2022-2023學(xué)年廣西欽州市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期12月考試數(shù)學(xué)試題含答案

2022-2023學(xué)年廣西欽州市高二上學(xué)期12月考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.手機(jī)上有一款繪圖軟件，軟件中提供了紅、黃、綠三種基本顏色，每種顏色都有0~255種色號(hào)，

在手機(jī)上繪圖時(shí)可以分別從三種顏色的所有色號(hào)中各選一個(gè)配成一種顏色，那么在手機(jī)上繪圖時(shí)可

配成的顏色種數(shù)為（）

33

A.256B.255C.A^6D.A，

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，分析可得每種顏色有256種色號(hào)，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，紅、黃、綠三種基本顏色有0~255種色號(hào)，即每種顏色有256種色號(hào)，

從三種顏色的所有色號(hào)中各選一個(gè)配成一種顏色，則可以配成256x256x256=256'種顏色，

故選：A.

2.概率論起源于賭博問題.法國著名數(shù)學(xué)家布萊爾?帕斯卡遇到兩個(gè)賭徒向他提出的賭金分配問題:

甲、乙兩賭徒約定先贏滿5局者，可獲得全部賭金700法郎，當(dāng)甲贏了4局，乙贏了3局，不再賭下

去時(shí)，賭金如何分配？假設(shè)每局兩人輸贏的概率各占一半，每局輸贏相互獨(dú)立，那么賭金分配比較

合理的是（）

A.甲525法郎，乙175法郎B.甲500法郎，乙200法郎

C.甲400法郎，乙300法郎D.甲350法郎，乙350法郎

【答案】A

【分析】利用獨(dú)立事件計(jì)算出甲、乙各自贏得賭金的概率，由此可求得兩人各分配的金額.

【詳解】甲贏得700法郎的概率為+=乙贏得700法郎的概率為6

31

因此，這700法郎中分配給甲700x：=525法郎，分配給乙700x：=175法郎.

故選：A.

3.己知橢圓C：/+y2=i的焦點(diǎn)為｝F2,若點(diǎn)尸在橢圓上，且滿足|PO『=|P用-歸居|（其中。為坐

4

標(biāo)原點(diǎn)），則稱點(diǎn)尸為“★”點(diǎn).下列結(jié)論正確的是（）

A.橢圓C上的所有點(diǎn)都是“★”點(diǎn)

B.橢圓C上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“★”點(diǎn)

C.橢圓C上的所有點(diǎn)都不是“★”點(diǎn)

D.橢圓C上有無窮多個(gè)點(diǎn)（但不是所有的點(diǎn)）是點(diǎn)

【答案】B

【分析】設(shè)點(diǎn)尸(x,y),由歸?！?歸用產(chǎn)周得出關(guān)于x、y的等式，由y2=>],求出方程的解，即

可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)點(diǎn)尸(x,y),則丁=1_=,6(_60)、6(收0),

|「耳|=+=卜+2&+3+1-?=不今+2向+4=2+與乂,

|「用=4一|尸胤=4一(2+*]=2—警，

V272

山|/*附小|%，得“2=(2+引12-率｝即苧+1=4考，

解得x=±&，此時(shí)y=±^^,

所以，橢圓C上有且只有4個(gè)點(diǎn)是“★”點(diǎn).

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓中的新定義，考查橢圓方程的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中等

題.

4.《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，將底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于

底面的四棱錐稱之為"陽馬”，在如圖所示的塹堵ABC-A4GR中，4A=AC=5,AB=3,BC=4,

則在塹堵ABC-4qG中截掉陽馬G-后的幾何體的外接球的表面積是()

A.50萬B.⑵佬c.受&萬D.200萬

36

【答案】A

【分析】根據(jù)題意知，剩余的幾何體與塹堵ABC-A4G的外接球是同一個(gè)球，先計(jì)算出該塹堵底

面外接圓的直徑AC,然后求出外接球的半徑R,最后利用球的表面積公式可計(jì)算出答案.

