2022年初升高數(shù)學(xué)銜接講義09三角形（教師版含解析）（第1套）

專題09三角形

名敢保述

三角形的“四心”有著明顯的幾何特征，這些幾何特征與高中很多知識(shí)都有交匯，所以要熟練掌握它們的

概念，理解對(duì)應(yīng)的幾何意義，為高中“四心”知識(shí)的綜合奠定基礎(chǔ).

1.四心的地位

所謂三角形的“四心”，是指三角形的四種重要線段相交而成的四類特殊點(diǎn),它們分別是三角形的內(nèi)心、外心、

垂心與重心，其中，外心與內(nèi)心在初中課本中分別作出了敘述和介紹，而垂心與重心這兩個(gè)概念是在高中

加強(qiáng)的.在高中后續(xù)學(xué)習(xí)向量、立體幾何、解析幾何等內(nèi)容時(shí)，垂心、重心、內(nèi)心、外心都是不可缺少的知

識(shí)點(diǎn)，在高考試卷中也屢屢出現(xiàn)，所以要清楚它們的基本概念，在三角形中用尺規(guī)作圖的方法能夠找到這

四心，也就是要熟悉它們的幾何特征，正三角形四心（內(nèi)心、重心、垂心、外心）合一，該點(diǎn)稱為正三角形的

中心.

2.四心的概念與常用性質(zhì)

內(nèi)心三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)，該點(diǎn)為三角形內(nèi)切圓的圓心，內(nèi)心到三角形的三邊的距離相等

垂心三角形的三條高的交點(diǎn)通過(guò)作圖可知銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)，直角三角形的垂心為直角頂點(diǎn),

鈍角三角形的垂心在三角形外，該點(diǎn)分每條高線的兩部分乘積相等；

重心：三角形的三條中線的交點(diǎn)，該點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍；

外心：三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，該交點(diǎn)為三角形外接圓的圓心，外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

四心在高中階段具有代數(shù)與幾何的雙重身份，需要給這四心的幾何特征以代數(shù)形式，數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù),

以數(shù)解形.

德程夏或

《初中課程要求》1、三角形及其性質(zhì)

2、全等三角形

3、相似三角形

4、直角三角形

《高中課程要求》1、三角變換與解三角形的綜合問(wèn)題

2、解三角形與平面向量結(jié)合

3、以平面圖形為背景的解三角形問(wèn)題

知徂雅神

高中必備知識(shí)點(diǎn)1:三角形的“四心〃

三角形是最重要的基本平面圖形，很多較復(fù)雜的圖形問(wèn)題可以化歸為三角形的問(wèn)題.

圖3.2-1圖3.2-2圖3.2-3

如圖3.27,在三角形△/BC中，有三條邊AB,BC,CA,三個(gè)角乙三個(gè)頂點(diǎn)4民。，

在三角形中，南平分線、中線、高（如圖3.2-2）是三角形中的三種重要線段.

三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)稱為三角形的重心.三角形的重心在三角形的內(nèi)部，

恰好是每條中線的三等分點(diǎn).

三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，是三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心在三角形的內(nèi)部，它到三

角形的三邊的距離相等.

三角形的三條高所在直線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為三角形的垂心.銳角三角形的垂心一定在三角

形的內(nèi)部，直角三角形的垂心為他的直角頂點(diǎn)，鈍前三角形的垂心在三角形的外部.

過(guò)不共線的三點(diǎn)4B、C有且只有一個(gè)圓，該圓是三角形48c的外接圓，圓心0為三角形的外

心.三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，是各邊的垂直平分線的交點(diǎn).

高中必備知識(shí)點(diǎn)2：幾種特殊的三角形

結(jié)論一：等腰三角形底邊上三線（角平分線、中線、高線）合一.因而在等腰三角形A8C中，三角

形的內(nèi)心/、重心G、垂心〃必然在一條直線上.

結(jié)論二：正三角形三條邊長(zhǎng)相等，三個(gè)角相等，且四心（內(nèi)心、重心、垂心、夕卜4）合一，該點(diǎn)

稱為正三角形的中心.

典例劇所

高中必備知識(shí)點(diǎn)1:三角形的“四心〃

【典型例題】

如圖，在。。中，A8是的直徑，PA與。。相切于點(diǎn)A,點(diǎn)C在。。上，且PC=PA,

⑴求證PC是。。的切線；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CDLA8于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)。，若CD=PA=2、0，

①求圖中陰影部分面積：

②連接AC,若△PAC的內(nèi)切圓圓心為/,則線段/￡的長(zhǎng)為.

4I-

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）①5陰影==§萬(wàn)一J3.②出.

【解析】

⑴證明：連接OGOP,

?點(diǎn)C在。。上，

：.oc為半徑.

：PA與。。相切于點(diǎn)4

：.OALPK.

：.ZPAO=90°.

,/OC=OA,

OP=OP,

PC=PA,

.?.△PC。也△PA。.

；.NPCO=NPA。=90°.

APCIOC.

；.PC是。。的切線.

fi

(2)①作CMLAP于點(diǎn)M,

'：CD±AB,

：.CE=DE=yJj,ZCEA=90°.

四邊形C/WAE是矩形.

百.

PM=AM.

：.PC=AC.

