高二數(shù)學(xué)必修5知識點(diǎn)總結(jié)

高二數(shù)學(xué)必修5知識點(diǎn)總結(jié)第-章：解三角形磷單高中生-、知識點(diǎn)總結(jié)正弦定理：1.正弦定理：土二二土二2R（R為三角形外接圓的半徑）.sinZsinnsin（步驟1:證明：在銳角Z\ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c°作CH1AB垂足為點(diǎn)HCH=a-sinBCH=bsinA(\asinB=b-sinA如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓0,作直徑BD交。于D.連接DA.因?yàn)橹睆剿鶎Φ膱A周角是百角，所以ZDAB=90°因?yàn)橥∷鶎Φ膱A周角相等，所以ZD等于/C[簡單高中生(IDjiandanlOOcnO)]所以sin/)=—=sinC故丄二丄二丄頸sin?lsin8sinC2.正弦定理的?些變式：(i)Q』:c二sin/l:sinB:sinC；(//jsin/1=—,sin^-—,sinC=—；2R2R2R(Hi)a=2RsinA,b=2RsinB,b=2RsinC；(iv)；；——；=2R3.兩類正弦定理解三角形的問題：己知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.己知兩邊和其中一邊的對角，求其他邊角?(可能有一解，兩解，無解)4?在中，已知a,b及A吋，解得情況：解法一：利用正弦定理計算解法二：分析三角形解的情況，可用余弦定理做，己知a,b和角A,則由余弦定理得即可得出關(guān)于c的方程：c1-IbcGSAc-vb2-a2=0分析該方程的解的情況即三角形解的情況[簡單高中生(ID:jiandanlOOcnO)]△=(),則三角形有一解△>()則三角形有兩解△<()則三角形無解余弦定理:a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-laccosBc2=b2+a2-TbacosC2bca~+c2-b2cosn=lacb2+a2-c2cost=lab設(shè)a、b、是AABC的角A、B、C的對邊，則:①若a2+b2=c\則C=90。；

②若a2+b2>c2t則C<90a；③若a2+b2<c2,則C>90°.3.兩類余弦定理解三角形的問題：(1)已知三邊求三角；(2)已知兩邊和他們的夾角,求第三邊和其他兩角一面積公式：已知三角形的三邊為a,b,c,l.S=^aha==,((7+Z)+c)(其中尸為三角形內(nèi)切圓半徑)2.設(shè)p=+b+c)}S=Jp(p一a)(p_b)(p_c)(海倫公式)例：己知三角形的三邊為。b、c,設(shè)p=^(a+b+c),求證:(1)三角形的面積S二p(p-a)(p-b)(p-c):由同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，W=—代入S=—absmC,得S==：J(2ab)F+b*)22V2ab4=-^-^(26?^+a2+b2-c2)(2ab-a2-b2+c2)=+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)記p=—(a+b+c),貝［J可得至U—(b+c-a)=p-a,—(c+a-b)=p-b,222-^(a+b-c)=p-c代入可證得公式三角形的面積S與三角形內(nèi)切圓半徑尸之間有關(guān)系式S==其中p二、+b+c),所以尸蒙2PNP注：連接圓心和三角形三個頂點(diǎn)，構(gòu)成三個小三角形，則大三角形的面積就是三個小三角形面積的和故得：S=-ar+-br-^-cr=pr根據(jù)三角形面積公式S=\xaxha所以，九二；=JP(P_a)(P_a)<P_a)，即氣=、Jp(p-a)(p-a)(p-a)2I2/同理九=三如3-。)3-/)3-。)，虬=—』p(p—u)(p—a)(p—a)【三角形中的常見結(jié)論】A+B^C=;rsin(/4+5)=sinC,cos(^+B)=-cosC,tan(A+B)=-tanC,.A+BCA+B.C4sin=cos—,cos=sin—；sin2^4=2sm?cosA,2222若A>B>C=>a>b>c=>sinA>s\nB>sinCsin/I>sinB>sinC=>a>b>cA>B>C(大邊對大角，小邊對小角)三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊三角形中最大角大于等于60°,最小角小于等于60。銳角三角形。三內(nèi)角都是銳角。三內(nèi)角的余弦值為正值―任兩角和都是鈍角=任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.鈍角三角形u>最大角是鈍角o最大角的余弦值為負(fù)值中，A,B,C成等差數(shù)列的充要條件是8=60°

