2023版新教材高中數(shù)學(xué)單元素養(yǎng)測(cè)評(píng)卷三第八章立體幾何初步新人教A版必修第二冊(cè)

單元素養(yǎng)測(cè)評(píng)卷(三)時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．下列命題錯(cuò)誤的是()A．若一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面，則這條直線(xiàn)垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(xiàn)B．假如兩條平行直線(xiàn)中的一條與一個(gè)平面平行，則另一條直線(xiàn)也與這個(gè)平面平行C．假如一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行D．一個(gè)平面垂直于二面角的棱，它和二面角的兩個(gè)面的交線(xiàn)形成的角就是二面角的一個(gè)平面角2．以下結(jié)論正確的是()A．已知一個(gè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為2，其側(cè)面積為2π，則該圓錐的高為1B．在水平平面上用斜二測(cè)畫(huà)法作出邊長(zhǎng)為2的正方形的直觀圖的面積為2C．若平面α∥平面β，直線(xiàn)a?α，直線(xiàn)b?β，則a∥bD．若平面α⊥平面β，α∩β＝l,直線(xiàn)a?α，a⊥l，則a⊥β3．假如軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是4π，那么圓柱的體積等于()A．eq\f(π,2)B．eq\f(π,3)C．πD．2π4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線(xiàn)A1B與AD1所成角的大小為()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3)D．eq\f(5π,6)5．正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2cm，3cm，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(2)cm，則棱臺(tái)的側(cè)面積為()A．4cm2B．5eq\r(7)cm2C．4eq\r(3)cm2D．8eq\r(3)cm26.據(jù)《九章算術(shù)》記載，“鱉臑”為四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐．如圖所示，現(xiàn)有一個(gè)“鱉臑”，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，且PA＝AB＝BC＝2，三棱錐外接球表面積為()A．10πB．12πC．14πD．16π7.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，若E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CC1，B1C1的中點(diǎn)，O1，O2分別是四邊形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，則下列推斷錯(cuò)誤的是()A．A，C，O1，D1四點(diǎn)共面B．D，E，G，F(xiàn)四點(diǎn)共面C．A，E，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面D．G，E，O1，O2四點(diǎn)共面8．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E在線(xiàn)段B1D上，則()A．DE與AC所成角等于60°B．AE∥平面BDC1C．平面A1EC⊥平面C1BDD．三棱錐E-C1BD體積為定值二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有錯(cuò)選的得0分．9．下列說(shuō)法正確的是()A．有兩個(gè)面相互平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體肯定是棱柱B．棱錐的側(cè)面肯定都是三角形C．棱臺(tái)各側(cè)棱所在直線(xiàn)必交于一點(diǎn)D．有兩個(gè)面為矩形且相互平行，其余四個(gè)面均為等腰梯形的幾何體肯定是四棱臺(tái)10．設(shè)有三條不重合直線(xiàn)a，b，c和三個(gè)不重合平面α，β，γ，則下列命題中正確的有()A．若a∥c，b∥c則a∥bB．若a⊥c，b⊥c，則a⊥bC．若α∥γ，β∥γ則α∥βD．若α⊥γ，β⊥γ則α⊥β11．下面敘述正確的是()A．垂直于同始終線(xiàn)的兩條直線(xiàn)相互平行B．正三角形的平面直觀圖肯定不是等腰三角形C．圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則球與圓柱的體積之比為2∶3D．若兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線(xiàn)不垂直的直線(xiàn)與另一個(gè)平面也不垂直12．