【詳解】解：在塹堵ABC-4由0中截掉陽馬C-ABBIA后，剩余的幾何體為三棱錐A-3CG,該

幾何體與塹堵ABC-AAG的外接球是同一個(gè)球,

AB=3,3c=4,AC=5,.-.AB2+BC2=AC2,：.ZABC=9（.）°,

所以，直角43c的外接圓直徑為AC=5,

所以，塹堵ABC-AB?的夕卜接球的直徑為2R=jAC2+CC：=5拒,:.R=當(dāng),

因此，在塹堵ABC-A4G中截掉陽馬G-A叫A,后的幾何體的外接球的表面積是4萬戶=50萬.

故選：A.

5.霍姆斯馬車?yán)碚?，是指各種資源都得到最合理配置和使用充分均勻的一種理論.管理學(xué)家經(jīng)常將“霍

姆斯馬車?yán)碚摚隇椋阂粋€(gè)富有效率的團(tuán)隊(duì)，不需要每一個(gè)人都是最有能力的，而在于每個(gè)人的能

力都能得到最合理的使用和發(fā)揮.某班一小隊(duì)共10名同學(xué)，編號(hào)分別為1,2,L,9,10,要均分成

兩個(gè)學(xué)習(xí)小組（學(xué)習(xí)小組沒有區(qū)別），為了更高效學(xué)習(xí)，其中I,2號(hào)同學(xué)必須組合在一起，3,4號(hào)

同學(xué)不能組合在一起，其余同學(xué)可以隨意搭配，就能達(dá)到最佳效果，那么一共有多少種不同的分組

方式（）

A.30B.46C.60D.126

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，湊齊1,2號(hào)同學(xué)的一組即可，利用乘法原理和組合數(shù)計(jì)算即得.

【詳解】因?yàn)?,4號(hào)不在同一個(gè)小組，3,4號(hào)其中一人和1,2號(hào)一組，有C；種選法，那么該小組

還差2人，需從其余的6人中任選2人，有C：=15種方組方法，所以總共有=30種分組方法.

故選：A.

6.研究變量x,y得到一組樣本數(shù)據(jù)，進(jìn)行回歸分析，以下說法不正確的個(gè)數(shù)是（）

①殘差圖中殘差點(diǎn)所在的水平帶狀區(qū)域越窄，則回歸方程的預(yù)報(bào)精確度越高；

②散點(diǎn)圖越接近某一條直線，線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)越大；

③在回歸直線方程》=2x+3中，當(dāng)變量x每增加1個(gè)單位時(shí)，變量3,就增加2個(gè)單位；

④殘差平方和越小的模型，擬合效果越好.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】根據(jù)殘差圖與回歸方程的關(guān)系可判斷①的正誤：利用散點(diǎn)圖與線性相關(guān)、相關(guān)系數(shù)的關(guān)系

可判斷②的正誤；利用回歸直線方程中系數(shù)的含義即可判斷③的正誤；利用殘差平方和與回歸模型

擬合效果的關(guān)系即可判斷④的正誤.

【詳解】對(duì)于①，在殘差圖中，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適,

帶狀區(qū)域越窄，說明回歸方程的預(yù)報(bào)精確度越高，所以①正確；對(duì)于②，散點(diǎn)圖越接近某一條直線,

說明線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，在回歸直線方程g=2x+3中，

當(dāng)變量x每增加一個(gè)單位時(shí)，變量￡平均增加2個(gè)單位，所以③正確；對(duì)于④，利用殘差平方和判

斷模型的擬合效果，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，所以④正確.

故選：B.

7.有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績，得

到如下所示的列聯(lián)表：

優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)

甲班10b

乙班C30

總計(jì)105

已知在全部105人中隨機(jī)抽取I人，成績優(yōu)秀的概率為,，則下列說法正確的是（）

n^ad-bcy

參考公式：犬=

(a+/?)(c+d)(“+c)e+")

附表:

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

A.列聯(lián)表中c的值為30,匕的值為35

B.列聯(lián)表中c的值為15,b的值為50

C.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，能認(rèn)為“成績與班級(jí)有關(guān)系”

D.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績與班級(jí)有關(guān)系”

【答案】C

【解析】根據(jù)題意可求出成績優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是1O5X￡=3O,所以成績非優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是105-30=75,

即可求出Ac的值，判斷出AB的真假，再根據(jù)列聯(lián)表求出心，即可由獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想判斷

出C,。的真假.