(8)MBC為正三角形的充要條件是A,B,C成等差數(shù)列，且a,b,c成等比數(shù)列一二、題型匯總：題型1：判定三角形形狀判斷三角形的類型(1)利用三角形的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀：判定三角形形狀時，可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式。(注意：刀是銳角＞^Z\ABC是銳角三角形)(3)若sin2A—sin2B,貝!|A=B+B—例L在MBC中，c=2力cos/,^(a+b+c)(a+b-c)=3ab,試判斷A4BC形題型2：解三角形及求面積一般地，把三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.例2.在曲3C中，a=l,b=4i,4=30°,求二的值例3?在MfiC中，內(nèi)角4B,C對邊的邊長分別是“，加c,己知c=2,C=-.⑴若AABC的面積等于a/J,求a,b(2)若sinC+sin(B-A)=2sin24,求AABC的面積.題型3：證明等式成立證明等式成立的方法：(1)左n右，(2)右=＞左，(3)左右互相推.

例4.已知AABC中，角A,B,C的對邊分別為。,b,c,求證：a=bcosC+ccosB題型4：解三角形在實(shí)際中的應(yīng)用考察：（仰角、俯角、方向角、方位角、視角）例5.如圖所示，貨輪在海上以40km/h的速度沿著方位角（從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平轉(zhuǎn)角）為140。的方向航行，為了確定船位，船在8點(diǎn)觀測燈塔辺的方位角為110。航行半小時到達(dá)C點(diǎn)觀測燈塔』的方位角是65.則貨輪到達(dá)C點(diǎn)時，與燈塔4的距離是多少？三、解三角形的應(yīng)用坡角和坡度：坡面與水平面的銳二面角叫做坡角，坡面的垂直高度為和水平寬度/的比叫做坡度,用，?表示，根據(jù)定義可知：坡度是坡角的正切，即，二tani.俯角和仰角：如圖所示，在同一鉛垂面內(nèi)，在目標(biāo)視線與水平線所成的夾角中，目標(biāo)視線在水平視線的上方時叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線的下方時叫做俯角.3.方位角從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為a.

