高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提高第一輪專題復(fù)習(xí)專題06數(shù)列求和(裂項相消法)(典型題型歸類訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

專題06數(shù)列求和（裂項相消法）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：等差型 2題型二：無理型 5題型三：指數(shù)型 8題型四：通項裂項為“”型 11三、專題06數(shù)列求和（裂項相消法）專項訓(xùn)練 13一、必備秘籍常見的裂項技巧類型一：等差型=1\*GB3①特別注意②如：（尤其要注意不能丟前邊的）類型二：無理型=1\*GB3①如：類型三：指數(shù)型①如：類型四：通項裂項為“”型如：①②本類模型典型標(biāo)志在通項中含有乘以一個分式.二、典型題型題型一：等差型例題1．（2023秋·四川成都·高三?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項和為(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.例題2．（2023秋·甘肅白銀·高二?？茧A段練習(xí)）在①，，②這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題．(1)已知數(shù)列的前n項和為，______，求的通項公式；(2)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．例題3．（2023秋·福建寧德·高二福建省寧德第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.(1)判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列？若是，給出證明；否則，請說明理由；(2)若數(shù)列的前10項和為361，記，數(shù)列的前項和為，求證：.例題4．（2023秋·陜西商洛·高三陜西省山陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）記遞增的等差數(shù)列的前n項和為，已知，且．(1)求和；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．題型二：無理型例題1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項和為，，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)當(dāng)數(shù)列的公差不為0時，記數(shù)列的前n項和為，求證：.例題2．（2023秋·廣東·高三河源市河源中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，且成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，數(shù)列的前項和為，求不等式的解集．例題3．（2023秋·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)各項均不為零的數(shù)列的前項和為，且對于任意，滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前99項和.例題4．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知等差數(shù)列的前項和為，，．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：當(dāng)時，．題型三：指數(shù)型例題1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，．(1)求的通項公式；(2)數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，求證：．例題2．（2023秋·福建寧德·高二福鼎市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：.例題3．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：.例題4．（2023·廣西南寧·南寧市武鳴區(qū)武鳴高級中學(xué)?？级＃┮阎獢?shù)列滿足（且），且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，求證：.題型四：通項裂項為“”型例題1．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）記為數(shù)列的前項和，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．例題2．（2023春·江蘇南京·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，滿足，(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前20項和.例題3．（2023秋·云南·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，.(1)證明：是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)令，求的前n項和.例題4．（2023·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預(yù)測）設(shè)正項數(shù)列的前n項和為，已知，且.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和.三、專題06數(shù)列求和（裂項相消法）專項訓(xùn)練一、單選題1．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為，則（

）A． B． C． D．2．（2023秋·河南鄭州·高三鄭州外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）等比數(shù)列中，，數(shù)列，的前n項和為，則滿足的n的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．93．（2023·全國·高三專題練習(xí)）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號．用他名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù)．已知正項數(shù)列的前n項和為，且，令，則（

）A．7 B．8 C．17 D．184．（2023春·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為，則數(shù)列的前項和為（

）A． B． C． D．5．（2023秋·江蘇常州·高三?？计谀┮阎棓?shù)列是公差不為的等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列若，則（

）A． B． C． D．6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列各項均為正數(shù)，首項與公差相等，，則的值為（

）A．9069 B．9079 C．9089 D．90997．（2023秋·江蘇·高二專題練習(xí)）記數(shù)列前項和為，若1，，成等差數(shù)列，且數(shù)列的前項和對任意的都有恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題8．（2023春·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)校考期中）已知數(shù)列的前項和滿足，，且，，數(shù)列的前項和為，則（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．9．（2023春·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，，為數(shù)列的前項和.若對任意實數(shù)，都有成立.則實數(shù)的可能取值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1三、填空題10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，已知，且，則數(shù)列的前n項和.11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的前n項和.12．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，其前n項和為，則．四、解答題13．（2023春·陜西西安·高二?？计谥校┰O(shè)數(shù)列滿足，.(1)計算，，猜想的通項公式并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；(2)若數(shù)列的前項和為，證明：.14．（2023春·山東德州·高二德州市第一中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為正項等比數(shù)列，且滿足，，．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．15．（2023·寧夏石嘴山·統(tǒng)考一模）已知是數(shù)列的前項和，且．．

