2021年河南省商丘市尹店鄉(xiāng)聯(lián)合中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

2021年河南省商丘市尹店鄉(xiāng)聯(lián)合中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)是已知的平面向量且，關(guān)于向量的分解，有如下四個(gè)命題：①給定向量，總存在向量，使；②給定向量和，總存在實(shí)數(shù)和，使；③給定單位向量和正數(shù)，總存在單位向量和實(shí)數(shù)，使；④給定正數(shù)和，總存在單位向量和單位向量，使；上述命題中的向量，和在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B2.從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為A.

B.

C.

D.參考答案：D如下表所示，表中的點(diǎn)橫坐標(biāo)表示第一次取到的數(shù)，縱坐標(biāo)表示第二次取到的數(shù)總計(jì)有25種情況，滿足條件的有10種所以所求概率為。3.如圖，圓柱的軸截面ABCD為正方形，E為弧的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為（）A. B. C. D.參考答案：D【分析】取的中點(diǎn)，連接則異面直線與所成角即為，再利用余弦定理求得解.【詳解】取的中點(diǎn)，連接設(shè)則所以連接因?yàn)樗援惷嬷本€與所成角即為在中故選【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線所成角的計(jì)算，考查余弦定理，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.4.下列函數(shù)為偶函數(shù)的是(

)

參考答案：選

與是奇函數(shù),，是非奇非偶函數(shù)5.一個(gè)棱錐的三視圖如圖所示，則該棱錐的全面積是（A）（B） （C）（D）參考答案：A略6.已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)與拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），則雙曲線的焦距為（）A．2 B． C． D．2參考答案：D【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，點(diǎn)（﹣2，﹣1）在拋物線的準(zhǔn)線上，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，可得p=4，進(jìn)而可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)題意，可得雙曲線的左頂點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得a的值，由點(diǎn)（﹣2，﹣1）在雙曲線的漸近線上，可得漸近線方程，進(jìn)而可得b的值，由雙曲線的性質(zhì)，可得c的值，進(jìn)而可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），即點(diǎn)（﹣2，﹣1）在拋物線的準(zhǔn)線上，又由拋物線y2=2px的準(zhǔn)線方程為x=﹣，則p=4，則拋物線的焦點(diǎn)為（2，0）；則雙曲線的左頂點(diǎn)為（﹣2，0），即a=2；點(diǎn)（﹣2，﹣1）在雙曲線的漸近線上，則其漸近線方程為y=±x，由雙曲線的性質(zhì)，可得b=1；則c=，則焦距為2c=2故選：D．7.三個(gè)數(shù)的大小順序是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A略8.設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則

A.12

B.10

C.8

D.參考答案：B9.已知復(fù)數(shù)，則z的實(shí)部為A.－1

B.0 C.1 D.3

參考答案：B10.已知命題:函數(shù)的最小正周期為；命題：若函數(shù)為偶函數(shù)，則關(guān)于對稱.則下列命題是真命題的是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且f(1)＝0，則不等式<0的解集為________．參考答案：(－1,0)∪(0,1)12.已知=（λ+1，0，2λ），=（6，2μ﹣1，2），且∥，則λμ=．參考答案：【考點(diǎn)】共線向量與共面向量．【分析】利用向量平行的性質(zhì)得（λ+1）×2=2λ×6，且2λ（2μ﹣1）=0，由此能求出λμ的值．【解答】解：∵=（λ+1，0，2λ），=（6，2μ﹣1，2），且∥，∴（λ+1）×2=2λ×6，解得λ=．并且2λ（2μ﹣1）=0，解得μ=，∴λμ=．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)積的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量平行的性質(zhì)的合理運(yùn)用．13.若關(guān)于x的方程有且僅有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：或原方程可轉(zhuǎn)化為，令，

當(dāng)方程有且只有一個(gè)根時(shí)，或，發(fā)現(xiàn)符合題意，當(dāng)方程有且只有兩個(gè)根時(shí)，此時(shí)或，且兩根(0，e)，(，0)，此時(shí)，解得，綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是或．14.現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題：如圖，同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長都是的正方形，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為.類比到空間，有兩個(gè)棱長均為的正方體，其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為

。參考答案：15.下列說法中錯(cuò)誤的命題是

.①一個(gè)命題的逆命題為真,它的否命題也一定為真;②命題“?x∈R,x2-x≤0”的否定是“?x∈R,x2-x≥0”;③“矩形的兩條對角線相等”的逆命題是真命題;④“x≠3”是“|x|≠3”成立的充分條件.參考答案：2,3,4略16.某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積為