注：仰角、俯角、方位角的區(qū)別是：三者的參照不同。仰角與俯角是相對于水平線而言的，而方位角是相對于正北方向而言的。方向角：相對于某一正方向的水平角。視角：由物體兩端射出的兩條光線，在眼球內(nèi)交叉而成的角叫做視角。第二章：數(shù)列⑥簡單高中生一、數(shù)列的概念數(shù)列的概念：一般地，按一定次序排列成一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項(xiàng)，數(shù)列的一般形式可以寫成們,％，%，…，”，…，簡記為數(shù)列｛%｝，其中第一項(xiàng)％也成為首項(xiàng)；q是數(shù)列的第〃項(xiàng)，也叫做數(shù)列的通項(xiàng)。數(shù)列可看作是定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的子集)的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大取值時，該函數(shù)對應(yīng)的一列函數(shù)值就是這個數(shù)列。[簡單高中生(IDjiandanlOOcnO)]數(shù)列的分類：按數(shù)列中項(xiàng)的多數(shù)分為：有窮數(shù)列：數(shù)列中的項(xiàng)為有限個，即項(xiàng)數(shù)有限；無窮數(shù)列：數(shù)列中的項(xiàng)為無限個，即項(xiàng)數(shù)無限.通項(xiàng)公式:如果數(shù)列*”｝的第"項(xiàng)4與項(xiàng)數(shù)〃之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個式子表示成。,=■/■（〃），那么這個式子就叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的通項(xiàng)公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式.數(shù)列的函數(shù)特征：一般地，一個數(shù)列｛%｝,如果從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它前面的一項(xiàng)，即那么這個數(shù)列叫做遞增數(shù)列；如果從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它前面的一項(xiàng)，即那么這個數(shù)列叫做遞減數(shù)列；如果數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)都相等，那么這個數(shù)列叫做常數(shù)列.遞推公式：某些數(shù)列相鄰的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)）有關(guān)系，這個關(guān)系用一個公式來表示，叫做遞推公式.二、等差數(shù)列等差數(shù)列的概念：如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列久叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差.即4袒-氣頊（常數(shù)），這也是證明或判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列的依據(jù).等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為％,公差為d,則通項(xiàng)公式為：an二%+（〃一1）d=《”+（〃一/w）刁，（〃、meN+）.等差中項(xiàng):若」、4力成等差數(shù)列，則刀叫做a與人的等差中項(xiàng)，且^=—;若數(shù)列恒｝為等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，即%】是％與％2的等差中項(xiàng)，且網(wǎng)=“”擺；反之若數(shù)列｛%｝滿足％袒=3號±1,則數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列.等差數(shù)列的性質(zhì):⑴等差數(shù)列｛?！保?，若m+H=p+q(m、〃、p、qeN十),則％+4=%+%，m+n=2p,Mam+an=2ap；(2)若數(shù)列｛%｝和｛如｝均為等差數(shù)列，則數(shù)列0±々｝也為等差數(shù)列;等差數(shù)列｛?｝的公差為d,則刁＞0。｛《｝為遞增數(shù)列，刁＜0。0｝為遞減數(shù)列，d=0o｛%｝為常數(shù)列.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和凱：數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和5"=0+%+。3+???+知+白”,(〃脇+)；(2)數(shù)列｛《｝的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和楫的關(guān)系：《二?(3)設(shè)等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為0,公差為d,則前n項(xiàng)等差數(shù)列前n和的性質(zhì):⑴等差數(shù)列｛%｝中，連續(xù)m項(xiàng)的和仍組成等差數(shù)列，+%+…++°m+2+???+。2巾，%利+%“+???+*，仍為等差數(shù)列(即SmrS2m-Sm,S3m-S2m,-^等差數(shù)列)；等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和是=〃％+業(yè)必#=?〃2+［劣—?］〃，當(dāng)go時，￡可看作關(guān)于n的二次函數(shù)，且不含常數(shù)項(xiàng);（3）若等差數(shù)列｛舄共有2n+l（奇數(shù)）項(xiàng)，則S奇—S偶=皿（中間項(xiàng)）且*=皿，若等差數(shù)列0｝共有2n（偶數(shù)）項(xiàng)，則S偶項(xiàng)奇=汨且手=金.'奇％（4）等差數(shù)列｛%｝也｝的前n項(xiàng)和為Sn,Tn（n為奇數(shù)），則0+%宀"（0+。2”一1）O=2=2=bn4+婦二】咐+皈_l）丁宀（5）在等差數(shù)列杞”｝中S=a,Sm=b,則Sn+m=—（a-b）,特別地，當(dāng)Sn=S.時，5_=0,當(dāng)S“=m,S^=n時&瑯=—（〃+時（6）若、為等差數(shù)列｛為｝的前n項(xiàng)和,則數(shù)列｛&｝也為等差數(shù)列，等差數(shù)列前n項(xiàng)和S”的最值問題：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為％，公差為d,則⑴弓>0且刁<0（即首正遞減）時，&有最大值且&的最大值為所有非負(fù)數(shù)項(xiàng)之和;（2）%<0且d>0（即首負(fù)遞增）時，S?有最小值且S”的最小值為所有非正數(shù)項(xiàng)之和.三、等比數(shù)列等比數(shù)列的概念：如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比是同一個不為零的常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示由0）。即^=q（q為非零常數(shù)），這也是證明或判斷一個數(shù)列是否為等比數(shù)列的依據(jù)。等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：設(shè)等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為/,公比為g,則通項(xiàng)公式為：an=axqn'=amqnm>質(zhì),〃、meN0