'：PC=PA,

：./\PCA是等邊三角形.

：.ZPAC=60°.

：.ZCAB=30".

AZCOF=60".

/.ZCOD=120".

在RtACOf中，

sin600=—,

oc

，0C=2.

.4r-

??5陰影=］兀-V3?

②：AP=2百,AH=CE=V3

.".CH=V3AH=3

又為正4PAC的內(nèi)心

1

Cl=-CH=2

3

2『

;MCE+C=V3+4"

【變式訓(xùn)練】

已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2.ZADC=60",等邊4AEF兩邊分別交邊DC、CB于點(diǎn)E、F。

⑴特殊發(fā)現(xiàn)：如圖①，若點(diǎn)E、F分別是邊DC、CB的中點(diǎn).求證：菱形ABCD對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)。即為

等邊4AEF的外心；

(2)若點(diǎn)EF始終分別在邊DC、CB上移動(dòng).記等邊4AEF的外心為點(diǎn)P.

①猜想驗(yàn)證：如圖②.猜想4AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；

②拓展運(yùn)用：如圖③，當(dāng)4AEF面積最小時(shí)，過(guò)點(diǎn)P任作一直線分別交邊DA于點(diǎn)M,交邊DC的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)N,試判斷一+擊是否為定值.若是.請(qǐng)求出該定值：若不是.請(qǐng)說(shuō)明理由。

【答案】⑴見(jiàn)解析；(2)①外心P一定落在直線DB上，見(jiàn)解析；②而+而為定值，而+而=L

【解析】

(1)證明：如圖I,分別連接OE、OF

?.?四邊形ABCD是菱形

.\AC±BD,BD平分NADC.AD=DC=BC,

ZCOD=ZCOB=ZAOD=90".

11

ZADO=2ZADC=5X6O°=3O°,

又；E、F分別為DC、CB中點(diǎn)

111

；.C)E=2CD,0F=2BC,AO=/D,

；.OE=OF=OA,

二點(diǎn)O即為AAEF的外心，

⑵①猜想：外心P一定落在直線DB上，

證明：如圖2,分別連接PE、PA,過(guò)點(diǎn)P分別作PI_LCD于I,PJLAD于J

/./PIE=NPJD=90°,,:ZADC=60°

ZIPJ=360o-ZPIE-ZPJD-ZJDI=120o

;點(diǎn)P是等邊4AEF的外心，.,.ZEPA=120°,PE=PA,

/.ZIPJ=ZEPA,；./IPE=NJPA

.'.△PIE絲ZXPJA,，PI=PJ,

...點(diǎn)P在NADC的平分線上，即點(diǎn)P落在直線DB上,

②的+而為定值

當(dāng)AE_LDC時(shí).4AEF面積最小,

此時(shí)點(diǎn)E、F分別為DC、CB中點(diǎn).

連接BD、AC交于點(diǎn)P,由⑴

可得點(diǎn)P即為4AEF的外心，

解法：如圖3.設(shè)MN交BC于點(diǎn)G

設(shè)DM=x,DN=y(x#O.y#0),則CN=y-2

由BC〃DA易證△GBPgZkMDP.ABG=DM=x.

/.CG=2-%,

VBC/7DA,.".ANCG^ANDM

.CN_CG.y-2_2T

"DN=DMf??7

，x+y=xy.

1111

七+1=1,即麗+而=1.

【能力提升】

定義：到三角形的兩邊距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)內(nèi)心，例如：如圖1,PD±AC,PE±AB,垂足分

別為點(diǎn)D、E,若PD=PE,則點(diǎn)P為AABC的準(zhǔn)內(nèi)心

⑴應(yīng)用：如圖2,CD為等邊三角形ABC的高，準(zhǔn)內(nèi)心P在高CD上，且PD=：AB,求NAPB的度數(shù).

（2）探究：如圖3,已知^ABC為直角三角形，斜邊BC=5,AB=3,準(zhǔn)內(nèi)心P在AC邊上（不與點(diǎn)A、C重合）,

求PA的長(zhǎng).

3

【答案】⑴NAPB=90。；（2）P4=￥

【解析】

(1)：準(zhǔn)內(nèi)心P在高CD上，

，①點(diǎn)P為NCAD的角平分線與CD的交點(diǎn)，

「△ABC是等邊三角形，

.../PAD=/PAC=30°,

VCD為等邊三角形ABC的高，

;.AD=GDP,AD=BD,

1

與已知PD=,AB矛盾，

...點(diǎn)P不可能為/CAD的角平分線與CD的交點(diǎn)，

同理可知②點(diǎn)P不可能為/CBD的角平分線與CD的交點(diǎn),

③；CD_LAB,

...點(diǎn)P為NBCA的平分線，

此時(shí)，點(diǎn)P到AC和BC的距離相等，

1

???PD=/B,

APD=AD=BD,

.*.ZAPD=ZBPD=45°,

AZAPB=90°；

(2)VBC=5,AB=3,

.?.AC=J叱=47=4,

???準(zhǔn)內(nèi)心在AC邊上，(不與點(diǎn)A,B重合),

?,?點(diǎn)P為/CBA的平分線與AC的交點(diǎn)，

作PDJ_BC與點(diǎn)D,

APA=PD,BD=BA=3,

設(shè)PA=x,則x2+22=(40x)2,

33

??x=2,即PA=Q

月

高中必備知識(shí)點(diǎn)2：幾種特殊的三角形

【典型例題】

問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1,ZXABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊AD上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE〃BC交AC于E,則線段BD

與CE有何數(shù)量關(guān)系？

拓展探究：如圖2,將4ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a（（T<a<360。），上面的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，

請(qǐng)就圖中給出的情況加以證明.

