有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計

有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計第一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三設(shè)FIR濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)長度為N，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為：

H(z)是的N-1次多項式，它在z平面上有N-1個零點，原點z=0是N-1階重極點。因此H(z)永遠穩(wěn)定。

穩(wěn)定和線性相位是FIR濾波器突出的優(yōu)點。第二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三6.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點

本節(jié)主要介紹FIR濾波器具有線性相位的條件及幅度特性。

1.線性相位條件對于長度為N的h(n)，傳輸函數(shù)定義為(6.1.1)

(6.1.2)第三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三式中，Hg(ω)稱為幅度特性，θ(ω)稱為相位特性。注意，這里Hg(ω)不同于|H(ejω)|,Hg(ω)為ω的實函數(shù)，可能取負值，而|H(ejω)|總是正值。H(ejω)線性相位是指θ(ω)是ω的線性函數(shù)，即

θ(ω)=-τω,τ為常數(shù)(6.1.3)

如果θ(ω)滿足下式：

θ(ω)=θ0-τω,θ0是起始相位(6.1.4)

嚴格地說，此時θ(ω)不具有線性相位，但以上兩種情況都滿足群時延是一個常數(shù)，即第四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三一般稱滿足(6.1.3)式是第一類線性相位；滿足(6.1.4)式為第二類線性相位。下面推導與證明滿足第一類線性相位的條件是：h(n)是實序列且對(N-1)/2偶對稱，即

h(n)=h(N-n-1)(6.1.5)

滿足第二類線性相位的條件是：h(n)是實序列且對(N-1)/2奇對稱，即

h(n)=-h(N-n-1)(6.1.6)第五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三(1)第一類線性相位條件證明：將(6.1.5)式代入上式得令m=N-n-1,則有(6.1.7)第六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三按照上式可以將H(z)表示為

將z=ejω代入上式，得到：

按照(6.1.2)式，幅度函數(shù)Hg(ω)和相位函數(shù)分別為(6.1.8)

(6.1.9)第七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三(2)第二類線性相位條件證明：(6.1.10)

令m=N-n-1,則有

同樣可以表示為第八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三因此，幅度函數(shù)和相位函數(shù)分別為(6.1.11)(6.1.12)該類線性相位FIR濾波器適合于在微分器及90度移相器中應(yīng)用，故又稱這類濾波器為正交變換網(wǎng)絡(luò)。第九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三6.2利用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器

設(shè)希望設(shè)計的濾波器傳輸函數(shù)為Hd(ejω),hd(n)是與其對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)，因此第十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三如果已知則可求出hd(n)，經(jīng)過z變換可得到濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。但是一般逐段恒定，在邊界頻率處有不連續(xù)點，故致使hd(n)是無限時寬的，且是非因果序列。例如：理想的低通濾波器的傳輸函數(shù)(6.2.1)

相應(yīng)的單位取樣響應(yīng)hd(n)為第十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三(6.2.2)

為了構(gòu)造一個長度為N的線性相位濾波器，只有將hd(n)截取一段，并保證截取的一段對(N-1)/2對稱。設(shè)截取的一段用h(n)表示，即

h(n)=hd(n)RN(n)(6.2.3)第十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三圖6.2.1理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗第十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三我們知道Hd(ejω)是一個以2π為周期的函數(shù)，可以展開為傅氏級數(shù)，即對(6.2.3)式進行傅里葉變換，根據(jù)復卷積定理，得到：(6.2.4)式中，Hd(ejω)和RN(ejω)分別是hd(n)和RN(n)的傅里葉變換，即(6.2.5)

第十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三RN(ω)稱為矩形窗的幅度函數(shù)；將Hd(ejω)寫成下式：按照(6.2.1)式，理想低通濾波器的幅度特性Hd(ω)為將Hd(ejω)和RN(ejω)代入(6.2.4)式，得到：第十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三將H(ejω)寫成下式：(6.2.6)該式表明了濾波器的幅度特性等于理想低通濾波器的幅度特性與矩形窗幅度特性的卷積。第十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三