2

【詳解】由題意知，成績優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是105X5=30,成績非優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是105-30=75,所以c

=20,b=45,選項(xiàng)A,B錯(cuò)誤；根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到K-=1O5X（1OX3°~2OX45）-?6.109>3.841,

55x50x30x75

因此有95%的把握認(rèn)為“成績與班級(jí)有關(guān)系”，選項(xiàng)C正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.某工廠為了確定工效，進(jìn)行了5次試驗(yàn)，收集數(shù)據(jù)如下：

加工零件個(gè)數(shù)“個(gè)）1020304050

加工時(shí)間y（分鐘）6469758290

經(jīng)檢驗(yàn)，這組樣本數(shù)據(jù)的兩個(gè)變量x與y具有線性相關(guān)關(guān)系，那么對(duì)于加工零件的個(gè)數(shù)x與加工時(shí)間

V這兩個(gè)變量，下列判斷正確的是（）A.負(fù)相關(guān)，其回歸直線經(jīng)過點(diǎn)（30,75）B.正相關(guān)，其回

歸直線經(jīng)過點(diǎn)（30,75）

C.負(fù)相關(guān)，其回歸直線經(jīng)過點(diǎn)（30,76）D.正相關(guān)，其回歸直線經(jīng)過點(diǎn)（30,76）

【答案】D

【詳解】由表中數(shù)據(jù)可得y隨x的增大而增大，故y與x成正相關(guān)關(guān)系.

又元=（（10+20+30+4（）+50）=30,，=（（64+69+75+82+90）=76,

樣本中心為（30,76）.

又回歸直線過樣本中心，

其回歸直線經(jīng)過點(diǎn)（30,76）.

故選：D.

9.某運(yùn)動(dòng)制衣品牌為了成衣尺寸更精準(zhǔn)，現(xiàn)選擇15名志愿者，對(duì)其身高和臂展進(jìn)行測量（單位：

厘米），下左圖為選取的15名志愿者身高與臂展的折線圖，下右圖為身高與臂展所對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖并

求得其回歸方程為3=L16x-30.75,以下結(jié)論中不思頤的為（）

身高臂展

A.15名志愿者身高的極差小于臂展的極差

B.15名志愿者身高和臂展成正相關(guān)關(guān)系

C.可估計(jì)身高為190厘米的人臂展大約為189.65厘米

D.身高相差10厘米的兩人臂展都相差11.6厘米

【答案】D

【分析】根據(jù)折線圖數(shù)據(jù)判斷A,由回歸直線方程、散點(diǎn)圖判斷BCD.

【詳解】對(duì)于A,身高極差大約為21,臂展極差大約為26,故結(jié)論正確;

對(duì)于8,根據(jù)散點(diǎn)圖以及回歸直線得到，身高矮一些，臂展就會(huì)短一些，身高高一些，臂展就長些,

故結(jié)論正確;

對(duì)于C,身高為190厘米，代入回歸直線方程可得到臂展估計(jì)值等于189.65厘米，但不是準(zhǔn)確值,

故結(jié)論正確;

對(duì)于。，身高相差10厘米的兩人臂展的估計(jì)值相差11.6厘米，但并不是準(zhǔn)確值，回歸直線上的點(diǎn)

并不都是準(zhǔn)確的樣本點(diǎn)，故結(jié)論不正確.

故選：D.