問(wèn)題解決：如果4ABC的邊長(zhǎng)等于2百，AD=2,直接寫出當(dāng)4ADE旋轉(zhuǎn)到DE與AC所在的直線垂直時(shí)BD

的長(zhǎng).

BCBB

圖1圖2備用壁

【答案】問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：BD=CE;拓展探究：結(jié)論仍然成立，見(jiàn)解析：?jiǎn)栴}解決：BD的長(zhǎng)為2和2s.

【解析】

問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖LBD=CE,理由是

「△ABC是等邊三角形，

AB=AC,

?；DE〃BC,

BD=CE,

拓展探究：結(jié)論仍然成立，如圖2,

由圖1得,AADE是等邊三角形，

，AD=AE,

由旋轉(zhuǎn)得/BAD=NCAE,ZkBADg/kCAE,（旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)）

,BD=CE,

問(wèn)題解決：當(dāng)4ADE旋轉(zhuǎn)到DE與AC所在的直線垂直時(shí)，設(shè)垂足為點(diǎn)F,此時(shí)有兩種情況:

,/AADE是等邊三角形,AFLDE,

.".ZDAF=ZEAF=30",

/BAD=30°,

過(guò)D作DGLAB,垂足為G,

；AD=2,

DG=1,AG=V3,

；AB=2百，

BG=AB-AG=也，

；.BD=2（勾股定理），

②如圖4,

同理得ABAD絲ZsCAE,

BD=CE,

:△ADE是等邊三角形，

，ZADE=60°,

VAD=AE/DE±AC/

.?.ZDAF=ZEAF=30°,

1

AEF=FD=-AD=I,

2

??.AF=G，

ACF=AC+CF=2V3+V3=3V3,

在RtAEFC中,EC=V￡F2+FC2=臚+(3揚(yáng)2=回=2幣，

.*.BD=EC=2V7.

綜上所述,BD的長(zhǎng)為2和2療.

【變式訓(xùn)練】

如圖，兩條射線BA〃CD,PB和PC分別平分/ABC和NDCB,AD過(guò)點(diǎn)2分別交AB,CD與點(diǎn)A,D.

⑴求/BPC的度數(shù)；

(2)若力。，844BCD=66,BP=2,求AB+CD的值；

(3)右-S^sp為a,SACDP為b,S^pc為c,求證：a+b=c.

【答案】(1)90。(2)4；(3)證明見(jiàn)解析

【解析】

{1}'：BA//CD,NA8C+/8CD=180°.

"：PB和PC分別平分NABC和NDCB,二/。8(：=1/ABC,ZPCB=-ZBCD,：.ZPBC+ZPCB=-x{ZABC+Z

222

88)=90°,/.ZBPC=90°；

⑵若NBCD=60°,BP=2,：.Z-ABC=180°—60°=120°,ZPCD^-ZBCD=30",：.ZABP=-ZABC=60°.

22

在RtZkABP中，BP=2,AB=1.在RtZ\8CP中，。。=2百.在RtZkPCD中，PD=^>,CD=3,：.AB+CD=^.

(3)如圖，作PQ_LBC.

VZABP=ZQBP,/BAP=/BQP,BP=BP.

二△ABPg/\8QP(AAS).

同理△PQC/△PCD(AAS),S△gcp=Szx8PQ+S△pQc=S/^4gp+S△pco'o+b=c.

【能力提升】

如圖，ZXABC、ADCE.AFEG是三個(gè)全等的等腰三角形，底邊BC、CE,EG在同一直線上，且AB=,BC=1,

連結(jié)BF,分別交AC、DC、DE于點(diǎn)P、Q、R.

⑴求證：△BFGs^FEG

（2）求sinZFBG的值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）亞.

6

【解析】

解：⑴依題可得：

BC=CE=EG=1,FG=AB=73>

:.BG=3,

在4BFG和ZSFEG中,

FG

ZG=ZG,

EG

/.△BFG^AFEG.

⑵過(guò)點(diǎn)F作FH±BG于點(diǎn)H,如圖,

貝l]NFHG=90。,

?.,△FEG是等腰三角形,EG=1,

/.EH=GH=-EG=~,

22

???FH=VFG2-GH2=—，

2

VABFG^AFEG,

.*.ZBFG=ZFEG=ZG,

.?.BF=BG=3BC=3,

在RtAFBH中，

FH_VTTVn

AsinZFBG=BF-2-6.

3

.對(duì)直橢秣

1.如圖，等邊△力8C的頂點(diǎn)”(1,1),8(3,1)；規(guī)定把△N8C"先沿X軸翻折，再向左平移1個(gè)單位”為

一次變換，這樣連續(xù)經(jīng)過(guò)2021次變換后，等邊△力3c的頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為().

