吉林省高三模擬考試數(shù)學（理科）試卷附答案解析

第第頁吉林省高三模擬考試數(shù)學（理科）試卷附答案解析班級:___________姓名：___________考號：___________一、單選題1．用列舉法可以將集合使方程有唯一實數(shù)解表示為（

）A． B． C． D．或2．若復(fù)數(shù)，為復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．3．一副三角板有兩種規(guī)格，一種是等腰直角三角形，另一種是有一個銳角是的直角三角形，如圖兩個三角板斜邊之比為.四邊形就是由三角板拼成的，和，則的值為（

）A． B． C． D．4．“3+1+2”高考方案中“3”是指統(tǒng)一高考的語文、數(shù)學、外語3門科目，其中外語可以從英語、日語、法語、西班牙語、德語、俄語中任選一門參加高考，“1”是指考生在物理、歷史兩門選擇性考試科目中所選擇的一門科目，“2”是指在思想政治、地理、化學、生物4門選擇性科目中所選擇的2門科目．則每一名學生參加高考的科目選擇方法數(shù)共有（

）種A．72 B．80 C．12 D．845．某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，若過濾過程中剩余的廢氣污染物數(shù)量P（單位：與時間t（單位：h）之間的關(guān)系為，其中為過濾未開始時廢氣的污染物數(shù)量，則污染物減少75%大約需要的時間為（

）（參考值）A．20 B．17 C．14 D．226．從原點向圓x2+y2-12y+27=0作兩條切線,則該圓夾在兩條切線間的劣弧長為()A．π B．2π C．4π D．6π7．設(shè)m，n為兩個不同的直線，為兩個不同的平面，則下列說法中不正確的是（）8．已知定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，且函數(shù)為偶函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．二、多選題9．下列化簡正確的是（

）A． B．C． D．10．下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．11．已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于、兩點，以線段為直徑的圓交軸于、兩點，設(shè)線段的中點為，則（

）A．B．若，則直線的斜率為C．若拋物線上存在一點到焦點的距離等于，則拋物線的方程為D．若點到拋物線準線的距離為，則的最小值為12．如圖，PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，C為圓上異于A，B的任意一點，垂足為E，點F是PB上一點，則下列判斷中正確的是（