10.己知隨機(jī)變量XN（2,l）,其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，則圖中陰影部分的面積為（）

附：若隨機(jī)變量JN(〃,b2),則P(〃—b<J<〃+b)=0.6827,P(〃-2b<€<〃+2b)=0.9545,

尸(〃-3bv4v〃+3b)=0.9973

A.0.1359B.0.7282C.0.8641D.0.93205

【答案】A

【分析】根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性，可求出陰影部分的面積，

【詳解】根據(jù)題意，隨機(jī)變量X滿足正態(tài)分布N（2,l）,

得〃=2,cr2=1,則對(duì)稱軸為x=2,且b=l,

根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)，可得陰影部分的面積

S=P（O<X<1）=^[P（O<X<4）-P（l<X<3）]

=g[P（〃-2cr<X<〃+2b）-P（〃-cr<X<〃+b）]

=gx（0.9545-0.6827）=0.1359.

故選：A

11.已知汽車在公路上行駛時(shí)發(fā)生車禍的概率為0.001,如果公路上每天有1000輛汽車通過，則公

路上發(fā)生車禍的概率為（）.（已知O.9991000X0.36770,0.9999"“0.36806,精確到0.0001）

A.0.3681B.0.6323C.0.3677D.0.4343

【答案】B

【分析】根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式及對(duì)立事件的概率公式計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)發(fā)生車禍的車輛數(shù)為X,記事件A為“公路上發(fā)生車禍”，

則尸（A）=1-P（X=0）=1-（1-0.001）1000=1-O.9991000?1-0.36770=0.6323,

故選：B.

12.體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)則是每名學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，

否則一直發(fā)到3次為止.設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為p（pHO）,發(fā)球次數(shù)為X,若X的均值

E（X）>],則p的取值范圍是（）

"I）B.刖C.（°，3D.割

【答案】A

13

【分析】先求解X的均值，然后根據(jù)E（X）>?可得p的取值范圍.

【詳解】由題意X的所有取值1,2,3.

P（X=1）=P，P（X=2）=（l-p）p,P（X=3）=（l-p）2,

￡（X）=/?+2（l-p）p+3（l-/?）2>y

1477

即p2_3p+]>o,解得或（舍），

所以〃的取值范圍是（0,1）.

故選：A.

二、填空題

13.某工廠為研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x（噸）與所需某種原材料的質(zhì)量y（噸）的相關(guān)性，在生產(chǎn)過

程中收集4組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)（x,y）,如下表所示.（殘差=觀測值-預(yù)測值）

X3456

y2.534m

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.7x+a.據(jù)此計(jì)算出在樣本（4,3）處的殘差為

-0.15,則表中加的值為.

【答案】4.5

【分析】首先由已知條件求出”的值，再由回歸直線過樣本中心點(diǎn)即可求解.

【詳解】因?yàn)闃颖荆?,3）處的殘差為-0.15,即y-y=3-（0.7x4+a）=-0.15,

所以〃=0.35，

所以回歸方程為：y=0.7x4-0.35，

Eq-3+4+5+6—2.5+3+4+加9.5+〃？

因?yàn)閤=---------------=4.5,y=------------=------,

444

因?yàn)闃颖局行狞c(diǎn)門,?。┰诨貧w直線上，所以2詈=0.7x4.5+0.35,

解得：m=4.5,

故答案為：4.5.

14.某汽車銷售公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)X（單位：萬元）對(duì)

年銷售量Y（單位：萬輛）的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)X：和年銷售量工（i=1,2,L,8）的數(shù)據(jù)作了

初步處理，得到年銷售量V與年宣傳費(fèi)X具有近似關(guān)系：?=臺(tái)&+&以及一些統(tǒng)計(jì)量的值如下：

8888

Z%=372.8,2匕=4504,￡取二544,￡網(wǎng)=762.已經(jīng)求得近似關(guān)系中的系數(shù)6=68,請(qǐng)

；=1I（=1（=1

你根據(jù)相關(guān)回歸分析方法預(yù)測當(dāng)年宣傳費(fèi)X=100（萬元）時(shí)，年銷售量丫=（萬輛）.

【答案】780.6

【分析】根據(jù)回歸直線過樣本中心點(diǎn)求出4,從而得出回歸直線方程，再將X=100代入即可求解.