A.(-2020,73+1)B.(-2017,-73-1)C.(—2018,6+1)D.(-2019,-73-1)

【答案】D

過(guò)點(diǎn)。作CD1ZB交AB于點(diǎn)D

：.AD=BD=-AB=-AC

22

5（3,1）

AC=AB=2

4D=L4B=1

2

?*-CD=y]AC2-AD2=G

/.C（2,V3+1）

第一次把"3C"先沿x軸翻折，再向左平移1個(gè)單位"，得——即C（T+2,—6-1）；

第二次把△N8C"先沿x軸翻折，再向左平移1個(gè)單位”，得。（1-1,百+1）,即C（—2+2,百+1）；

第三次把先沿x軸翻折，再向左平移1個(gè)單位"，得C（0—1,一0一1）,即C卜3+2,一百一1卜

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，第〃次把AZBC"先沿X軸翻折，再向左平移1個(gè)單位"，得C(一〃+2,-6-1)

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，第〃次把先沿x軸翻折，再向左平移1個(gè)單位"，得。(一”+2,6+1)

?.?2021為奇數(shù)

.?.第2021次把A/BC"先沿x軸翻折，再向左平移1個(gè)單位"，得。(一2021+2,-6-1),即

C(-2019,-V3-l)；

故選：D.

2.如圖，在中，點(diǎn)。是邊力6上的中點(diǎn)，連接CD,將△8C。沿著8翻折，得到AECQ,CE

與AB交于點(diǎn)F,連接ZE.若AB=6,CD=4,AE=2,則點(diǎn)C到23的距離為()

E

B---------------------C

A.2B.4V2c.紀(jì)1D.272

23

【答案】C

連接8E，延長(zhǎng)8交8￡于G點(diǎn)，過(guò)C作CH_LA8于”，如圖所示

由折疊的性質(zhì)，得：BD=ED,CB=CE

；.CG是線段BE的垂直平分線

1

BG=—BE

2

點(diǎn)是AB的中點(diǎn)

?*,BD=ADf=S&ACD

：.AD=ED

：./DAE;NDEA

BD=ED

???NDEB二NDBE

,?ZDAE+ZBEA+ZDBE=180°

即ZDAE+ZDEA+ZDEB+ZDBE=180°

：.2ZDEA+2ZDEB=130°

：.ZDEA+ZDEB=90°

即ZAEB=9Q°

在RtzXAEB中，由勾股定理得：BE=y]AB2-AE2=736-4=472

?*-BG=2A/2

,,S^BCD+S“C0-S“BC

/.2x-CD^BG=-AB-CH

22

.2CD?BG2x4x2/872

??CH=------------=---------------=------

AB63

故選：c.

3.在中，AC=BC,點(diǎn)。為48中點(diǎn)，NGDH=90。,NGDH繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),OG,?！胺謩e

6

與邊ZC,BC交于E,F兩點(diǎn)，下列結(jié)論：@AE+BF=—AB-,@AE2+BF2=EF2■③

-2--

00CEDF=150Jflc;④A。后尸始終為等腰直角三角形，其中正確的是（）

G

'EH

ADB

A.①②④B.①②③C.③④D.①②③④

【答案】D

解：連接CD，:4C=BC,點(diǎn)D為4B中點(diǎn),ZACB=90°,

AD=CD=BD=^AB.NA=/B=NACD=/BCD=45。,ZADC=ZBDC=90°.

：.NADE+NEDC=90°,

;ZEDC+ZFDC=ZGDH=90°,

/.ADE=NCDF.

在MDE和bCDF中，

NN=NDCB

<AD=CD,

ZADE=ZCDF

：.\ADE=\CDF(ASA),

DAE=CF,DE=DF，SMDE=S^CDF.

■：AC^BC,

:.AC-AE=BC-CF,

CE=BF.

AC=AE+CE,

AC=AE+BF.

?：AC2+BC2=AB2

:.AC=—AB,

2

??.AE+BF=—AB.

2

?;DE=DF,ZGDH=90°,

??.APE/始終為等腰直角?:角形.

?.-CE2+CF2=EF2,

AE2+BF2=EF1.

S四邊形CE0F=^SEDC+S^CDF，

,,S四邊形CEO尸—S，\EDC+^MDE=^MBC■

正確的有①②③④.

故選D.

4.如圖，在△ABC中，ZB4C=90°,A。是BC邊上的高，8E是AC邊的中線，CF是〃CB的角平分線，CF

交AD于點(diǎn)G,交8E于點(diǎn)H,下面說(shuō)法正確的是（）

①△A8E的面積=48?！甑拿娣e；②"AG=NFCB；③AF=AG；@BH=CH.

D.①③

【答案】D

解：：BE是AC邊的中線，

：.AE=CE,

,△BCE的面積=JXCEXA8,

22

.,.△ABE的面積=Z\8CE的面積，故①正確；

〈AD是8c邊上的高,

JZADC=90°f

'：ZBAC=9Q\

???ND4C+NAC8=90°,NF4G+ND4C=90°,

：.ZFAG=ZACB9

〈CF是N478的角平分線,

NACF=ZFCB,NACB=2NFCB,

：.ZFAG=2ZFCB,故②錯(cuò)誤；

'：^E/\ACF^/\DGC^,ZBAC=ZADC=90°,ZACF=ZFCB,

：./AFG=18O°(2N8AC0/ACF,/4GF=NDGC=180°?NADS/FC8,

ZAFG=NAGF,

：.AF=AG,故③正確；

根據(jù)已知不能推出NHBC=NHCB,即不能推出H8=”C,故④錯(cuò)誤；

即正確的為①③，

故選：D.

