高斯求積課件

高斯型求積公式高斯型求積公式

第五節(jié)主要內(nèi)容在確定求積公式求積系數(shù)Ak的過程中限定求積節(jié)點為等分節(jié)點，簡化了處理過程，但也降低了求積公式的代數(shù)精度具有(n+1)個求積節(jié)點的Newton-Cotes公式，至少具有n階代數(shù)精度去掉求積節(jié)點為等分節(jié)點的限制條件，會有什么結(jié)果？？高精度求積公式一.高斯型求積公式

對于插值型求積公式，只要節(jié)點xk確定,則相應(yīng)的求積系數(shù)為Ak,xk(k=1,2,…,n)均為待定參數(shù),則可使求積公式的具有2n-1次代數(shù)精度1.定義：有n個節(jié)點的求積公式最高可具有2n-1次代數(shù)精度，稱這種高精度的求積公式為Guass型求積公式，節(jié)點xk為Guass點2.常見的Guass型公式4位有效數(shù)字T2=0.9207355,1位有效數(shù)字如果Guass點位置確定，則可以通過Newton-Cotes公式確定求積系數(shù)Ak二.Guess點的性質(zhì)困難Guass公式可以通過求解2n階非線性方程組，確定待定參數(shù)，構(gòu)造求積公式降低難度關(guān)鍵：確定Guass點考察Guess點的性質(zhì)定理：插值型求積公式證明：必要性：高斯求積定理充分性：如果w(x)與任意次數(shù)不超過n-1的多項式正交，則其零點必為Guass點高斯求積定理代數(shù)精度至少為2n-1,因此為Guass點利用Gauss點的性質(zhì)確定兩點Gauss公式定義：三、勒讓德多項式四.高斯型求積公式的構(gòu)造解：用三個節(jié)點的高斯—勒讓德公式用Gauss型求積公式計算積分近似值時，Gauss點與求積系數(shù)都是預(yù)先給出的，例1用高斯—勒讓德求積公式計算使其具有五次代數(shù)精度。例1例題1Guass-Legendre多項式的Guass點及求積系數(shù)nGuass點系數(shù)Ak1022x1=-0.5773502692x2=-x1A1=A2=13x1=-7745966692x2=0,x2=-x1A1=A3=0.5555555556A2=0.88888888894x1=-0.8611363116x2=-0.3399810436x3=-x2,x4=-x1A1=A4=0.3478548451A2=A3=0.65214515495x1=-0.9061798459x2=-0.5384693101x3=0,x4=-x2,x5=-x1A1=A5=0.2369268851A2=A4=0.4786286705A3=0.5688888889解：作變換若用n=2的Gauss-Legendre公式，則

求積分的近似值。例2例題2若用n=3的Gauss-Legendre公式，則例題2分別用不同方法計算如下積分,并做比較各種做法比較如下：一、Newton-Cotes公式當(dāng)n=1時，即用梯形公式，當(dāng)n=2時,即用Simpson公式,當(dāng)n=3時,I=0.9461090當(dāng)n=4時,I=0.9460830當(dāng)n=5時,I=0.9460831例題3二:用復(fù)化梯形公式令h=1/8=0.125三：用復(fù)化Simpson公式令h=1/8=0.125例題3四、Romberg公式KTn

SnCnRn00.920735510.93979330.946145920.94451350.94608690.940083030.94569060.94608330.9460831

0.9460831例題3五、Gauss公式令x=(t+1)/2,用2個節(jié)點的Gauss公式用3個節(jié)點的Gauss公式

例題3此例題的精確值為0.9460831...由例題的各種算法可知：對Newton-cotes公式，當(dāng)n=1時只有1位有效數(shù)字，當(dāng)n=2時有3位有效數(shù)字，當(dāng)n=5時有7位有效數(shù)字。對復(fù)化梯形公式有2位有效數(shù)字，對復(fù)化Simpson公式有6位有效數(shù)字。用復(fù)化梯形公式，對積分區(qū)間[0，1]二分了11次用2049個函數(shù)值，才可得到7位準(zhǔn)確數(shù)字。用Romberg公式對區(qū)間二分3次，用了9個函數(shù)值，得到同樣的結(jié)果。用Gauss公式僅用了3個函數(shù)值，就得到結(jié)果。各種方法的比較1：梯形求積公式和Simpson求積公式是低精度的方法，但對于光滑性較差的函數(shù)有時比用高精度方法能得到更好的效果。復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simson求積公式，精度較高，計算較簡，使用非常廣泛。2：Romberg求積方法，算法簡單，當(dāng)節(jié)點加密提高積分近似程度時，前面的計算結(jié)果可以為后面的計算使用，因此，對減少計算量很有好處。并有比較簡單的