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為B1C1，A1D1，BC的中點(diǎn)，則()A．BE與CD異面B．平面A1BE∥平面AFGC．平面AFG⊥平面ABCDD．BE與DD1所成角的正切值為eq\f(1,2)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若直線(xiàn)a∥平面α，b?α，則a與b的位置關(guān)系是________．14.如圖所示的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得到的組合體，現(xiàn)用一個(gè)垂直于圓柱底面的平面去截這個(gè)組合體﹐則截面圖形可能是________(填序號(hào)).15．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是側(cè)面BB1C1C內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐D-AED1的體積為_(kāi)_______．16．已知一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，且這個(gè)球的體積為eq\f(32,3)π，那么這個(gè)三棱柱的側(cè)面積為_(kāi)_______，體積為_(kāi)_______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.(本小題10分)如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為P，O是底面圓心，AB是底面圓的直徑，PB＝5，OB＝3.(1)求圓錐的表面積；(2)經(jīng)過(guò)圓錐的高PO的中點(diǎn)O′作平行于圓錐底面的截面，求截得的圓臺(tái)的體積．18．(本小題12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB,E，F(xiàn)，G分別是PC，PD，BC的中點(diǎn)．(1)求證：PC⊥AD；(2)求證：平面PAB∥平面EFG.19．(本小題12分)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中．(1)求證：BC1∥平面AB1D1；(2)作出二面角B1-AD1-B的平面角，并說(shuō)明理由．20．(本小題12分)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝CB＝CC1＝2，∠ACB＝120°，E為AB的中點(diǎn)．(1)求證：AC1∥平面B1CE；(2)求三棱錐C1-B1CE的體積．21.(本小題12分)如圖所示，已知菱形ABCD和矩形BDEF所在平面相互垂直，AB＝2，∠BAD＝120°，DE＝3.(1)證明：平面ACF⊥平面BDEF；(2)設(shè)AD中點(diǎn)為G，求直線(xiàn)FG與底面ABCD所成角的余弦值．22．(本小題12分)如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝2，DC＝3，點(diǎn)E在CD上，且DE＝2，將△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE，G為AE中點(diǎn)．(1)求證：DG⊥平面ABCE；(2)求四棱錐D-ABCE的體積；(3)在線(xiàn)段BD上是否存在點(diǎn)P，使得CP∥平面ADE？若存在，求eq\f(BP,BD)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．單元素養(yǎng)測(cè)評(píng)卷(三)1．答案：B解析：一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面，則這條直線(xiàn)垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(xiàn)，故A正確；假如兩條平行直線(xiàn)中的一條與一個(gè)平面平行，則另一條直線(xiàn)與這個(gè)平面平行或在這個(gè)平面內(nèi)，故B錯(cuò)誤；假如一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行，故C正確；一個(gè)平面垂直于二面角的棱，它和二面角的兩個(gè)面的交線(xiàn)都垂直，故它們形成的角就是二面角的一個(gè)平面角，故D正確.故選B.2．答案：D解析：S側(cè)＝πrl＝2π可得r＝1，所以h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(3)，故A錯(cuò)誤；由于原圖形的面積S＝22＝4，所以斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖面積S′＝eq\f(\r(2),4)S＝eq\r(2)，故B錯(cuò)誤；平面α∥平面β，直線(xiàn)a?α，直線(xiàn)b?β，則a，b可能異面也可能平行，故C錯(cuò)誤；由面面垂直的性質(zhì)定理可知，平面α⊥平面β，α∩β＝l,直線(xiàn)a?α，a⊥l，則a⊥β，故D正確．故選D.3．答案：D解析：由于圓柱的軸截面為正方形，設(shè)圓柱的底面半徑為r，則高為2r，S側(cè)＝2πr×2r＝4πr2＝4π，則r＝1，故圓柱的體積為πr2×2r＝2π.