）A．平面PAC B． C． D．平面平面PBC三、填空題13．（2x3）8的展開式中常數(shù)項是_____.（用數(shù)字表示）14．如圖，某濕地為拓展旅游業(yè)務(wù)，現(xiàn)準備在濕地內(nèi)建造一個觀景臺，已知射線，為濕地兩邊夾角為的公路（長度均超過千米），在兩條公路，上分別設(shè)立游客接送點，，且千米，若要求觀景臺與兩接送點所成角與互補且觀景臺在的右側(cè)，并在觀景臺與接送點，之間建造兩條觀光線路與，則觀光線路之和最長是_________________（千米）.15．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的極小值不大于，則的取值范圍是__________．16．已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則的值為__________.四、解答題17．已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求；(2)若，求面積的最大值18．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)當為何值時最大，并求的最大值.19．如圖，在四棱臺中底面是邊長為2的菱形，平面平面，點分別為的中點，均為銳角.(1)求證：；(2)若異面直線與所成角正弦值為，四棱錐的體積為1，求二面角的平面角的余弦值.20．買盲盒是當下年輕人的潮流之一，每個系列的盲盒分成若干個盒子，每個盒子里面隨機裝有一個動漫、影視作品的圖片，或者設(shè)計師單獨設(shè)計出來的玩偶，消費者不能提前得知具體產(chǎn)品款式，具有隨機屬性，某禮品店2022年1月到8月售出的盲盒數(shù)量及利潤情況的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：月份/月12345678月銷售量/百個45678101113月利潤/千元4.14.64.95.76.78.08.49.6(1)求出月利潤y（千元）關(guān)于月銷售量x（百個）的線性回歸方程（精確到0.01）；(2)某班老師購買了裝有兔子玩偶和熊貓玩偶的兩款盲盒各4個，從中隨機選出3個作為禮物贈送給同學，用表示3個中裝有兔子玩偶的盲盒個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.參考公式：回歸方程中斜率和截距最小二乘估計公式分別為：和.參考數(shù)據(jù)和21．橢圓與拋物線有一個公共焦點且經(jīng)過點.（1）求橢圓的方程及其離心率；（2）直線與橢圓相交于，兩點，為原點，是否存在點滿足，若存在，求出的取值范圍，若不存在，請說明理由22．函數(shù).（1）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）求證：，時.參考答案與解析1．C【解析】根據(jù)題意求當方程有唯一實數(shù)解時求的取值范圍，分和兩種情況求的取值.【詳解】由題意可知集合的元素表示能使方程有唯一實數(shù)解的的值當時，解得，成立；當時方程有唯一實數(shù)解則解得：.故選：C【點睛】本題考查根據(jù)方程的實數(shù)根的個數(shù)求參數(shù)的取值，屬于簡單題型.2．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，求得，得到，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，即可求解.【詳解】由，所以所以的虛部為.故選：A.3．C【分析】建立直角坐標系,利用數(shù)量積的坐標表示求解即可.【詳解】建立如圖所示直角坐標系：因為所以則所以所以故選：C4．A【分析】根據(jù)題意，依次分析考生在必考科目，物理、歷史兩門選擇性考試科目經(jīng)以及4門選擇性科目中的選擇方法數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，考查必考語文、數(shù)學、外語3門科目，其中外語可以從英語、日語、法語、西班牙語、德語、俄語中任選一門參加高考，有6種選法，在物理、歷史兩門選擇性考試科目中所選擇的一門科目，有2種選法，在思想政治、地理、化學、生物4門選擇性科目中所選擇的2門科目，有種選法由分步計數(shù)原理可得共有種選法故選：A5．B【分析】認真審題，求得所需時間的代數(shù)式是本題關(guān)鍵所在.【詳解】由染物數(shù)量減少75%，可得即，則即故選：B6．B【思路點撥】作出圖形,利用幾何法求解.【詳解】如圖圓x2+y2-12y+27=0可化為x2+(y-6)2=9,圓心坐標為(0,6),半徑為3.在Rt△OBC中可得:∠OCB=,∴∠ACB=,∴所求劣弧長為2π.7．B【分析】由線面垂直的性質(zhì)定理和面面垂直的判定定理可判斷A；由面面平行的性質(zhì)定理可判斷B；由面面垂直的性質(zhì)定理可判斷C；由面面平行的性質(zhì)定理可判斷D．故選：B．8．B【分析】由題知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，進而根據(jù)對稱性得可得，可得或，再解不等式即可.【詳解】解：因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減因為，所以所以由可得，由可得或解不等式，可得或，解得或所以，不等式的解集為．故選：B9．ABC【分析】利用誘導公式、逆用差角正弦公式求值即可判斷A；利用誘導公式、倍角正弦公式化簡求值即可判斷B；根據(jù)倍角余弦公式化簡即可判斷C；和角正切公式化簡求值即可判斷D．【詳解】對于A，由故A正確；對于B，由故B正確；對于C，故C正確；對于D，故D錯誤．故選：ABC．10．BCD【分析】對于選項A，運用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較即可；對于選項B，構(gòu)造函數(shù)運用函數(shù)的單調(diào)性比較即可；對于選項C，作差后運用基本不等式判斷；對于選項D，尋找中介值比較即可.【詳解】對于選項A，因為，所以所以，故選項A錯誤；對于選項B，設(shè)，則又因為所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以，即：又因為，所以.