【詳解】由4=『_^/^得4=1（乂）.6,Y=6S\[x+100.6，

當(dāng)X=100時(shí)，F(xiàn)=780.6,

.??預(yù)測年銷售量為780.6萬輛.

故答案為：780.6

15.己知隨機(jī)變量X的分布列如下：

X01234

P0.10.20.4X0.1

則尸。4X43）的值為.

4

【答案】0.8##§

【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】由隨機(jī)變量X的分布列可知01+0.2+0.4+x+0.1=l=>x=0.2,

所以P（14XW3）=P（X=l）+P（X=2）+P（X=3）=0.2+0.4+0.2=0.8,

故答案為：0.8

16.某商圈為了吸引顧客舉辦了一次有獎(jiǎng)競猜活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下：兩人一組，在一輪競猜活動(dòng)中，

每人兩次競猜機(jī)會(huì)，若兩人猜對(duì)的次數(shù)之和不少于三次就可以獲得一張獎(jiǎng)券?小藍(lán)和她的媽媽同一小

3

組，小藍(lán)和她媽媽猜中的概率分別為P1,生，兩人是否猜中相互獨(dú)立?若乃+0=5,則當(dāng)小藍(lán)和

她媽媽獲得一張獎(jiǎng)券的概率最大時(shí)，p:+p;的值為.

【答案】7

4

【分析】根據(jù)獨(dú)立重復(fù)事件的概率公式，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)小藍(lán)和她媽媽獲得一張獎(jiǎng)券的概率為P,

因?yàn)閮扇瞬聦?duì)的次數(shù)之和不少于三次就可以獲得一張獎(jiǎng)券，且八+P2=],

當(dāng)且僅當(dāng)P出=1-P〃2時(shí)取等號(hào)，即四=1,2=；,或22=1,月=3時(shí)取等號(hào)，

兩種情況都有Pi2+P2=|>

故答案為：I

三、解答題

17.已知圓C:(x-l)2+(y-3)2=9,線段R。的端點(diǎn)。的坐標(biāo)是(4,3),端點(diǎn)R在圓C上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)T

滿足線段RT=27Q,記T點(diǎn)的軌跡為曲線「

⑴求曲線「的方程；

⑵過點(diǎn)40,3)斜率為％的直線/與曲線「交于"，N兩點(diǎn)，試探究：

①設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OMON=26,這樣的直線/是否存在，若存在求出l"N|；若不存在說明理

由；

②求線段MN的中點(diǎn)D的軌跡方程.

【答案】(l)(x—3)?+(y-3)2=l

(9(f8A}

⑵①直線不存在，理由見解析；②+(一)=『6七,3|

【分析】(1)運(yùn)用相關(guān)點(diǎn)代入法求解軌跡方程即可；

(2)①根據(jù)向量等式，求解直線的斜率上結(jié)合聯(lián)立方程組法確定A的取值范圍，進(jìn)而確定直線是

否存在；②根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，再運(yùn)用參數(shù)法求解點(diǎn)。的軌跡方程.

【詳解】⑴設(shè)/?(%,%),則(x0-l)2+(yo-T=9,

［xn=3x-8.c

設(shè)T:(x,y),RT=2TQ,.'.(3A:-8-1)2+(3y-6-3)2=9

［為=3y-6

即「:(x-3)2+(y-3)2=l.

(2)①設(shè)存在滿足條件的直線/,設(shè)直線/方程為'=丘+3,

則F=.-.(l+fc2)x2-6x+8=0

人］(x-3)2+(y-3)2=l'>

設(shè)時(shí)(4方)川(電,力),直線與圓交于兩點(diǎn)，則36-4x8x0+公)>0,.?.公

由韋達(dá)定理得：士+%=/記，X,-X2

OMON=26<則與犬2+丫1%=26=僅2+])西々+3女(4+x2)+9=26

即％2-2%+l=0,;M=l,與公不符，所以滿足條件的直線不存在；

O

②MN中點(diǎn)坐標(biāo)為：(美

?.?審=臺(tái)'"匹=呂+3,設(shè)"N中點(diǎn)。為(標(biāo),為)

Z.1IZC乙1?rt

則3*3，%=3k6+3,=丁Vn-35.,即(,f3V+(%-3)9-=Q公

所以中點(diǎn)。的軌跡方程為：［j+(y-3)2=(，］xe||,3。.