故選D.4．答案：B解析：畫(huà)出圖象如圖所示，依據(jù)正方體的性質(zhì)可知A1B∥D1C，所以∠AD1C是直線(xiàn)A1B與AD1所成角或其補(bǔ)角，由于三角形ACD1是等邊三角形，所以∠AD1C＝eq\f(π,3)，即直線(xiàn)A1B與AD1所成角的大小為eq\f(π,3).故選B.5．答案：B解析：由題意，正四棱臺(tái)的側(cè)面是等腰梯形，且其上、下底面邊長(zhǎng)分別為2cm，3cm，腰長(zhǎng)為eq\r(2)cm，所以斜高為h′＝eq\r(（\r(2)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(7),2).所以側(cè)面積為S＝eq\f(1,2)(2＋3)×eq\f(\r(7),2)×4＝5eq\r(7)(cm2).故選B.6．答案：B解析：如圖，將三棱錐補(bǔ)形為正方體，則外接球半徑R＝eq\f(PC,2)＝eq\f(\r(AP2＋AB2＋BC2),2)＝eq\f(\r(4＋4＋4),2)＝eq\r(3).所以三棱錐外接球表面積S＝4πR2＝4π×3＝12π.故選B.7．答案：B解析：由于正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CC1，B1C1的中點(diǎn)，O1，O2分別為四邊形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，所以O(shè)1是AD1的中點(diǎn)，所以O(shè)1在平面ACD1上，故A正確；由于E，G，F(xiàn)在平面BCC1B1上，D不在平面BCC1B1上，所以D，E，G，F(xiàn)四點(diǎn)不共面，故B錯(cuò)誤；由已知可知EF∥AD1，所以A，E，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面，故C正確；連接GO2并延長(zhǎng)，交A1D1于點(diǎn)H，則H為A1D1的中點(diǎn)，連接HO1，則HO1∥AA1∥GE，所以G，E，O1，O2四點(diǎn)共面，故D正確．故選B.8．答案：C解析：對(duì)于A，連接BD，∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD；∵BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥BB1；又BB1∩BD＝B，BB1，BD?平面BB1D，∴AC⊥平面BB1D，又DE?平面BB1D，∴AC⊥DE，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接AD1，D1E，假設(shè)AE∥平面BDC1，∵AD1∥BC1，BC1?平面BDC1，AD1?平面BDC1，∴AD1∥平面BDC1，又AE∩AD1＝A，AE，AD1?平面AED1，∴平面AED1∥平面BDC1，∵D1E?平面AED1，∴D1E∥平面BDC1，又D1E?平面BDD1B1，平面BDD1B1∩平面BDC1＝BD，∴D1E∥BD，當(dāng)E與B1不重合時(shí)，明顯D1E∥BD不成立，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，∵AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴AA1⊥BD；又AC⊥BD，AA1∩AC＝A，AA1，AC?平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，∵A1C?平面A1AC，∴A1C⊥BD；同理可得A1C⊥BC1，∵BC1∩BD＝B，BC1，BD?平面BDC1，∴A1C⊥平面BDC1，∵A1C?平面A1EC，∴平面A1EC⊥平面C1BD，C正確；對(duì)于D，∵B1D∩平面BDC1＝D，∴當(dāng)E為線(xiàn)段B1D上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，其到平面BDC1的距離不是定值，∴三棱錐E-C1BD體積不是定值，D錯(cuò)誤．故選C.9．答案：BC解析：如圖所示：將兩個(gè)平行六面體合在一起，但不是棱柱，故A錯(cuò)誤；依據(jù)棱錐的定義可知：棱錐的側(cè)面肯定都是三角形，故B正確；依據(jù)棱臺(tái)的定義可知：棱臺(tái)各側(cè)棱所在直線(xiàn)必交于一點(diǎn)，故C正確；如圖所示：該幾何體的上下底面是兩個(gè)全等的矩形，兩矩形平行，且上面矩形的長(zhǎng)與下面矩形的寬對(duì)應(yīng)平行，則四個(gè)側(cè)面均為等腰梯形，但四條側(cè)棱并不交于同一點(diǎn)，故不是四棱臺(tái)，故D錯(cuò)誤．故選BC.10．答案：AC解析：由平行線(xiàn)的傳遞性可知，若a∥c，b∥c，則a∥b，所以A正確；若a⊥c，b⊥c，則a與b可能平行，可能相交，也可能異面，所以B錯(cuò)誤；依據(jù)平行面的傳遞性可知，若α∥γ，β∥γ，則α∥β，所以C正確；若α⊥γ，β⊥γ，則α，β可能平行，也可能相交，所以D錯(cuò)誤；故選AC.11．