等比中項(xiàng):⑴若a、48成等比數(shù)列,則4叫做q與Z)的等比中項(xiàng),且A2=ab；⑵若數(shù)列｛々“｝為等比數(shù)列，則，伸,4*成等比數(shù)列，即是％與的等比中項(xiàng)，且a：+m+2；反之若數(shù)列｛弓｝滿足。；+1="%+2，則數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列。等比數(shù)列的性質(zhì)：⑴若數(shù)列"也｝為等比數(shù)列，則數(shù)列｛』，a，"3,g(k為非零常數(shù))均為等比數(shù)列.（2）等比數(shù)列｛%｝中,若m+〃=p+q（m、n、p、qwN+）,則％?%=%?%，若m+h=2p,^]am-an=就(3)若數(shù)列｛弓｝和也｝均為等比數(shù)列,則數(shù)列｛誨｝也為等比數(shù)列；等比數(shù)列*”｝的首項(xiàng)為"公比為0,則0=1—｛（7”｝為常數(shù)列.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和:(1)數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和S”=q+務(wù)+務(wù)+?,?十%_[(2)數(shù)列｛氣｝的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和規(guī)的關(guān)系：an設(shè)等比數(shù)列叵｝的首項(xiàng)為叩公比為戒0工0),則S〃二劣(1—礦)由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式可知，己知a｝,q,n,an,Sn中任意三個，便可建立方程組求出另外兩個。6.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)：設(shè)等比數(shù)列｛%｝中，首項(xiàng)為％,公比為q（q）,則（1）連續(xù)m項(xiàng)的和仍組成等比數(shù)列，即％+%+",+。巾，％+1+1心2+??,+%也，外如+務(wù)“+…+吃，仍為等比數(shù)列（即膈-況，膈-陽,…成等差數(shù)列）;（2）當(dāng)g時，腭中丄己?（E"）=宀-二氣?宀氣，1-ql-q'11-ql-qq-\q-\設(shè)———t,則S”=tq"—I.g-1四、遞推數(shù)列求通項(xiàng)的方法總結(jié)遞推數(shù)列的概念：一般地，把數(shù)列的若干連續(xù)項(xiàng)之間的關(guān)系叫做遞推關(guān)系，把表達(dá)遞推關(guān)系的式子叫做遞推公式，而把由遞推公式和初始條件給出的數(shù)列叫做遞推數(shù)列.兩個恒等式：對于任意的數(shù)列｛%｝恒有：⑴%二。1+（%-％）+（。3-%）+（。4-％）+…+（%-婦）（2）《,=%x冬x冬xJx...x-^,（4eN、）a、3a〃_j遞推數(shù)列的類型以及求通項(xiàng)方法總結(jié)：類型一（公式法）：已知S”（即％+%+???+%=/'（〃））求氣，用作差法：類型二（累加法）：已知：數(shù)列｛《｝的首項(xiàng)角，且%-?！?/'偵）,偵叫）,求通項(xiàng)％.給遞推公式的-《,=/（〃）,（〃弓虬）中的n依次取1,2,3,……，n-l,可得到下面n-1個式子：務(wù)一為二/⑴，％一缶=/⑵，％一％=7.T）利用公式％二￥+（%-/）+（%-％）+（%-%）+???+（%-。z）可得：an=ai+f（1）+/（2）+/（3）+???+/（?-!）.類型三（累乘法）：己知：數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)％,且魚=/（〃）,（〃￡，+）,求通項(xiàng)％."fi給遞推公式魚=中的n一次取1,2,3,……，n-1,可得到下面n-1個式子：色2⑴A=/（2）A=/（3）,..-,^=/（?-l）.%%%%利用公式％=%x%x^x*x...x3_,（4g,,*N,）可得：們％%%%=W⑴X/■⑵"⑶類型四（構(gòu)造法）:形如%]="%+[、％l=p%+=（軟,P,■為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為*的等比數(shù)列后，再求4.an+l=pan+q解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：an+l-/=p（an-/）,其中/=—^―,再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。ein+l=pan+qn解法：該類型較要復(fù)雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以小，得:知卜貝?與+丄引入輔助數(shù)列知｝（其中如=癸）,得：bn+y=—bn+丄再應(yīng)用an+l=pan+g的方法解決。qq