22

18.已知橢圓E中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，方程為土+匕=1,直線/：?=履+〃?與橢圓交于A、8兩點(diǎn).

43

(1)當(dāng)仁1時(shí)，若橢圓E上存在點(diǎn)C使得點(diǎn)0、A、C、B構(gòu)成平行四邊形OACB,求直線/方程；

(2)若直線/過左焦點(diǎn)F(不與x軸重合)，弦AB中點(diǎn)為點(diǎn)尸，過F作/的垂線4,且直線4與直線0P

交于點(diǎn)G,求點(diǎn)G所在的軌跡方程.

【答案］⑴y=x±—;(2)x=4

2

【分析】(1)根據(jù)給定條件，聯(lián)立直線/與橢圓E的方程，用機(jī)表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可作答：

(2)寫出直線/方程，聯(lián)立直線/與橢圓E的方程求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再聯(lián)立直線0P與直線4的方程即可

得解.

【詳解】(1)設(shè)4占,蘆)、B(x2,y2),當(dāng)仁1時(shí)，直線/：y=x+"?,

22

由》=兀+機(jī)與亍+與=1聯(lián)立消去)，得：7x2+8/nx+4m2-12=0.

2

于是得A=48(7-m)>0,-y/l<in<J7,x,+x2=x2=力”［,

又。ACB是平行四邊形，則OC=OA+OB,%+必=芭+々+2相=與，即點(diǎn)C(一早，早)，

而點(diǎn)C在橢圓E上，從而有;(-軍>+；(早f=l,整理得病=(,解得加=±日，

所以直線/方程為y=x±［；

(2)顯然點(diǎn)尸(-1,0),直線/不垂直于y軸，設(shè)/的方程為x=)-l,

由x=)-l與工+匯=1聯(lián)立并消去x得：(3尸+4)y2_6fy-9=0,

43..

6r-9-8

A>0,+y=^I,y=2~，由x=(y_l得X］+%2=3『+4，弦AB的中點(diǎn)

23Z2-423r4

P(」上)

￥+4'3淤+4"

3

于是得直線。戶方程y=-：rx,又4，/且過點(diǎn)F,則4方程為y=T（x+i）,顯然，*o,否則直線

0P與直線4重合，與它們相交矛盾，

[_3

y=—tx

由）4得x=-4,即點(diǎn)G的橫坐標(biāo)恒為-4,

[y=T（x+l）

所以點(diǎn)G所在的軌跡方程為x=-4.

19.某小區(qū)采取一系列措施，宣傳垃圾分類的知識(shí)與意義.為了了解垃圾分類的效果，該小區(qū)物業(yè)隨

機(jī)抽取了400位居民進(jìn)行問卷調(diào)查，每位居民對(duì)小區(qū)采取的措施給出“滿意”或“不滿意”的評(píng)價(jià).在這

400份問卷中，持滿意態(tài)度的頻率是0.65,50歲及以下的居民的頻率是0.60,持不滿意態(tài)度的51歲

及以上的居民的頻率是0.175.

（1）完成下面的2x2列聯(lián)表，并判斷能否有99.5%的把握認(rèn)為“51歲及以上”和“50歲及以下”的居民

對(duì)該小區(qū)采取的措施的評(píng)價(jià)有差異？

滿意不滿意總計(jì)

51歲及以上的居民

50歲及以下的居民

總計(jì)400

（2）按“51歲及以上”和“50歲及以下”的年齡段采取分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取5份調(diào)查問卷，再

從這5份調(diào)查問卷中隨機(jī)抽取2份進(jìn)行電話家訪求電話家訪的兩位居民的年齡都在50歲及以下的概

率.

附表及參考公式：

尸（尸乂。）0.0500.0250.0100.0050.001

耳3.8415.0246.6357.87910.828

n(ad-be?