圖6.2.2矩形窗對理想低通幅度特性的影響第十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三通過以上分析可知，對hd(n)加矩形窗處理后，H(ω)和原理想低通Hd(ω)差別有以下兩點：

(1)在理想特性不連續(xù)點ω=ωc附近形成過渡帶。過渡帶的寬度，近似等于RN(ω)主瓣寬度，即4π/N。

(2)通帶內(nèi)增加了波動，最大的峰值在ωc-2π/N處。阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余振，最大的負峰在ωc+2π/N處。通帶與阻帶中的波動與窗函數(shù)的幅度譜有關(guān)系。RN(ω)波動越快(N加大時)，通帶、阻帶波動越快，RN(ω)旁瓣的大小直接影響H(ω)波動的大小。

以上兩點就是對hd(n)用矩形窗截斷后，在頻域的反映，稱為吉布斯效應(yīng)。

第十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三通過實驗分析：調(diào)整窗口的長度N可以有效的控制過渡帶的寬度。減少帶內(nèi)波動以及加大阻帶的衰減只能從窗函數(shù)的形狀上找解決辦法。思路：能否找到窗函數(shù)的形狀，使其譜函數(shù)的主瓣包含更多的能量，相應(yīng)旁瓣幅度就減小了，旁瓣的減小可使通帶、阻帶波動減小，從而加大阻帶衰減。第十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三下面介紹幾種常用的窗函數(shù)。設(shè)

h(n)=hd(n)w(n)

式中w(n)表示窗函數(shù)。

1.矩形窗(RectangleWindow)

wR(n)=RN(n)

前面已分析過，按照(6.2.5)式，其頻率響應(yīng)為第二十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三2.三角形窗(BartlettWindow)(6.2.8)

其頻率響應(yīng)為

(6.2.9)

第二十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三3.漢寧(Hanning)窗——升余弦窗當N1時，N-1≈N第二十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三圖6.2.3漢寧窗的幅度特性第二十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三4.哈明(Hamming)窗——改進的升余弦窗(6.2.11)其頻域函數(shù)WHm(ejω)為其幅度函數(shù)WHm(ω)為當N>>1時，可近似表示為第二十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三5.布萊克曼(Blackman)窗(6.2.13)

其頻域函數(shù)為其幅度函數(shù)為(6.2.14)

第二十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三6.凱塞－貝塞爾窗(Kaiser-BaselWindow)

式中

I0(x)是零階第一類修正貝塞爾函數(shù)，可用下面級數(shù)計算：第二十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三圖6.2.4常用的窗函數(shù)第二十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三

圖6.2.5常用窗函數(shù)的幅度特性(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗；(d)哈明窗；(e)布萊克曼窗第二十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三

圖6.2.6理想低通加窗后的幅度特性(N=51,ωc=0.5π)(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗；

(d)哈明窗；(e)布萊克曼窗第二十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三表6.2.2六種窗函數(shù)的基本參數(shù)第三十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三MATLAB提供了窗函數(shù)的子程序：1)w=boxcar(M)在數(shù)組w中產(chǎn)生M點的矩形窗函數(shù)；

2)w=triang(M)在數(shù)組w中產(chǎn)生M點的三角形窗函數(shù)；

3)w=hanning(M)在數(shù)組w中產(chǎn)生M點的hanning窗函數(shù)；

4)w=hamming(M)在數(shù)組w中產(chǎn)生M點的hamming窗函數(shù)；

5)w=blackman(M)在數(shù)組w中產(chǎn)生M點的blackman窗函數(shù)；

6)w=kaiser(M,beta)在數(shù)組w中產(chǎn)生beta值M點的矩形窗函數(shù)；第三十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三下面介紹用窗函數(shù)設(shè)計FIR濾波器的步驟。