專題06數(shù)列求和（裂項相消法）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 題型一：等差型 題型二：無理型 5題型三：指數(shù)型 8題型四：通項裂項為“+”型 11三、專題06數(shù)列求和（裂項相消法）專項訓(xùn)練 13一、必備秘籍常見的裂項技巧類型一：等差型=1\*GB3①1n(n+k)=1特別注意k=1,②1如：14n?類型二：無理型=1\*GB3①1n+k+n如：1類型三：指數(shù)型①(a如：n類型四：通項裂項為“+”型如：①?②(本類模型典型標(biāo)志在通項中含有(?二、典型題型題型一：等差型例題1．（03秋·四川成都·高三?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列an的前n項和為(1)求數(shù)列an()設(shè)bn=1anan+1【答案】(1)a()T【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因為a所以a1+d=34所以an所以數(shù)列an的通項公式為（）因為bn所以Tn所以數(shù)列bn的前n項和T例題．（03秋·甘肅白銀·高二?？茧A段練習(xí)）在①，a=13，②(1)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，______，求()數(shù)列bn滿足bn=an?a【答案】(1)答案詳見解析()答案詳見解析【詳解】（1）選條件①：，a=1解法一：由，a=13，得aa當(dāng)n≥時，an所以，又a1=1也符合，所以．解法二：由，得n+1an+1所以數(shù)列n?1a所以n?1a所以．選條件②，Sn=n+1，又a1=S（）選條件①：bn所以Tn因此bn所以Tn選條件②，bn當(dāng)n≥時，Tn又T1=6，符合，所以．例題3．（03秋·福建寧德·高二福建省寧德第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1>0(1)判斷數(shù)列an?1()若數(shù)列an的前10項和為361，記，數(shù)列bn的前n項和為Tn，求證：【答案】(1)數(shù)列an?1()證明見解析【詳解】（1）數(shù)列an?1根據(jù)得，an+1∵a1>0，∴an?1（）由（1）得，an?1=a故S=341a由S10=361，得令f(x)=341x+5log當(dāng)x>0時，f(x)=341x+5logx+30單調(diào)遞增，且故a1=1，an+1，T1=當(dāng)n≥時，b∴=1綜上，知T例題4．（03秋·陜西商洛·高三陜西省山陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）記遞增的等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S5(1)求an和S()設(shè)bn=5anan+1【答案】(1)an=6n?1()n【詳解】（1）設(shè)an的公差為+d（d>0因為S5=5(由a6=7a1得所以a1+1=17，得所以anSn（）由（1）得，bn所以T=5題型二：無理型例題1．（03·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a1=1，且a，(1)求數(shù)列an()當(dāng)數(shù)列an的公差不為0時，記數(shù)列1Sn?1Sn+1的前n【答案】(1)an=1()證明見解析【詳解】（1）設(shè)數(shù)列an的公差為+d由a，a5，a14成等比數(shù)列，得即1+4d=即d?d=0，解得d=0或d=當(dāng)d=0時，an當(dāng)d=時，an綜上所述，an=1或（）由（1）可知，當(dāng)數(shù)列an的公差不為0時，∵∴Sn=∴1所以T=1又n∈N?，所以例題．（03秋·廣東·高三河源市河源中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在等比數(shù)列an中，，且a1(1)求數(shù)列an()記，數(shù)列bn的前n項和為Tn，求不等式T【答案】(1)a()1,,3,4,5【詳解】（1）解：設(shè)數(shù)列an的公比為q因為a1,a3+1,又因為，則，即，解得q=，所以數(shù)列an的通項公式為a（）解：由an=n所以T=又由Tn<10，可得，即n+1即n+1<1,n∈N?，所以n=1,,3,4,5例題3．（03秋·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習(xí)）設(shè)各項均不為零的數(shù)列an的前n項和為，且對于任意n∈N?，滿足(1)求數(shù)列an()設(shè)bn=1【答案】(1)a()9【詳解】（1）由題知.當(dāng)n=1時，a1當(dāng)n≥,n∈N?時，an所以數(shù)列an?1是首項為1，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列a則an?1所以an（）由（1）得，bn即b1例題4．（03·重慶·統(tǒng)考三模）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a4(1)求an()設(shè)，數(shù)列bn的前n項和為Tn，證明：當(dāng)n≥3時，．【答案】(1)a()證明見解析【詳解】（1）設(shè)公差為d，則a1+3d+a1+6d=0所以.（）=n+3=(所以T==1所以Tn所以Tn當(dāng)n≥3時，n+3?所以當(dāng)n≥3時，.題型三：指數(shù)型例題1．（03秋·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列an為等差數(shù)列，且a+a(1)求an()數(shù)列bn滿足bn=n+13n+1an?【答案】(1)a()證明見解析【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d則a+a4∴a（）由（1）得：bn∴S∵18n+43例題．（03秋·福建寧德·高二福鼎市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項和為S(1)求數(shù)列an()設(shè)，數(shù)列bn的前n項和為Tn，證明：3【答案】(1)a()證明見解析【詳解】（1）當(dāng)n=1時，S1=a當(dāng)n≥時，Sn?1則Snan=an?得ann?an?1ann=1+所以數(shù)列an的通項公式a（）bn即bnTn=1即Tn=1?1n+1?1所以Tn的最小值為T1=3，隨著所以3≤例題3．（03秋·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a(1)求數(shù)列an()設(shè)bn=logan?n，數(shù)列【答案】(1)a()證明見解析【詳解】（1）由已知a1所以an當(dāng)n=1時，滿足條件，所以an=（）由于bn所以bn+3所以Sn所以Sn=11×?1n+1n+1，顯然所以38綜上，an例題4．