5.已知a、b為兩正數(shù)，且a+b=12,則代數(shù)式，4+/+J9+4最小值為()

A.12B.13C.14D.15

【答案】B

解：如圖所示，構(gòu)造RtZ^8EA和RtzMFC使得BE=a,EA=2,AF=3,FC=b,

根據(jù)勾股定理可得：48="7/和/=，9+/，

所以：

AB+AC2BC，

.,.當(dāng)A,B,C三點(diǎn)共線時(shí)4B+/C有最小值，即8C,

在RtAfiDC中3。=4BD2+DC2=J(a+6)2+(2+3>

故選：B

6.已知。、b、4分別是等腰三角形三邊的長(zhǎng)，且。、b是關(guān)于x的一元二次方程》2一6》+《+2=0的兩

個(gè)根，則左的值等于（）

A.6B.7C.-7或6D.6或7

【答案】D

解：???a、b、4分別是等腰三角形三邊的長(zhǎng)，

???當(dāng)0=4或b=4時(shí)，即：42-6x4+k+2=0,解得：k=6,

此時(shí)，f—6x+8=0的兩個(gè)根為：x尸2,X2=4,符合題意；

當(dāng)。=b時(shí)，即△=(-6)2-4x(k+2)=0,解得:k=7,

此時(shí)，工2一61+9=0的兩個(gè)根為：XI=X2=3,符合題意；

綜上所述，k的值等于6或7,

故選：D.

7.如圖，在銳角△ABC中，AB=O，N8AC=45°,N8AC的平分線交BC于點(diǎn)D,M、N分別是AD和AB上

的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是()

A.—B.1C.V2D.6

2

【答案】B

如圖，作8〃"L/C于點(diǎn)/交NO于點(diǎn)〃'，作〃州于點(diǎn)N',則即r+MM為所求最小值.

由角平分線的性質(zhì)可知M州'=朋77,

/.BM'+M'N'=BM'+M'H=BH,即5/7長(zhǎng)為所求最小值.

,/NBAC=45°,

:.“BH為等腰直角三角形.

???BH=AB*sm45°=V2x—=1.

2

C

H

故選B.

8.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)43,C,D,E是網(wǎng)格線交點(diǎn)，則乙B/C-ND/E的度數(shù)為（）

【答案】A

解：如圖，連接CG、AG,

由勾股定理得：AC2=AG2=l2+22=5,CG2=l2+32=10,

：.AC2+AG2^CG2,

：.ZCAG=90°,

...△CAG是等腰直角三角形，

：.ZACG=45°,

'：CF//AB,

ZACF=ABAC,

在ACFG和中,

CF=AD

<ZCFG=ZADE=90°,

FG=DE

：./\CFG^/\ADE{SAS),

：.NFCG=NDAE,

NBAC-NDAE=ZACF-ZFCG=NACG=45°,

故選：A.

9.如圖，在中，ZC=90°,4。平分NC4B,DEL力8于E,則下列結(jié)論中，不正確的是(

)

A.DE平分NADBB.BD+ED=BCC.4D平分NEDCD.ED+AC>AD

【答案】A

平分NCA8,CD±AC,ED±AB

：.CD=ED,

：.BC=BD+CD=BD+ED

故選項(xiàng)B正確；

丫4。平分NCA8

：.ZCAD=ZEAD

VCD14C,EDLAB

：.ZC=ZDEA=90°

ZADC=ZADE

即AD平分/EDC

故選項(xiàng)C正確；

在△AC。中，AC+CD>AD

：.ED+AC>AD

故選項(xiàng)D正確:

若DE平分/4D8

貝I」有N80E二NADE

*.?ZADE=ZADC

：.ZADE=ZADC=ZBDE

VZADE^ZADC+ZBDE=180°

AZBDE=60°

：.ZB=90°-ZBDE=30°

顯然這里N8是不一定為30°

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

故選：A.

10.如圖，一艘輪船在A處測(cè)的燈塔。在北偏西15。的方向上，該輪船又從A處向正東方向行駛20海里到

達(dá)B處,測(cè)的燈塔。在北偏西60。的方向上，則輪船在8處時(shí)與燈塔。之間的距離（即5C的長(zhǎng)）為（）

A.40G海里B.儂6+10）海里

C.40海里D.（lOG+lO卜每里

【答案】D

解：過(guò)A作4O_L8C于。，如圖所示：

在中，ZABD=30°,Z8=20海里，

1C

，/。=—48=10（海里），8。=百/0=4/6=10百（海里）,

22

VZABC=30°,NA4C=90°+15°=105°,

ZC=180o-105°-30o=45°,

△NCD是等腰直角三角形，

。。=力。=10海里，

8c=80+CO=00百+10）海里,

故選：D.

1L如圖,在正方形ABCD中，4B=8,點(diǎn)、P是線段QC上的動(dòng)點(diǎn)，將\ADP沿直線AP翻折,得到&AEP,

點(diǎn)H是BC上一點(diǎn),且BH=3,連接HE,當(dāng)。尸的長(zhǎng)為時(shí)，是直角三角形.

