有微小的位移，其彈性回復(fù)力(或力矩)使系統(tǒng)回復(fù)原有的平衡形態(tài)，則稱系統(tǒng)原有的平衡形態(tài)是穩(wěn)定的。如圖，當(dāng)時(shí)，桿AB的鉛垂平衡形態(tài)是穩(wěn)定的。(2)不穩(wěn)定平衡:系統(tǒng)處于平衡形態(tài)。若有微小位移，其彈性回復(fù)力(或力矩)使系統(tǒng)不再回復(fù)原有的平衡形態(tài)，則稱系統(tǒng)原有的平衡形態(tài)是不穩(wěn)定的。如圖,<時(shí)，桿AB原有的鉛垂平衡形態(tài)是不穩(wěn)定的。3.彈性平衡穩(wěn)定性的特征(1)彈性平衡穩(wěn)定性是對于原來的平衡形態(tài)而言的。(2)彈性平衡的穩(wěn)定性取決桿件所受的壓力值

穩(wěn)定平衡F＜2kL

不穩(wěn)定平衡F＞2kL(3)彈性平衡的穩(wěn)定性與彈性元件的彈簧常數(shù)k和桿件的長

度L有關(guān)。(4)研究彈性平衡的穩(wěn)定性，需對結(jié)構(gòu)變形后的形態(tài)進(jìn)行分析。三、彈性平衡穩(wěn)定的計(jì)算方法1.小撓度理論：優(yōu)點(diǎn)是可以用較簡單的方法得到基本正確的結(jié)論，曲率采用近似公式。2.大撓度理論：曲率采用精確公式。11.1.2理想壓桿的穩(wěn)定性1.分支點(diǎn)失穩(wěn)——質(zhì)變失穩(wěn)(1)理想壓桿：

材料絕對理想；軸線絕對直；壓力絕對沿軸線作用。(2)理想彈性壓桿的穩(wěn)定性直線平衡構(gòu)形d彎曲平衡構(gòu)形1)壓桿的兩種平衡構(gòu)形：FP<Fcr:

直線平衡構(gòu)形FP>Fcr:彎曲平衡構(gòu)形(在擾動作用下)在擾動作用下，直線平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鈽?gòu)形，擾動除去后，能夠恢復(fù)到直線平衡構(gòu)形，則稱原來的直線平衡構(gòu)形是穩(wěn)定的。在擾動作用下，直線平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶鈽?gòu)形，擾動除去后，不能恢復(fù)到直線平衡構(gòu)形，則稱原來的直線平衡構(gòu)形是不穩(wěn)定的。2)彈性壓桿是臨界的平衡FP=Fcr:壓桿可在直線位置平衡(當(dāng)它不受干擾時(shí))，又可在

干擾給予的微彎曲線位置平衡，這種兩可性是彈性體系的臨界平衡的重要特點(diǎn)。(3)平衡路徑與平衡路徑分叉直線平衡構(gòu)形dFP<FPcr一種平衡路徑FP>FPcrd(4)分叉點(diǎn)失穩(wěn)d分叉點(diǎn)——兩條平衡路徑的交點(diǎn)B。分叉點(diǎn)失穩(wěn)——分叉點(diǎn)處原始平衡路徑與新的平衡路徑同時(shí)存在，出現(xiàn)平衡形式的二重性，這種失穩(wěn)形式稱為分叉點(diǎn)失穩(wěn)。臨界載荷——分叉點(diǎn)對應(yīng)的載荷。用FPcr或cr表示。屈曲（Buckling)與失穩(wěn)

由于壓桿的失穩(wěn)現(xiàn)象是在縱向力的作用下，使桿發(fā)生突然彎曲，所以這種彎曲也常稱為縱彎曲，這種喪失穩(wěn)定的現(xiàn)象，有時(shí)也稱屈曲。

2.極值點(diǎn)失穩(wěn)

實(shí)際壓桿總是有缺隱的(殘余應(yīng)力、初彎曲、荷載有初偏心等等)。

曲線GJK是有初撓度d0的實(shí)際壓桿的FP-d關(guān)系曲線。J點(diǎn)是極值點(diǎn)，對應(yīng)荷載FPJ是極值荷載。當(dāng)FP=FPJ后,將出現(xiàn)JK段曲線所反映的實(shí)際壓桿的崩潰現(xiàn)象——在荷載值不斷降低的情況下桿件急劇彎曲，不再能維持其原來的縮短加彎曲的變形形式。這種現(xiàn)象叫做極值點(diǎn)失穩(wěn)。它總是小于臨界荷載。五、結(jié)論