（03·廣西南寧·南寧市武鳴區(qū)武鳴高級中學(xué)?？级＃┮阎獢?shù)列an滿足a1+a+?+an?1(1)求數(shù)列an()設(shè)數(shù)列nan?1an+1?1的前【答案】(1)a()證明見解析【詳解】（1）因為a1+a兩式相減得an+1當(dāng)n=時，a1?a=?，又所以an+1所以an是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以；（）因為na所以Tn因為n+1?1≥?1>0，所以題型四：通項裂項為“+”型例題1．（03·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）記Sn為數(shù)列an的前n項和，且a1(1)求數(shù)列an()設(shè)bn=?1n+1?an【答案】(1)a()T【詳解】（1）因為Sn=na兩式相減得an+1整理得an+1?a所以an（）由（1）可得：bn則T=??1所以Tn例題．（03春·江蘇南京·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足a(1)求an()若bn=?1n+1a【答案】(1)an()T0【詳解】（1）由nSn+1?n+1S因此數(shù)列{Snn}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，當(dāng)n≥時，an=S所以an（）由（1）知，Sn=n因此bn所以T0例題3．（03秋·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足：a1=1(1)證明：an+1是等比數(shù)列，并求()令bn=(?1)n(3n+3)n(n+1)【答案】(1)證明見解析，a()S【詳解】（1）證明：由an所以an所以{an+1}所以an+1=（）由（1）知：an+1+1=n+1又bn所以=例題4．（03·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預(yù)測）設(shè)正項數(shù)列an的前n項和為Sn，已知，且a(1)求an()若bn=(?1)n?na【答案】(1)an()T【詳解】（1）因為an+1=4S所以n≥時，4S由①?②，得4an=因為an各項均為正數(shù)，所以an+1=因為，所以a3=4a1+a+9，a=4所以數(shù)列an所以．（）由（1）得bn當(dāng)n為偶數(shù)時，T=1當(dāng)n為奇數(shù)時，T=1所以T三、專題06數(shù)列求和（裂項相消法）專項訓(xùn)練一、單選題1．（03春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列an的通項公式為an=n+3nA．0103 B．003 C．0305【答案】C【詳解】由題意得n則b即1b故1b故選:C．．（03秋·河南鄭州·高三鄭州外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）等比數(shù)列an中，a1=,q=，數(shù)列bn=anan+1?1an?1A．6 B．7 C．8 +D．9【答案】A【詳解】由題意得an=n所以Tn令1?1n+1?1>99故選：A.3．（03·全國·高三專題練習(xí)）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號．用他名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)fx=x，其中表示不超過x的最大整數(shù)．已知正項數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn=1A．7 B．8 C．17 +D．18【答案】B【詳解】當(dāng)n=1時，S1解得a1由an可得Sn所以Sn+S所以數(shù)列Sn故Sn=1+(n?1)×1=n，即所以bn所以b=1由11<101+<1所以68故b1故選：B4．（03春·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=nx+lnxn∈N?的圖象在點1n,f1nA．1n+1 B．3n+5nn+1n+3 【答案】C【詳解】f'x=n+所以1a所以Sn故選：D.5．（03秋·江蘇常州·高三?？计谀┮阎棓?shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列，a1，a，a4成等比數(shù)列.若k=141A．169 B．916 C．43【答案】A【詳解】設(shè)正項等差數(shù)列an的公差為d，且∵a1，a，∴a=a整理得，d=a1d，∵=k=1即1a15∵a∴a故選：．6．（03·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列an各項均為正數(shù)，首項與公差相等，k=1151akA．9069 B．9079 C．9089 +D．9099【答案】+D【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因為首項a1與公差d相等，所以因為1ak所以k=1151所以a0故選：+D．7．（03秋·江蘇·高二專題練習(xí)）記數(shù)列an前n項和為Sn，若1，an，Sn成等差數(shù)列，且數(shù)列an+1an+1?1an+3?1的前nA．?∞,16 B．?∞,1 C．?∞,【答案】C【詳解】數(shù)列an前n項和為Sn，若1，an所以an當(dāng)n=1時，a1當(dāng)n≥時，an?1①﹣②得an?a所以數(shù)列an所以an所以an+1則Tn由于對任意的n∈N?都有所以Tn即Tn當(dāng)n=1時，Tn所以53≥λ，解得所以λ∈故選：D二、多選題8．（03春·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列an的前n項和Sn滿足Sn=3an?n，n∈N?，且bnA．?dāng)?shù)列an+1是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列C．Sn=3【答案】A+D【詳解】對于A項，由Sn=3兩式相減，得an+1=3an+1對于B項，當(dāng)n=1時，a1=S1=所以數(shù)列an+1是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，所以所以an=3n?1對于C項，由B知，an=3對于+D項，bn所以Tn故選：A+D.9．（03春·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列an滿足，，Sn為數(shù)列bn的前n項和.若對任意實數(shù)λ，都有Sn<λ成立.則實數(shù)λA．4 B．3 C． +D．1【答案】AC【