無窮級數(shù)和微分方程

無窮級數(shù)和微分方程第一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三一、判斷數(shù)項級數(shù)斂散的方法1、利用已知結(jié)論：等比級數(shù)、P-級數(shù)及級數(shù)性質(zhì)2、利用必要條件：主要判別發(fā)散3、求部分和數(shù)列的極限4、正項級數(shù)的審斂法1）比值審斂法（根值審斂法）2）比較審斂法（或極限形式）5、交錯級數(shù)審斂法：萊布尼茲定理6、一般級數(shù)審斂法：先判斷是否絕對收斂，如果絕對收斂則一定收斂；否則判斷是否條件收斂第二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三1.數(shù)項級數(shù)及收斂定義：給定一個數(shù)列將各項依即稱上式為無窮級數(shù)，其中第n項叫做級數(shù)的一般項,級數(shù)的前n項和稱為級數(shù)的部分和.次相加,簡記為收斂,則稱無窮級數(shù)并稱S為級數(shù)的和。第三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三

等比級數(shù)(又稱幾何級數(shù))(q稱為公比).級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散

.其和為P-級數(shù)第四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三2.無窮級數(shù)的基本性質(zhì)

性質(zhì)1.

若級數(shù)收斂于S,則各項乘以常數(shù)c所得級數(shù)也收斂,即其和為cS.性質(zhì)2.

設(shè)有兩個收斂級數(shù)則級數(shù)也收斂,其和為第五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三說明:(2)若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散,則必發(fā)散.但若二級數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.(1)性質(zhì)2表明收斂級數(shù)可逐項相加或減.(用反證法可證)第六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三性質(zhì)3.在級數(shù)前面加上或去掉有限項,不會影響級數(shù)的斂散性.性質(zhì)4.收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級的和.推論:

若加括弧后的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)必發(fā)散.注意:

收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.性質(zhì)5：設(shè)收斂級數(shù)則必有可見:

若級數(shù)的一般項不趨于0,則級數(shù)必發(fā)散.第七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三*例1.判斷級數(shù)的斂散性:解:該級數(shù)是下列兩級數(shù)之差故原級數(shù)收斂.第八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三

(比較審斂法)設(shè)且存在對一切有(1)若強級數(shù)則弱級數(shù)(2)若弱級數(shù)則強級數(shù)則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.是兩個正項級數(shù),

(常數(shù)k>0),3.正項級數(shù)審斂法第九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三第十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三

(比較審斂法的極限形式)則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;(2)當l=

0(3)當l=∞設(shè)兩正項級數(shù)滿足(1)當0<l<∞時,第十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三的斂散性.例3.

判別級數(shù)解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知第十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三比值審斂法(D’alembert判別法)設(shè)為正項級數(shù),且則(1)當(2)當時,級數(shù)收斂;或時,級數(shù)發(fā)散..

根值審斂法(Cauchy判別法)設(shè)

為正項級數(shù),且則第十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三因此級數(shù)收斂.解:第十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三4.交錯級數(shù)及其審斂法

則各項符號正負相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)

.

(Leibnitz

判別法)

若交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù)收斂。第十五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三5.絕對收斂與條件收斂

定義:

對任意項級數(shù)若若原級數(shù)收斂,但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散,則稱原級收斂,數(shù)絕對收斂；則稱原級數(shù)條件收斂.

絕對收斂的級數(shù)一定收斂.第十六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三由絕對收斂概念和萊布尼茲定理知:交錯級數(shù)第十七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三例5.

證明下列級數(shù)絕對收斂:證:

而收斂,收斂因此絕對收斂.第十八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散

1.Abel定理

若冪級數(shù)則對滿足不等式的一切x冪級數(shù)都絕對收斂.反之,若當?shù)囊磺衳,該冪級數(shù)也發(fā)散.時該冪級數(shù)發(fā)散,則對滿足不等式二、求冪級數(shù)收斂域第十九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三*例6.已知冪級數(shù)在處收斂，則該級數(shù)在處是收斂還是發(fā)散？若收斂，是條件收斂還是絕對收斂？解：由Abel定理，該冪級數(shù)在處絕對收斂，故在絕對收斂。第二十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三例7.已知處條件收斂,問該級數(shù)收斂半徑是多少?答:根據(jù)Abel定理可知,級數(shù)在收斂,時發(fā)散.故收斂半徑為第二十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三若的系數(shù)滿足1)當≠0時,2)當＝0時,3)當＝∞時,則的收斂半徑為2.求收斂半徑第二十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三對端點

x=－1,的收斂半徑及收斂域.解:對端點x=1,級數(shù)為交錯級數(shù)收斂;

級數(shù)為發(fā)散.故收斂域為例8..求冪級數(shù)

第二十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三例9.