類型五（倒數(shù)法）：已知：數(shù)列佰”｝的首項(xiàng)如且％I舛,+尸二耕專，則隊=土.「4萼?小｝若r=p,則、產(chǎn)如+纟。如h一九=纟，即數(shù)列｛如｝是以纟為公差的等差數(shù)列.若小p,則bn+x=丄如+釦轉(zhuǎn)換成類型四①），五、數(shù)列常用求和方法第一類：公式法利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法。1一等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式_〃（們+4）_*“丄n（n-V）d2.等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式泌10=1)5；=￡『=12+22+32+...+/?2二―〃(〃+1)(2〃+1)%=卩+2,+33+...+/=[-?(/?+1)]2第二類：乘公比錯項(xiàng)相減（等差X等比）這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列0x8“｝或｛手｝的前ri項(xiàng)和,其中｛%｝,｛九｝分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。例：求數(shù)列｛"礦T｝(g為常數(shù))的前〃項(xiàng)和。解：I：若0=0,則s"=oII:若q=l,貝US”=1+2+3+...+〃=：〃(〃+1)III：若時0且擰1,則覽=1+20+3/+...+〃礦T①qSn=q+2q2+3qy+...+nqn②①式—②式：(1_q)Sn=l+g+g"+q'+,,,+q"—nq"=>Sn=(l+g+g+g+...+/T—〃q")[簡單高中生(ID:jiandanl00cn0)]\-q\-qnnqn(i—g)'I0（q=0）綜上所述：S”二<；〃（〃+l）（g=1）[d）-I*第三類：裂項(xiàng)相消法這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用。裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng),最終達(dá)到求和的目的通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如:

1.乘積形式，如:（i）4二一1—--—〃（〃+1）n〃+1=-（!--—-1—）22〃+1〃+2、=111、一42〃+22〃+4第四類：倒序相加法這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到〃個0+4）。例：若函數(shù)/'（X）對任意xeR都有/?+/'（I-工）=2.⑴％"（0）+/■（丄）+/■（?）+...+/■（土1）+人1），數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列嗎？是證nnn明你的結(jié)論；（2）求數(shù)列（一［一｝的的前〃項(xiàng)和TnOQ”x%+］

解：⑴％=/（o）+y（丄）+y（2）+...+/（上!）+/⑴（倒序相加）nnnn%=/■⑴+/（—）+/（—）+...+/（-）+/（0）nfitii+o=丄+4=2+舊=..,=innnn則，由條件：對任意xeR都有/(X)+/(l-x)=2o二>2.卩=2+2+2+...+2=2（〃十1）n+1=>an+l=〃+2%=1從而：數(shù)列｛%｝是0=2/=1的等差數(shù)列。（2）—-anxi"+i（〃+1）（/7+2）n+1〃+2=>7；=丄+丄+丄+...+2x33x44x5（〃+l）x（”+2）T_1111n7=1…二”2334n+\〃+22〃+2故：T-^—2/7+4第五類：分組求和法(等差+等比)例：求數(shù)列｛一1一+〃x2n~'｝的前〃項(xiàng)和Sn[簡單高中生(ID:jiandanl00cn0)]n+1)解：令丄"x頊S”=01+"1）+（。2+如）+（。3+4）+，?+（%+如），刀=（。1+%+々3+???+%）+（如+力2+與+??.+々）n，=（l-!+!T+!+-+!-$）+（1+2x2+3x22+...+〃x2”t）=>Sn=(1——^)+(1+2x2+3x22+...+”2"T)72+1令T”=1+2x2+3x22+...+〃x2”「i①2T?=2+2x22+3x23+...+〃x2”②①式一②式：(1一2)7；=l+2+2?+23+...+2心一〃x2”n7“=-(l+2+22+23+...+2n_1-mx2m)12m=>7；=(〃-1)x2”十1故：S”=(1-—1—)+(/?-!)x2w+1=2-—+(〃-1)x2”〃+1w+1第六類：拆項(xiàng)求和法在這類方法中，我們先研究通項(xiàng)，通項(xiàng)可以分解成幾個等差或等比數(shù)列的和或差的形式，再代入公式求和。例：求數(shù)列9,99,999,...的前n項(xiàng)和&分析：此數(shù)列也既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列啟發(fā)學(xué)生先歸納出通項(xiàng)公式%=10〃_1可轉(zhuǎn)化為一個等比數(shù)列與一個常數(shù)列。分別求和后再相加。解：由于：an=10H—1則：Sn=9+99+99+...=>Sn=(10*-l)+(102_1)+(1.3-1)+...+(10”-1)=>Sn=(1(?+1()2+10,+...+10”)—(1+1+1+...+1)10—10"X101-10S=1-+2—+3-+■??+/?——2482”n—二〃+-2階2餌由于：a$”=（1+2+3+...+〃）+（；+：+!+???+土）（等差+等比，利用公式求和）|（1_（2r）=—n（n+1）+——1-1=：〃（〃+1）+1-第三章不等式@簡單高中生一、不等式的性質(zhì):1.同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若。>3,c>d,則。+。>力+#(若2-左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除,但不能相乘：a>b>0,c>d>0,貝l]ac>bda>b>0,0<c<d,貝ij—>—）；cd3,左右同正不等式：兩邊可以同時乘方或開方：若a>b>0,則f>礦或而〉而;例(1)對于實(shí)數(shù)E中，給出下列命題：①若。>缶則加>be；③若。<b<0,則a?>ab>b2；⑤若Q<b<0,M—>y；⑥若。<b<0,則W>\b\；?^a>b,—>—,貝lj^>0,/><0oab其中正確的命題是(答：②③⑥⑦⑧)；⑵已知-l<x+y<\,l<x-y<3,則3x-y的取值范圍是(答:l<3x-^<7)；不等式大小比較的常用方法：作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果;作商(常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的代數(shù)式)；分析法；4?平方法；5?分子(或分母)有理化；利用函數(shù)的單調(diào)性；尋找中間量或放縮法；8一圖象法。其中比較法(作差、作商)是最基本的方法。[簡單高中生(ID:jiandanlOOcnO)]例(1)已知a>b>0,m>0,試比較與」的大小b+mb_ab-\-am-ab-bm_m(a-b)a+maa(a+m)a{a+m):.>0>—a(a+m)a+ma從而得到結(jié)論，糖水加糖甜更甜。(2)設(shè)Q>0且1>0,比較-|10ga，和log。號■的大小