當(dāng)壓桿所受的軸向壓力達(dá)到臨界力Fcr的值時(shí)，該壓桿就處于臨界平衡狀態(tài)。在臨界平衡狀態(tài)下桿件可能在沒有受到外界干擾時(shí)還能處于原來的直線平衡狀態(tài)，也可能在受到微小干擾后保持微彎狀態(tài)下的平衡。但由于桿件總不可避免地要受到外界的干擾，而一經(jīng)干擾之后，即使還能保持微彎狀態(tài)下的平衡，但它已不能回復(fù)到它原來的直線平衡狀態(tài)，這時(shí)的壓桿實(shí)質(zhì)上是處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。因此，當(dāng)作用于壓桿的軸向壓力F=Fcr時(shí)，壓桿開始喪失穩(wěn)定。1.對于理想壓桿，穩(wěn)定性意味著壓桿維持其直線壓縮的變形

形式的能力。

由于壓桿的失穩(wěn)常常發(fā)生在桿內(nèi)的應(yīng)力還很低的時(shí)候，因此，隨著高強(qiáng)度鋼的廣泛采用，對壓桿進(jìn)行穩(wěn)定計(jì)算是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的重要部分。

2.對于實(shí)際壓桿（有缺陷的壓桿），穩(wěn)定性意味著它維持

其縮短加彎曲的變形形式的能力。11.2兩端鉸支理想細(xì)長壓桿的臨界軸力一、兩端鉸支壓桿的臨界軸力:1.公式推導(dǎo)假定壓力已達(dá)到臨界值，桿已經(jīng)處于微彎狀態(tài)，如圖，從撓曲線入手，求臨界軸力。M(x)=Fcry(x)代入撓曲線近似微分方程經(jīng)整理后得其中1.公式推導(dǎo)二階齊次線性微分方程的通解為y(0)=0,y(l)=0邊界條件1?C1+0?C2=0coskl?C1+sinkl?C2=0y(0)=0y(l)=010cosklsinkl=0零解表示未加干擾時(shí)桿可在直線位置平衡，但無助于求Fcr非零解條件sinkl=01.公式推導(dǎo)sinkl=0故但n=0時(shí)，F(xiàn)cr=0，無意義。因此，n的合理最小值是1，于是有最小臨界載荷——?dú)W拉公式歐拉公式的應(yīng)用條件：1.理想壓桿；2.線彈性范圍內(nèi)；3.兩端為球鉸支座。注：上式是由兩端為球鉸支座(各方向的約束條件相同)推出，因此I應(yīng)為截面的最小形心主慣性矩，即失穩(wěn)時(shí)，將在剛度最小的平面內(nèi)發(fā)生彎曲。2.兩端鉸支壓桿臨界平衡時(shí)的微彎撓曲線方程（1）當(dāng)n=1時(shí)，，所以

撓曲線為半波正弦曲線

當(dāng)時(shí)

失穩(wěn)撓曲線是兩個半波正弦曲線同理，當(dāng)n=3、4…時(shí)可以依此類推。11.3不同桿端約束下細(xì)長壓桿臨界軸力的歐拉公式

當(dāng)桿端為其他約束情況時(shí)，細(xì)長壓桿的臨界軸力公式可以仿照兩端鉸支壓桿臨界軸力公式的推導(dǎo)方法，根據(jù)在不同的桿端約束情況下壓桿的撓曲線近似微分方程式和撓曲線的邊界條件來推導(dǎo)。

一端固定、一端鉸支的細(xì)長壓桿，桿的長度為l，抗彎剛度為EI，承受軸向壓力Fcr，如圖所示。試推導(dǎo)其臨界軸力。推導(dǎo)

壓桿在臨界軸力作用下，將在微彎情況下保持平衡。由于固定端B產(chǎn)生反力偶MB，因此，簡支端A必有反力FBy=MB/l。由撓曲線近似微分方程得通解解得邊界條件：另，x=l,y=0,得穩(wěn)定方程桿在微彎狀態(tài)下平衡時(shí)，MB不可能等于零，于是有推導(dǎo)最小非零解kl=4.49故討論拐點(diǎn)有x1=0.3l；x2=l。推導(dǎo)x1=0.3l為撓曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)值，x2=l為上端鉸支座位置。拐點(diǎn)（反彎點(diǎn)）和鉸支座處M=0?？梢?，該壓桿可化為兩端球鉸支壓桿，其相當(dāng)長度為l0=0.7l。綜上所述：可以利用兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界軸力公式，采用類比的方法，將微彎平衡撓曲線上拐點(diǎn)視為鉸，并將壓桿在撓曲線兩拐點(diǎn)間的一段視為兩端鉸支壓桿，得到其他桿端約束情況下細(xì)長壓桿的臨界軸力公式。撓曲線兩拐點(diǎn)間的一段桿長稱為原壓桿的相當(dāng)長度或計(jì)算長度或自由長度，并用表示，—