其中

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)'n=a+h+c+d.

【答案】（1）列聯(lián)表答案見解析，有99.5%的把握認(rèn)為“51歲及以上”和“50歲及以下”的居民對(duì)該小

3

區(qū)采取的措施的評(píng)價(jià)有差異；（2）本

【分析】(1)根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，計(jì)算觀測值，對(duì)照表格得出結(jié)論。

(2)利用抽樣法則求出抽到的分?jǐn)?shù)，再用列舉法求出基本事件數(shù)，計(jì)算所求的概率.

【詳解】解：(1)在這400份問卷中，持滿意態(tài)度的頻數(shù)為400x0.65=260,持不滿意態(tài)度的頻數(shù)為

400-260=140,

50歲及以下的居民的頻數(shù)是400x0.60=240,持不滿意態(tài)度的51歲及以上的居民的頻數(shù)

400x0.175=70.

所以2x2列聯(lián)表如下：

滿意不滿意總計(jì)

51歲及以上的居民9070160

5。歲及以下的居民17070240

總計(jì)260140400

_400x(90x70-170x70)2

X8.974>7.879.

__160x240x260x140

故有99.5%的把握認(rèn)為“51歲及以上”和“50歲及以下”的居民對(duì)該小區(qū)采取的措施的評(píng)價(jià)有差異.

(2)設(shè)電話家訪的兩位居民的年齡都在50歲及以下為事件A.

利用分層抽樣的特點(diǎn)可知：“51歲及以上”居民抽到2份記為：出；

“50歲及以下”居民抽到3份記為：偽，b2,4.

??基本事件J4布":卜4,％)，,4)’("i'8),(4,4)，(/,4)，(%,4)，(%,仇)，(4,3),(4’4)，

他也)，共有10個(gè).

滿足條件的事件有：3也),(4也),(處4)，共有3個(gè).

P(A)=—.

v'10

20.已知橢圓。:忘+卓=13＞。＞0)的離心率為等，點(diǎn)P(&,1)在橢圓上.

⑴求橢圓C方程；

(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、8為橢圓C上非頂點(diǎn)的不同兩點(diǎn)，且直線A8不過原點(diǎn)，不垂直于坐標(biāo)軸.

在下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為己知：①直線OA與直線。8斜率之積自一&＜加為定值-與；②工。3

Iuuiuunuuu

的面積為定值5必，證明：存在常數(shù);1>0,使得04+08=20〃，且點(diǎn)M在橢圓C上，并求出2的

值.

注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

22

【答案】⑴二+匕=1

42

(2)證明見解析，2=72

【分析】(1)根據(jù)離心率，將點(diǎn)代入橢圓方程，解得答案.

(2)設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題目條件化簡得到

2k2+l=m2,根據(jù)向量關(guān)系計(jì)算M點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，計(jì)算得到答案.

-21

丁"=1

【詳解】⑴依題意J￡=坐，解得〃=2,6=垃，工+匚1橢圓方程為工+《=1.

a24242

h2=a2-c2

y=kx+m

(2)設(shè)直線心：^二丘+根,由,x2v2得(2公+1)x2+4斤如+2m2-4=。，

—+—=1

42

22

A1,八2i1m-4km2m-4

A=16(2k+1---)=0,2k+1〉—，x.4-=----,x,xy=—---

22'22k2+\1-2k2+\

若選①:

22

X%-(日]+〃?)(履2+m)=kx1x2+km[xx+%)+加

22

.22m—4.—4km2_tn-4%2

=k---：——+km——-——+"T

2公+12二+12k2+\

m2-4k2

二丫書，2如+1病-4公=/=]

22

x{x22m-4Itrr-4a2"

2k2+\

整理得2公+1=>.

UUIUUUUUU1z.1-4kni

由OA+O8=/IOM得%=~(^+^2)=-,

XAZK+1

2

111-4km12m

,,

yM=y(3i+)2)=y[^i+-?2)+2/nJ=--(T7r—