．

參考答案：

17.已知函數(shù)f（x）=ex+x3，若f（x2）＜f（3x﹣2），則實(shí)數(shù)x的取值范圍是．參考答案：（1，2）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，判斷單調(diào)性，轉(zhuǎn)化不等式求解即可．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=ex+x3，可得f′（x）=ex+3x2＞0，所以函數(shù)f（x）為增函數(shù)，所以不等式f（x2）＜f（3x﹣2），等價(jià)于x2＜3x﹣2，解得1＜x＜2，故答案為：（1，2）．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知向量（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）已知鈍角△ABC中，角B為鈍角，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且，若函數(shù)，求的值．參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)得出，化簡得出結(jié)果；

（2）根據(jù)正弦定理得出，代入f（B），求出f（B）的值．【詳解】（1）∵,∴，即

,（2），，由角為鈍角知

，.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量垂直與坐標(biāo)的關(guān)系，三角函數(shù)的化簡求值，屬于中檔題．19.設(shè)f（x）=ex﹣a（x+1）．（1）若a＞0，f（x）≥0對一切x∈R恒成立，求a的最大值；（2）設(shè)是曲線y=g（x）上任意兩點(diǎn)，若對任意的a≤﹣1，直線AB的斜率恒大于常數(shù)m，求m的取值范圍；（3）是否存在正整數(shù)a．使得對一切正整數(shù)n都成立？若存在，求a的最小值；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（1）由f（x）=ex﹣a（x+1），知f′（x）=ex﹣a，故f（x）min=f（lna）=a﹣a（lna+1）=﹣alna，再由f（x）≥0對一切x∈R恒成立，能amax．（2）由f（x）=ex﹣a（x+1），知g（x）=f（x）+=．由a≤﹣1，直線AB的斜率恒大于常數(shù)m，知g′（x）=ex﹣﹣a≥2﹣a=﹣a+2=m，（a≤﹣1），由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．（3）設(shè)t（x）=ex﹣x﹣1，則t′（x）=ex﹣1，從而得到ex≥x+1，取，用累加法得到．由此能夠推導(dǎo)出存在正整數(shù)a=2．使得1n+3n+…+（2n﹣1）n＜?（an）n．【解答】解：（1）∵f（x）=ex﹣a（x+1），∴f′（x）=ex﹣a，∵a＞0，f′（x）=ex﹣a=0的解為x=lna．∴f（x）min=f（lna）=a﹣a（lna+1）=﹣alna，∵f（x）≥0對一切x∈R恒成立，∴﹣alna≥0，∴alna≤0，∴amax=1．（2）∵f（x）=ex﹣a（x+1），∴g（x）=f（x）+=．∵a≤﹣1，直線AB的斜率恒大于常數(shù)m，∴g′（x）=ex﹣﹣a≥2﹣a=﹣a+2=m，（a≤﹣1），解得m≤3，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，3]．（3）設(shè)t（x）=ex﹣x﹣1，則t′（x）=ex﹣1，令t′（x）=0得：x=0．在x＜0時(shí)t′（x）＜0，f（x）遞減；在x＞0時(shí)t′（x）＞0，f（x）遞增．∴t（x）最小值為t（0）=0，故ex≥x+1，取，得，累加得．∴1n+3n+…+（2n﹣1）n＜?（2n）n，故存在正整數(shù)a=2．使得1n+3n+…+（2n﹣1）n＜?（an）n．20.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn=2an﹣3．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（Ⅰ）由Sn=2an﹣3，得a1=3，Sn﹣1=2an﹣1﹣3（n≥2），相減可得an=2an﹣1（n≥2，n∈N），再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（Ⅱ）利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的求和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由Sn=2an﹣3，①得a1=3，Sn﹣1=2an﹣1﹣3（n≥2），②①﹣②，得an=2an﹣2an﹣1，即an=2an﹣1（n≥2，n∈N），所以數(shù)列{an}是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以（n∈N*）．（Ⅱ），，作差得，∴（n∈N*）．21.已知向量，，函數(shù)，三個(gè)內(nèi)角的對邊分別為.（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求的面積．參考答案：（1）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.（2）的面積.22.已知點(diǎn)F是拋物線:的焦點(diǎn)，點(diǎn)到F的距離為2.（Ⅰ）求拋物線方程；（Ⅱ）設(shè)直線AB與曲線相交于A,B兩點(diǎn)，若AB的中垂線與y軸的交點(diǎn)為，求b的值.（Ⅲ）拋物線上是否存在異于點(diǎn)、的點(diǎn)，使得經(jīng)過、、三點(diǎn)的圓和拋物線在點(diǎn)處有相同的

切線.若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.參考答案：解：（Ⅰ）準(zhǔn)線：，依拋物線定義可知，，所以拋物線為----3分（Ⅱ）由，所以的中點(diǎn)為，所以AB的中垂線為依題