長度因數(shù)。壓桿臨界軸力歐拉公式的一般形式各種支承約束條件下等截面細(xì)長壓桿臨界軸力的歐拉公式0.5l支承情況兩端鉸支一端固定另端鉸支兩端固定一端固定另端自由兩端固定但可沿橫向相對移動失穩(wěn)時(shí)撓曲線形狀FcrABl臨界力Fcr歐拉公式長度因數(shù)μμ=1μ0.7μ=0.5μ=2μ=1FcrABlFcrABl0.7lCCDC—撓曲線拐點(diǎn)C、D—撓曲線拐點(diǎn)0.5lFcrFcrl2llC—撓曲線拐點(diǎn)例11.4歐拉公式適用范圍臨界應(yīng)力總圖一、臨界應(yīng)力與柔度1.臨界應(yīng)力：中心壓桿處于臨界狀態(tài)

且仍在直軸線狀態(tài)下維持不穩(wěn)定平

衡時(shí)，橫截面上的平均應(yīng)力。2.細(xì)長壓桿的臨界應(yīng)力——?dú)W拉臨界應(yīng)力公式注：如果壓桿在不同平面內(nèi)失穩(wěn)，且各平面內(nèi)支承約束條件不同，則應(yīng)分別計(jì)算在各平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)的l，并按其大者來計(jì)算，因壓桿總是在柔度較大的平面內(nèi)失穩(wěn)。3.柔度：l綜合地反映了壓桿的長度(l)、支承方式(m)與截面幾何性質(zhì)(i)對臨陸界應(yīng)力的影響。二、歐拉公式的適用范圍

歐拉公式是根據(jù)撓曲軸線微分方程建立的，而該方程僅適用于桿內(nèi)應(yīng)力不超過比例極限sp的情況，因此，歐拉公式的適用范圍為或二、歐拉公式的適用范圍能用歐拉公式的壓桿柔度的限界值。其值僅與材料的彈性模量E及比例極限sp有關(guān)，故lp之值僅隨材料而異。因此，在使用歐拉公式前，須先判斷是否滿足。11.4.3橫截面上應(yīng)力超過比例極限時(shí)壓桿的臨界應(yīng)力1.三類不同的壓桿的穩(wěn)定性細(xì)長桿—發(fā)生彈性屈曲中長桿—發(fā)生彈塑性屈曲粗短桿—不發(fā)生屈曲，而發(fā)生屈服—強(qiáng)度問題其中，2.中小柔度桿的臨界應(yīng)力計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)公式1）直線型經(jīng)驗(yàn)公式①

或P<<S

時(shí)：常數(shù)a、b與材料的力學(xué)性能有關(guān)，與應(yīng)力的量綱同。幾種常用材料的a、b、lp與ls之值材料（Q235鋼優(yōu)質(zhì)碳鋼硅鋼/MPa）a/MPab/MPa3041.124612.5685783.744鉻鉬鋼980.75.296鑄鐵332.21.454鋁合金3732.15木材28.70.191）直線型經(jīng)驗(yàn)公式③臨界應(yīng)力總圖②S<

時(shí)：bass-=sl

PPEspl2

=2）拋物線型經(jīng)驗(yàn)公式①P<<s

時(shí)：②s<

時(shí)：A3鋼，a=235，b=0.0066816錳鋼，a=343，b=0.0142或因?qū)嶋H壓桿有缺陷，lc>lp11.4.3臨界應(yīng)力總圖例11.5壓桿的穩(wěn)定計(jì)算11.5.1安全因數(shù)法于是壓桿的穩(wěn)定條件為：或

取值比強(qiáng)度安全因數(shù)略高

11.5.2穩(wěn)定因數(shù)法正常工作條件：為保證壓桿具有足夠的穩(wěn)定性，還須考慮一定的安全儲備。f——考慮一定塑性的材料抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值。n>1——安全因數(shù)對于給定材料，E，ss確定，l不同，j不同。中心壓桿的臨界應(yīng)力(極值點(diǎn)應(yīng)力)與屈服極限之比稱為壓桿的穩(wěn)定因數(shù)或折減因數(shù)。二、壓桿的穩(wěn)定條件FN——壓桿所受軸向壓力設(shè)計(jì)值；A——壓桿橫截面的毛截面積（不計(jì)螺栓等孔洞對橫截面積

的削弱影響）f——考慮一定塑性的材料抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值。三、由壓桿的穩(wěn)定條件解決的三類基本問題1.穩(wěn)定性校核2.確定容許荷載3.截面設(shè)計(jì)

我國結(jié)構(gòu)鋼柱子曲線

我國鋼結(jié)構(gòu)規(guī)范組根據(jù)自己算出的96根鋼柱子曲線，經(jīng)分析研究，最后歸納為圖示a、b和c三根曲線。a曲線：主要用于軋制工字形截面的強(qiáng)軸（弱軸用b曲線）、熱軋圓管和方管；c曲線：用于焊接工字形截面的弱軸、槽形的對稱主軸。b曲線：除a、c曲線以外的情況。11.6、提高壓桿穩(wěn)定性的措施壓桿的臨界軸力越大，壓桿越不容易失穩(wěn)。臨界軸力取決于壓桿