故選項B正確；對于選項C因為，所以所以，即：.故選項C正確；對于選項D，因為，所以，所以又因為，所以，所以，所以.故選項D正確.故選：BCD.11．AD【分析】設(shè)點、設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可判斷A選項的正誤，根據(jù)求出的值，可判斷B選項的正誤，利用拋物線的定義求出的值，可判斷C選項的正誤，求出的取值范圍，可判斷D選項的正誤.【詳解】若直線軸，則直線與拋物線有且只有一個交點，不合乎題意.設(shè)點、設(shè)直線的方程為聯(lián)立，整理可得由韋達定理可得，和，A正確；，解得所以，直線的斜率為，B錯誤；拋物線上一點到焦點的距離為，則，可得故拋物線方程：，C錯誤；拋物線的焦點到準線的距離為，則，所以，拋物線的方程為所以，和所以，圓的直徑為，則點到軸的距離為，，即，D正確.故選：AD.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達定理求解.12．ABD【分析】對A，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定證明即可；對B，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定證明即可；對C，根據(jù)與平面不垂直判斷即可；對D，由B結(jié)合面面垂直的性質(zhì)判斷即可.【詳解】對于A，PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，而底面圓面，則，又由圓的性質(zhì)可知，且，平面PAC，則平面PAC.所以A正確；對于B，由A可知，由題意可知，且，平面，所以平面，而平面，所以，所以B正確；對于C，由B可知平面，因而與平面不垂直，所以不成立，所以C錯誤.對于D，由B可知，平面，又平面，故平面平面PBC.所以D正確故選：ABD13．112【解析】根據(jù)二項式（2x3）8的展開式的通項公式進行求解即可.【詳解】（2x3）8的展開式的通項為：Tr+1＝C8r（2x3）8﹣r（）r＝28﹣r（﹣1）rC8rx24﹣4r令24﹣4r＝0，解得r＝6則（2x3）8的展開式中常數(shù)項是28﹣6（﹣1）6C86＝112故答案為：112.【點睛】本題考查了利用二項式的通項公式求二項式展開式中的常數(shù)項，考查了數(shù)學運算能力.14．4【分析】求出，在中利用余弦定理結(jié)合基本不等式即可得出答案.【詳解】解：在中因為所以又與互補，所以在中由余弦定理得：即，即因為所以所以，當且僅當時取等號所以觀光線路之和最長是4.故答案為：415．.【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域求得，求得函數(shù)的導數(shù)，進而求得時函數(shù)取得極小值，利用極小值列不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】由題可知，則，由，可知函數(shù)時函數(shù)取得極小值，所以，解得.【點睛】本題考查導數(shù)與極值問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化以及運算求解能力.屬于中檔題.16．【分析】由垂直得一條漸近線的斜率，從而結(jié)合雙曲線標準方程求得值．【詳解】一條漸近線與直線垂直，則該漸近線的斜率為雙曲線的標準方程為，和．故答案為：．17．(1)(2)面積的最大值為．【分析】（1）首先利用正弦定理，邊角互化，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，利用余弦定理求角的值；（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式求面積的最大值.【詳解】（1）因為所以整理得由余弦定理知所以．因為，所以．（2）由（1）可知．因為，所以，當且僅當時等號成立所以即面積的最大值為．18．(1)(2)當或時最大，的最大值為【分析】（1）由等差數(shù)列的通項公式求得公差，從而得通項公式；（2）由等差數(shù)列前項和公式計算出，由二次函數(shù)性質(zhì)得最大值．(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為因為，所以所以.(2)因為，所以對稱軸為當或時最大，所以的最大值為.19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)得到平面，從而得到；（2）幾何法：通過面面垂直作過二面角的平面角，通過幾何計算求解；空間向量法：建立坐標系用空間向量求解.【詳解】（1）底面是菱形又平面平面，且平面平面，平面平面，又平面.（2）解法一：由（1）知面，又平面平面平面作交線，垂足為因為平面平面=，平面，則面又平面，所以.再作，垂足為，面，面，所以面，又面則所以為二面角的平面角因為平面，所以到底面的距離也為.作，因為平面平面，平面平面＝平面，所以平面，所以又為銳角所以又，所以為等邊三角形，故，所以因為，所以所以.所以二面角的平面角的余弦值為.解法二：由（1）知面，又平面平面平面作，因為平面平面，平面平面＝平面，所以平面如圖，建立直角坐標系：為原點，為軸方向，軸.因為平面，所以到底面的距離也為.所以，又為銳角，所以又，所以為等邊三角形，故在空間直角坐標系中：，設(shè)，則則設(shè)平面的法向量為，取設(shè)平面的法向量為，取所以由題知二面角為銳角，故二面角的平面角的余弦值為.20．(1)；(2)分布列見解析.【分析】（1）將表格數(shù)據(jù)代入公式，計算回歸方程；（2）由題可得的所有可能取值，然后根據(jù)古典概型概率公式結(jié)合組合數(shù)公式求概率，進而可得分布列及期望.【詳解】（1）由題可知，所以故月利潤y（千元）關(guān)于月銷售量x（百個）的回歸方程為；（2）由題可知的所有可能取值為0，1，2、3，則故的分布列為：0123P所以的數(shù)學期望．21．（1）；（2）存在，或.【分析】（1）由題意，橢圓的，再代入，聯(lián)立即得解，再由即可得離心率；（2）由題意，R為的重心，將直線與橢圓聯(lián)立，借助韋達定理可得，且在圓上，代入可得，由可得，代入可得，結(jié)合的范圍可得解.【詳解】（1）由題意，拋物線的標準方程為∴拋物線焦點坐標為即在橢圓中將點代入曲線的方程得由得則橢