［答案】8或—

11

①當(dāng)E在AH的上方時(shí)，且N4￡”=90。，

根據(jù)折疊的性質(zhì)，ZAEP=ZD=90°,AD=AE,DP=PE,

：.ZAEP=ZAEH=90°,AD=AE=AB,

...點(diǎn)P、E、H在同一直線上，

在RtAABH和Rt/\AEH中，

AH=AH

'AB=AE'

：.Rt/\ABH^RtZ\AEH(HL),

:.EH=BH=3,

設(shè)DP=x,則PC=8—x,HC=8-3=5,PH=PE+HE=x+3,

在NQCPH中，HC2+PC2=PH2>即52+(8-，=(X+3)2,

解得X=H,即DP=—；

②當(dāng)后在A”的下方時(shí)，且/AEH=90。，如圖:

B⑻HC（P）

此時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，則點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，

，DP=8；

40

綜上，當(dāng)DP的長(zhǎng)為8或元時(shí)，&1是直角三角形.

40

故答案為：8或—.

12.如圖，點(diǎn)4（2,2）在直線V=x上，過(guò)點(diǎn)作同用Uy軸交直線y=gx于點(diǎn)與，以點(diǎn)4為直角頂點(diǎn)，

為直角邊在的右側(cè)作等腰直角△48C,再過(guò)G點(diǎn)作過(guò)點(diǎn)&BJ/y軸交直線^=x和直線y=于

4，與兩點(diǎn)，以點(diǎn)4為直角頂點(diǎn)，4鳥(niǎo)為直角邊在的右側(cè)作等腰直角△4與6，??.，按此規(guī)律進(jìn)行

下去，則等腰直角△/“紇G的邊長(zhǎng)4G為.（用含正整數(shù)〃的代數(shù)式表示）

【答案】（272

解：?.?點(diǎn)4（2,2）在直線卜=》上,

???點(diǎn)與橫坐標(biāo)為2,將x=2代入＞=；x得y=l,

???點(diǎn)與坐標(biāo)為(2,1).

???△Z4G為等腰直角三角形，

/.A}B}=4G=2—1=1,

???點(diǎn)(坐標(biāo)為(3,2).B\G=O.

,?,過(guò)G點(diǎn)作4層//丁軸，

13

二4，層的橫坐標(biāo)為3,將x=3分別代入歹=》與＞=QX中得兒，質(zhì)的縱坐標(biāo)分別為3,--

333

即4(3,3),B2(3,-),A2B2=3--=-,

.-.52C2=V2J252=|V2.點(diǎn)G坐標(biāo)為g，3).

同理可得83G=(|y&，84c4=grV2……

故答案為：血.

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4,4,4,…，4在龍軸上，點(diǎn)4,82，員，…，紇在直線y=乎》上.若

4(1,0),且紇4山都是等邊三角形，從左到右的小三角形(陰影部分)的面積分別

解：由等邊三角形可知:

A1B1//A2B2//...//AnBnf

832〃82A3〃…〃BnAn^?

直線y=—x與x軸的夾角/BQ4=30。，NO48i=120。，

3

.?.NOB3i=30",

?*OA^--A\B19

???4(1,0),

???4Bi=L

同理NOB2A2=30°.......NO8nAi=30°,

/.B2A2—OA2—2,8/3=4,8fAi=2叫

可知/。814=90°,N。8fAl+i=90°,

nM

...8182=6，8283=26，BnBn+1=2V3-

2nB3

.,.Si=lxlxV3=-(s2=-x2x2V3=273,Sn=2y/3.

222

4039

當(dāng)n=2021時(shí)，5202l=2V3

故答案為：24039V3.

14.如圖，四邊形ABCD中,AD〃BC,連接AC,AUL8C,N8AD=135。,E為AC上一點(diǎn)，連接8E,N8EC=2〃CD,A。

=2,CE=3,則線段BE=__.

【答案】5

解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF〃C。交8c于點(diǎn)F,作FGL8E于點(diǎn)G,

\'EF//CD,

：.ZFEC=ZACD9

,/ZBEC=2ZACD=ZBEF+ZCEFf

:?/BEF=/CEF,

yACl.BC,FG1.BE,

：.CF=GF,

■:AD//BC,

：.ZDAC=4cB=90°,

.??ZBAC=ZBAD^1ZCAD=135°09O°=45°,

:.N48C=45。，

???△48C是等腰直角三角形，

：.AC=BCf

設(shè)八E=x,

???AC=8C=4E+￡C=x+3,

在RtAEGF和RtAECF中，

EF=EF

<FG=FC'

：.RtAEGF^RtA￡CF(H￡),

：.EG=ECt

丁NDAC=NFCE=90°,ZACD=NCEF,

：.△4DCMCFE,

tADAC

"~CF~~CEJ

.2x+3

??,

CF3

6

/.CF=

x+3

6

：.GF=-------

x+3

"：ZBGF=ZBCE=90°,ZFBG=ZEBC,

:.ABFGsdBEC,

.FGBG

"~EC^~BC

6BG

x+3

x+3

3

BE=BG+GE=BG+EC=2+3=5.