（答：當(dāng)〃>1時，^-logfl/<logfl-^-（/=1時取等號）；當(dāng)Ovg<1時，；log.1>loga號U=1時取等號））；（3）設(shè)】>2,p=。+1—,g二2-宀4「2,試比較的大小a-2（答：""〃―⑦+―1—+222+2=4,0=2一/+4宀2<4,故p>q）；a-2（4）比較1+log,3與2log,.2（x>0且x。1）的大?。ù穑寒?dāng)0<*<1或x>5時，l+logx3>21ogA2；當(dāng)1vXv§時，1+logx3<2log,2；當(dāng)x=-時，l+log》3=21ogx2）三、利用重要不等式求函數(shù)最值時，你是否注意到：“一正二定三相等，和定積最大，積定和最小”這17字方針。例(1)下列命題中正確的是^=x+-的最小值是2y=x+—的最大值是2j=2-3x--(x>0)的最大值是2-糖y=2-3x——（X>0）的最小值是2-4右(答：C)

（2）若x+2y=l,則2,+4,的最小值是（答：提示：2x~2y+22y>2^22V2）；（3）正數(shù)x,*滿足x+2y=l,則-+-的最小值為（答：3+2^2）；四、常用不等式有：⑴普狀202土（根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用）；'々+方（2）。b、ceR,/+/>'+c'2./）+阮+w（當(dāng)且僅當(dāng)々二人二c時，取等號）；（3）若〃>3>0,〃?>0,則-<^-（糖水的濃度問題）。a。+〃7例⑴如果正數(shù)48滿足瀝二。+人+3,則汕的取值范圍是（答：提示：a+b>ah=a+b+3,ab>+3[9,+co））五、證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法（比較法的步驟是：作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小，然后作出結(jié)論。）.常用的放縮技巧有：-=——<4<——=----』k+1—-Jk=]-j=<-j=</jR+1+Jk2yjk\k—\+\k六、不等式的解法不等式的同解原理：原理1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，所得不等式與原不等式是同解不等式；原理2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)或同一個大于零的整式，所得

不等式與原不等式是同解不等式;原理3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)或同一個小于零的整式，并把不等式改變方向后所得不等式與原不等式是同解不等式。一元二次不等式的解法:一元二次不等式的解集的端點(diǎn)值是對應(yīng)二次方程的根，是對應(yīng)二次函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。注意:⑴一元二次方程ax2+bx+c=0（67豐0）的兩根如、2是相應(yīng)的不等式ax2+bx+c>0（"0）的解集的端點(diǎn)的取值，是拋物線y=ax2+bx+c（a⑦0）與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo);（2）表中不等式的二次系數(shù)均為正，如果不等式的二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，應(yīng)先利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式，然后討論解決;