求下列冪級數(shù)的收斂域:解:

(1)所以收斂域為(2)所以級數(shù)僅在x=0處收斂.規(guī)定:0!=1第二十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三例10.的收斂域.解:

令級數(shù)變?yōu)楫攖=2時,級數(shù)為此級數(shù)發(fā)散;當t=–2時,級數(shù)為此級數(shù)條件收斂;因此級數(shù)的收斂域為故原級數(shù)的收斂域為即第二十五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三三、求函數(shù)的冪級數(shù)展開式1、對函數(shù)作恒等變形（如果需要的話）2、利用已知結(jié)論，用變量代換或求導(dǎo)積分得所求函數(shù)的冪級數(shù)3、寫出收斂范圍(P34例1-37)第二十六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三1.求傅立葉級數(shù)展開式2.求某個傅立葉系數(shù)3.求和函數(shù)在某些點的值四、傅立葉級數(shù)的有關(guān)問題第二十七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)定理.

設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),且則有①②第二十八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三定理

(收斂定理,展開定理)設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),并滿足狄利克雷(Dirichlet)條件:1)在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點;2)在一個周期內(nèi)只有有限個極值點,

則f(x)的傅里葉級數(shù)收斂,且有

x為間斷點其中為f(x)的傅里葉系數(shù).

x為連續(xù)點第二十九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三例13.設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在上的表達式為解:第三十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三第三十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三微分方程一、微分方程的基本概念二、解微分方程三、微分方程應(yīng)用第三十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程.方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程一、微分方程的基本概念的階.例如：一階微分方程二階微分方程第三十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三—使方程成為恒等式的函數(shù).通解—解中所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程—確定通解中任意常數(shù)的條件.初始條件(或邊值條件):的階數(shù)相同.特解微分方程的解

—不含任意常數(shù)的解,

定解條件

其圖形稱為積分曲線.第三十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三例1.

驗證函數(shù)是微分方程的解.解:

是方程的解.第三十五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三二、解微分方程1.一階微分方程可分離變量，一階線性2.高階微分方程可降階微分方程，二階線性常系數(shù)齊次，二階線性常系數(shù)非齊次只要求寫出特解形式。第三十六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三分離變量方程的解法:(2)兩邊積分①②(3)得到通解稱②為方程①的隱式通解,或通積分.(1)分離變量第三十七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三*例2.

求微分方程的通解.解:

分離變量得兩邊積分得即(C為任意常數(shù))因此可能增、減解.第三十八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三一階線性微分方程一階線性微分方程標準形式:若Q(x)0,若Q(x)0,稱為非齊次方程.1.解齊次方程分離變量兩邊積分得故通解為稱為齊次方程;第三十九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三對應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解2.解非齊次方程用常數(shù)變易法:則故原方程的通解即即作變換兩端積分得第四十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三解*例3.利用一階線性方程的通解公式得：第四十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三例4.

解方程

解:

先解即積分得即用常數(shù)變易法求特解.令則代入非齊次方程得解得故原方程通解為第四十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三令因此即同理可得依次通過n次積分,可得含n個任意常數(shù)的通解.型的微分方程

第四十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三例5.

解:

第四十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三型的微分方程設(shè)原方程化為一階方程設(shè)其通解為則得再一次積分,得原方程的通解第四十五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三例6.

求解解:

代入方程得分離變量積分得利用于是有兩端再積分得利用因此所求特解為第四十六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三型的微分方程

令故方程化為設(shè)其通解為即得分離變量后積分,得原方程的通解第四十七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三例7.

求解代入方程得兩端積分得(一階線性齊次方程)故所求通解為解:第四十八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三*例8.

解初值問題解:令代入方程得積分得利用初始條件,根據(jù)積分得故所求特解為得第四十九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三二階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)是二階線性齊次方程的兩個解,也是該方程的解.定理1.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五十頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三定理2.是二階線性齊次方程的兩個線性無關(guān)特解,則數(shù))是該方程的通解.例如,方程有特解且常數(shù),故方程的通解為(自證)

第五十一頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三特征方程:實根

特征根通解二階線性常系數(shù)齊次微分方程求解第五十二頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三例9.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解為例10.求解初值問題解:特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為第五十三頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三*例11.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解為第五十四頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三例12.解：因是一個特解，所以是特征方程的重根，故特征方程為：所對應(yīng)微分方程為第五十五頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)

是二階非齊次方程的一個特解,Y(x)是相應(yīng)齊次方程的通解,定理3.則是非齊次方程的通解.②①第五十六頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三(2)若是特征方程的單根

特解形式為(3)若是特征方程的重根

特解形式為(1)若不是特征方程的根特解形式為第五十七頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三的特解形式.解:本題而特征方程為不是特征方程的根.特解形式為例13.例13.的特解形式.解:本題而特征方程為其根為特解形式為第五十八頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三三、微分方程應(yīng)用1.利用導(dǎo)數(shù)幾何意義列方程2.利用導(dǎo)數(shù)物理意義列方程3.利用牛頓第二定律第五十九頁，共六十一頁，編輯于2023年，星期三求所滿足的微分方程.*例14.

已知曲線上點

P(x,y)處的法線與x

軸