故答案為：5.

15.如圖，ZVIBC中，ZC=90°,AC=4,8c=3,將△ABC繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度a（（T<a<90。），直

線4cl分別交AB,AC于點(diǎn)G,H.當(dāng)41GH為等腰三角形時(shí)，則CH的長(zhǎng)為.

【答案】麗—1或L

解：如圖1中，當(dāng)AG=AH時(shí),

圖1

,

\AG=AHt

：.NAHG=NAGH,

V乙4GH=N4G8,

/.ZAHG=ZA1BGf

：.ZA1GB=ZA1BGi

.\AiB=A1G=5f

:.GCi=A±G-CiG=l,

???N8GG=90°,

.BG=JcF+CG=J32+F=V10.

AH=AG=AB-BG=5-M，C/7=^C-T4/7=4-(5-710)=710-1,

如圖2中，當(dāng)GA=GH時(shí)，過(guò)點(diǎn)G作GMYAH于M.

圖2

同法可證，G8=G4,設(shè)G8=G4產(chǎn)x,則有X2=32+(4-X)2,

25

解得x=§，

0

/.BG=-,AG^5--=—

888

AGAM

ABAC

15

8=AM,

54

3

???AM=

2

???G4=G"，GM_L4H,

：.AH=3,

：.CH^AC-AM=1.

當(dāng)"G=AH時(shí)，NHGAnNHAGaSY/ABC（大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角），

ZA1HC=ZHGA+ZHAG<90°,

.?.NQBC=360°-9（r-90°-ZAiHC>90。，即旋轉(zhuǎn)角度大于90。，不符合題意.

綜上所述，滿足條件的C”的值為廂-1或1.

故答案為：廂—1或L

16.如圖，在4/臺(tái)。中，Z5=18°,NC=41。，點(diǎn)。是6C的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，將AADE沿。E折

疊，若點(diǎn)8的落點(diǎn)8'在射線。上，則"4與所夾銳角的度數(shù)是.

【答案】80°.

如下圖，連接DE,以與5Z>相交于點(diǎn)。,

B'

將ZiBDE沿DE折疊，

/\BDE^/\B'DE,

BD=B'D,

又丁。為8c的中點(diǎn)，BD=DC,

：.BD=B'D，

：.ZDB'C=ZC=4l°,

ZBDB'=ZDB'C+ZC=82°,

/BOD=180°-ZS-ZBDB'=80°,

即BA與B'D所夾銳角的度數(shù)是80°.

故答案為：80°.

17.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A,B,C,D是網(wǎng)格線交點(diǎn)，則8c與△D8C面積的大小關(guān)系為

Swc（填"或

【答案】＞

1

號(hào)\生=5X2x3=3，

Sg=^XV5X75=|

故填：＞.

18.如圖，ZCAD+ZB+ZC+ZD+ZE=

BAE

【答案】180°

VZBAC和ZDAE分別是AACE■和△A8。的外角,

：.ZBAC=ZC+ZE,ZDAE=ZB+ZD,

：.NC4Z)+N8+NC+ZD+NE=/CAD+/8AC+NCME=180°,

故答案為:180°

19.如圖，在中，ZC=90°,BC=3,AC=4,BD平分乙4BC,AD!IBC,則/。的長(zhǎng)

是.

【答案】5

在中，NC=90°,BC=3,AC=4,

???AB74c2+BC?="+32=5,

??.BD平分/ABC,

，NABD二NDBC,

ADIIBC,

ZADB=ZDBCf

：.ZABD=ZADB,

：.AB=AD=5,

故答案為：5.

20.如圖，將一個(gè)含30。角的三角尺ABC繞點(diǎn)4按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到ZV1DE,使點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC

邊上，若AB=6,則CD的長(zhǎng)為.

【答案】拒

解：由旋轉(zhuǎn)得：AD=AB=y/3，

;在去△48C中，

ZC=30°,ZC4B=90°,

AZ8=60°,

9：AD=AD,

：.ZADB=ZB=60\

'/ZDAB+ZADB+ZB=18Q°,

：.ZDAB=ZADB=ZB=60°f

：.AD=AB=DB=yfj,

在中，ZC=30°,ZC4B=90°,

1

：.AB=—BC

2f

：.BC=2AB=2y/3

：.CD=BC-BD=2V3-V3=V3.

故CD的長(zhǎng)為JJ.

21.如圖1,在比△ZBC中，ZACB=90°,/8=/C,點(diǎn)。是的中點(diǎn)，連接點(diǎn)E是/。上

一點(diǎn)，連接8E并延長(zhǎng)交ZC于點(diǎn)尸.

E

CDBCDB

圖1圖2

⑴若點(diǎn)尸是/C中點(diǎn)，求證：NABE=NBAE；

(2汝口圖2,若NDBE=4DEB.

①求證：AE=CF；

②猜想受的值并寫出計(jì)算過(guò)程.