答案：BCD解析：正方體同一頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直，則垂直于同始終線(xiàn)的兩條直線(xiàn)不肯定平行，故A錯(cuò)誤；正三角形的直觀圖中高為原來(lái)的一半且與底邊成45°，不為等腰三角形，選項(xiàng)B正確；圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑2R，則球的體積為eq\f(4πR3,3)，圓柱的體積為2πR3，球與圓柱的體積之比為2∶3，選項(xiàng)C正確；若兩個(gè)平面α，β垂直，假設(shè)平面α內(nèi)與它們的交線(xiàn)l不垂直的直線(xiàn)l1與平面β垂直，由于l1⊥β，且平面α，β的交線(xiàn)l?β，所以可得l1⊥l，這與條件l與l1不垂直相互沖突，所以假設(shè)不成立，原命題成立，故D正確．故選BCD.12．答案：ABD解析：如圖，BE與CD異面，A正確．依題意可證A1E∥AG，BE∥AF，由于AG?平面AFG，A1E?平面AFG，所以A1E∥平面AFG，同理可證BE∥平面AFG，由于AF∩AG＝A，所以平面A1BE∥平面AFG，B正確．由圖可知，平面AFG與平面ABCD不垂直，C錯(cuò)誤．BE與DD1所成的角即BE與BB1所成的角，所以BE與DD1所成角的正切值為tan∠B1BE＝eq\f(B1E,B1B)＝eq\f(1,2)，D正確．13．答案：平行或異面解析：由題意知，直線(xiàn)a與b沒(méi)有公共點(diǎn)，則a與b平行或異面．14．答案：①⑤解析：由題意，當(dāng)截面過(guò)旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，圓錐的軸截面為等腰三角形，此時(shí)①符合條件；當(dāng)截面不過(guò)旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，圓錐的軸截面為雙曲線(xiàn)的一支，此時(shí)⑤符合條件，綜上可知截面的圖形可能是①⑤.15．答案：eq\f(4,3)解析：點(diǎn)E到平面ADD1的距離為2，所以＝eq\f(4,3).16．答案：48eq\r(3)48eq\r(3)解析：設(shè)球的半徑為r，則eq\f(4,3)πr3＝eq\f(32π,3)，得r＝2，所以正三棱柱的高為2r＝4.又正三棱柱的底面三角形的內(nèi)切圓半徑與球的半徑相等，設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，則2＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)a，解得a＝4eq\r(3)，所以底面正三角形的邊長(zhǎng)為4eq\r(3)，所以正三棱柱的側(cè)面積S側(cè)＝3×4×4eq\r(3)＝48eq\r(3)，體積V＝eq\f(\r(3),4)×(4eq\r(3))2×4＝48eq\r(3).17．解析：(1)由題意可知，該圓錐的底面半徑r＝3，母線(xiàn)l＝5.∴該圓錐的表面積S＝πr2＋πrl＝π×32＋π×3×5＝24π.(2)在Rt△POB中，PO＝eq\r(PB2－OB2)＝eq\r(52－32)＝4，∵O′是PO的中點(diǎn)，∴PO′＝2.∴小圓錐的高h(yuǎn)′＝2，小圓錐的底面半徑r′＝eq\f(1,2)r＝eq\f(3,2)，∴截得的圓臺(tái)的體積V臺(tái)＝V大－V小＝eq\f(1,3)×π×32×4－eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)×2＝eq\f(21π,2).18．證明：(1)由PD⊥平面ABCD，得AD⊥PD，又AD⊥CD(ABCD是正方形)，PD∩CD＝D，所以AD⊥平面PDC，所以AD⊥PC.(2)由E，F(xiàn)分別是線(xiàn)段PC，PD的中點(diǎn)，所以EF∥CD，又ABCD為正方形，AB∥CD，所以EF∥AB，又EF?平面PAB，AB?平面PAB，所以EF∥平面PAB.由于E，G分別是線(xiàn)段PC，BC的中點(diǎn)，所以EG∥PB，又EG?平面PAB，PB?平面PAB，所以EG∥平面PAB.由于EF∩EG＝E，EF，EG?平面EFG，所以平面EFG∥平面PAB.19．解析：(1)證明：∵ABCD-A1B1C1D1是正方體，∴AB∥C1D1，且AB＝C1D1，∴四邊形ABC1D1為平行四邊形，∴BC1∥AD1，∵BC1?平面AB1D1，AD1?平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.(2)取BC1、AD1中點(diǎn)分別為P、Q，連接B1Q、PQ，則∠B1QP為二面角B1-AD1-B的平面角，理由如下：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則AB1＝B1D1＝eq\r(2)a，所以B1Q⊥AD1.∵P、Q分別為BC1、AD1中點(diǎn)，∴PQ∥AB.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，AD1?平面AA1D1D，∴AB⊥AD1，∴PQ⊥AD1,∴∠B1QP為二面角B1-AD1-B的平面角.20．解析：(1)證明：連接BC1，設(shè)C1B∩CB1＝O，連接OE，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形BB1C1C為平行四邊形，則O為BC1的中點(diǎn)，又由于E為AB的中點(diǎn)，則OE∥AC1，由于AC1?平面B1CE，OE?平面B1CE，因此，AC1∥平面B1CE.21．解析：(1)證明：∵平面ABCD⊥平面BDEF，平面ABCD∩平面BDEF＝BD.由于四邊形ABCD為菱形，∴AC