(1)根據(jù)技術(shù)要求確定待求濾波器的單位取樣響應(yīng)hd(n)。如果給出待求濾波器的頻響為Hd(ejω)，那么單位取樣響應(yīng)用下式求出：如果Hd(ejω)較復雜，或者不能用封閉的公式表示時，則不能用上式求出hd(n)。可以對Hd(ejω)從0至采樣M點，并用代替(6.2.17)中的，(6.2.17)近似寫為：(6.2.17)

(6.2.18)

第三十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三根據(jù)頻率采樣定理，hM(n)與hd(n)應(yīng)滿足如下關(guān)系：因此，如果M取得比較大，可以保證在窗口內(nèi)hM(n)有效的逼近hd(n)。實際計算時，可以用Hd(ejω)的M點采樣值，進行M點IDFT得到。

如果給出通帶阻帶衰減和邊界頻率的要求，可選用理想濾波器作為逼近函數(shù)，從而用理想濾波器的特性作傅立葉逆變換，求出hd(n)。第三十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三

(2)根據(jù)對過渡帶及阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形式，并估計窗口長度N。設(shè)待求濾波器的過渡帶用Δω表示，它近似等于窗函數(shù)主瓣寬度。因過渡帶Δω近似與窗口長度N成反比，，A取決于窗口形式。

(3)計算濾波器的單位取樣響應(yīng)h(n)

h(n)=hd(n)w(n)第三十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三其中是已選好的窗函數(shù)。如果要求線性相位，則要求hd(n)和均對(N-1)/2對稱。

(4)驗算技術(shù)指標是否滿足要求。設(shè)計出的濾波器頻率響應(yīng)用下式計算：計算時可用FFT算法。如果H(ejω)不滿足要求，根據(jù)具體情況重復(2),(3),(4)步，直到滿足要求。第三十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三例6.2.1設(shè)計線性相位FIR低通濾波器，給定采樣頻率，通帶截止頻率，阻帶截止頻率，阻帶衰減不少于-50dB，幅度特性如圖所示。解：1求各對應(yīng)的數(shù)字頻率。第三十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三2理想的低通線性相位濾波器求故取

滿足線性相位。第三十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三3.由確定窗函數(shù)形狀，確定N。，查表可選用哈明窗。故4.由確定h(n).窗函數(shù)過渡帶寬阻帶最小衰減/dB矩形窗4π/N－21三角形窗8π/N－25漢寧窗8π/N－44哈明窗8π/N－53布來克曼窗12π/N－74第三十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三

故

5.檢驗各項指標是否滿足要求，不滿足則需改變N或窗形狀。第三十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三例設(shè)計數(shù)字FIR低通濾波器，技術(shù)指標如下：

解：使用hamming和blackman窗函數(shù)都能提供大于50dB阻帶衰減。這里選用hamming窗函數(shù)，它給出比較小的過渡帶，因此有較低的階。wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;tr_width=ws-wpM=ceil(8*pi/tr_width)n=[0:1:M-1];wc=(ws+wp)/2hd=ideal_lp(wc,M);w_ham=(hamming(M))';第四十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期三

h=hd.*w_ham;[db,mag,pha,grd,w]=freqz(h,[1]);%plotssubplot(1,1,1)subplot(2,2,1);stem(n,hd);title('IdealImpulseResponse')axis([0M-1-0.10.3]);xlabel('n');ylabel('hd(n)')subplot(2,2,2);stem(n,w_ham);title('HammingWindow')axis([0M-101.1]);xlabel('n');ylabel('w(n)')subplot(2,2,3);stem(n,h);title('ActualImpulseResponse')axis([0M-1-0.10.3]);xlabel('n');ylabel('h(n)')subplot(2,2,4);plot(w/pi,db);title('MagnitudeResponseindB');gridaxis([01-10010]);xlabel('frequencyinpiunits');ylabel('Decibels')set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,0.2,0.3,1])set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[-50,0])set(gca