CF

【答案】⑴見(jiàn)解析；⑵①見(jiàn)解析；②叵口

2

解：(1)證明：???/C=5C,

ACAB=NCBA,

,??點(diǎn)。是8C的中點(diǎn)，點(diǎn)F是ZC中點(diǎn)，

CF=CD,ZC=ZC,

&BCF=MCD(SAS),

ZCBF=ACAD,

ZABE=ZBAE；

⑵①證明：連接C￡,

BD=DE=CD,

???/BEC=90°,

ZFCE=NCBF=/BED=AAEF,

???ZFAE=NEAC,

/.kEAFs^CAE,

.AE_AF

,,就一布’

即AE2=AC-AF,

jr2J/72

AF=-CF=AC-AF=AC一一—；

ACfAC

設(shè)NC=8C=2x,則8O=CZ)=x,AD=0，

AE=(45-\)x,CF=2x-'V)-=(V5-l)x,

2x

DAE=CF-

②猜想：竺=必二1,

CF2

理由如下：

■：CF=(y/5-\)x,

JF=2x-(V5-l)x=(3-V5)x,

AF(3-V5)x75-1

CF~(>/5-l)x-2'

22.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形Z8C。中，點(diǎn)K在/。上，連接8K,過(guò)點(diǎn)A,。作5K的垂線，垂足分別

為M，N,點(diǎn)。是正方形/BCD的中心，連接OM,ON.

⑴求證：AM=BN；

⑵請(qǐng)判斷AOMN的形狀，并說(shuō)明理由；

⑶若點(diǎn)K在線段ZD上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)），設(shè)ZK=x,AOMN的面積為求＞關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（寫

出x的范圍）；若點(diǎn)K在射線力。上運(yùn)動(dòng)，且AOWN的面積為」請(qǐng)直接寫出/K長(zhǎng).

2_7Y4-11

【答案】⑴見(jiàn)解析；（2）等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析；（3））=Y,（0＜x＜］）,ZK長(zhǎng)為一或3

4x2+4'）3

解：⑴證明：AMA.BM,CN1BN,：.NAMB=ZBNC=90°.

又???N/8C=90°,AZMAB+ZMBA=90°,^CBN+ZMBA=90°,

...ZMAB=NCBN.

在△AMB和△8NC中

NAMB=ZBNC

<ZMAB=4CBN,

AB=BC

：.蛇△BNC(AAS),

AM=BN.

(2)AOMN是等腰直角三角形,

理由如下：連接03,

?.?。為正方形的中心

：.OA=OB,NOBA=NOAB=45°=NOBC,AO1BO,

?：ZMAB=ZCBM,

NMAB-NOAB=ZNBC-4OBC,即ZMAO=ZOBN.

在△AM。和△8N。中

AM=BN

<AMAO=NOBN,

OA=OB

：.絲△BNO(SAS),

/.OM=ON,ZAOM=ZBON,

?：NAOB=ZAON+ZBON=90°,

ZAON+ZBON=90°,NAON+ZAOM=90°,4MON=90°,

...AOMM是等腰直角三角形.

⑶在中，BKNAK+AB?=JX2+I,

11

VS/\=—xAKxAB=—xBKxAM,

ABK22

AK,AB_x

BMAB

cosNABK==-----=-----

ABBK

ABAB

'-BM=BK

1-x

:.MN=BM-BN=/,,

Vx2+1

/n1

OM=ON=—MN，S&OMN=~OM-ON,

22

(17)2

1r2

??S/\OMN=—MN

44x2+4

x~-2.x+1

?\y=<x<1),

4X2+4

當(dāng)點(diǎn)K在線段40上時(shí)，則l=x>2x”l,解得：玉=3（不分題意舍去），x2=~,

104x2+43

丫2_7Y-I_1

當(dāng)點(diǎn)K在線段AD的延長(zhǎng)線時(shí)，同理可求得y=\，；（x〉1），

.1—2x+1

??歷―4X24-4，

解得：石=3,9=；（不合題意舍去），

綜上所述：ZK氏為一或3時(shí)，AOA/N的面積為—.

310

23.如圖，在正方形/8C0中，動(dòng)點(diǎn)E，尸分別在邊。C,C8上移動(dòng)（不與頂點(diǎn)重合）,且滿足QE=61尸.連

接4E和。尸，交于點(diǎn)尸.

⑴請(qǐng)你寫出AE與DF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;

⑵由于點(diǎn)E，尸的移動(dòng)，使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng).

①請(qǐng)用文字描述并且在圖中畫出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑；

②若NO=10,請(qǐng)求出線段C尸的最小值.

【答案】（1）ZE=￡）F,4E1QF,見(jiàn)解析；⑵①點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是以/O為直徑的圓的圓弧。尸。（去除

端點(diǎn)O，。）；②56-5

解：（1）4E=￡>F,AELDF,

理由是：?.?四邊形/BCD是正方形，

AD=DC,ZADE=ZDCF=90°,

???DE=CF,

AD=DC

在dDE和ADCF中<ZADE=ZDCF,

DE=CF

/\ADE蘭/XDCF,

AE=DF,NDAE=ZFDC

?：ZADE=90°,

ZADP+ZFDC=90°,

：.N4DP+ND4E=90°,

：.ZAPD=180°-90°=90°,

AEIDF；

(2)如圖,

①???點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持ZAPD=90°,設(shè)正方形ABCD的中心為O,

...得出點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)路徑是以4D為直徑的圓的圓弧。尸。卜去除端點(diǎn)。，O),

②設(shè)力。的中點(diǎn)(圓心)