(3)解集分<0三種情況，得到一元二次不等式lx?+阪+c>00#0)-^ax2+ZJX+c<0(?^0)的解集。簡單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正；將每一個一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；根據(jù)曲線顯現(xiàn)/(x)的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集。例(1)解不等式(X-1)3十2)220。解不等式(X-1)23+1)3-2)3+4)<0解不等式(x+2)("I)。(x-I)3(x-2)<0分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0,再通分并將分子分母分解因式，并使每一個因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時可去分母。例解不等式<-1x—2x—3(答:(-1,1)U(2,3))；絕對值不等式的解法：(1)分段討論法(最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集):例(1)解不等式|2--x|>2-|x+-|(答:心);利用絕對值的定義；例解不等式(答：-c<ax+b<c>)；數(shù)形結(jié)合；例解不等式|x|+|x-l|>3(答：(-吃-l)U(2,+s))；兩邊平方：例若不等式|3工+2|司2工+.|對恒成立，則實(shí)數(shù)Q的取值范圍為。(答：g})含參不等式的解法：求解的通法是“定義域?yàn)榍疤幔瘮?shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是…”。注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.例⑴若iog，2<i,則］的取值范圍是(答：a>1或。vq<§)；(2)解不等式車土>雄司)ax-\(答：［=0時，{xIA：<0};Q>。時，{xIJ>—ngX<0};Q<0時，(x|—<X<0)或x<0})；提醒：(1)解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；(2)不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值。指數(shù)、對數(shù)不等式的解法：嚴(yán)5(a>l)o/(x)>g(x);/)>/(，)(o<Q<i)o/(x)<g(x)(2)log"(H>logog(x)(<7>1)<=>/(x)>g(x)>。；log"/(x)>log。g(x)(o<<1)<=>0</(JT)<g(x)七、基本不等式基本不等式：若a>0,b>0,則a+>s/ab,當(dāng)且僅當(dāng)a-b時，等號成立.生叱稱為正數(shù)『、人的算術(shù)平均數(shù)，亦稱為正數(shù)口、力的幾何平均數(shù)一變形應(yīng)用：瀝4%[(0>00〉0)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.基本不等式推廣形式：如果a,beR+,則,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.V22-+-3一基本不等式的應(yīng)用：設(shè)x、y都為正數(shù)，則有：若x+j=5(和為定值)，則當(dāng)x=y時，積“取得最大值旦.若x*=p(積為定值)，則當(dāng)x=*時，和X+J?取得最小值2y[p.注意：在應(yīng)用的時候，必須注意“一正二定三相等”三個條件同時成立。4.常用不等式：若。b^R,則/+力2習(xí)2瀝何2瀝；2(a2+b2)>(a+b)2八、含絕對值不等式的性質(zhì)：。人同號或有。<^>\a+b\=\a\+\b\>\\a\-\b^=\a-b\ia、方異號或有0^\a-b\=\a\+\b\>\\a\-\b\\^a+b\.九、不等式的恒成立，能成立，恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？(常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法)恒成立問題若不等式/(x)>K在區(qū)間。上恒成立，則等價于在區(qū)間。上/('Lm>刀若不等式/(貿(mào))<B在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上/(》?<B例⑴設(shè)實(shí)數(shù)滿足尸+(*_1)2=1,當(dāng)x+y+cNO時，C的取值范圍是(答：提示：設(shè)x=sinaj=l+cosa,x+y+c=sin<7+cos。+1+c二很sin(a+45°)+1+cC+1-V2>0[V2-1,+8))；(2)不等式|s4|+|x-3|>〃對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍(答：〃<1)；能成立問題若在區(qū)間。上存在實(shí)數(shù)X使不等式f(x)>A成立，則等價于在區(qū)間D上若在區(qū)間。上存在實(shí)數(shù)X使不等式成立，則等價于在區(qū)間。上的例⑴已知不等式|x-4|+|x-3|<?在實(shí)數(shù)集R上的解集不是空集，求實(shí)數(shù)。的取值范圍(答：1>1)恰成立問題若不等式/(x)>』在區(qū)冋。上恰成立，則等價于不等式f(x)>A的解集為。；若不等式在區(qū)間。上恰成立，則等價于不等式/(x)<B的解集為。十、簡單的線性規(guī)劃問題】.二元一次不等式表示平面區(qū)域：在平面直角坐標(biāo)系中，己知直線4￥+奶<』0,坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)尸(xo,yo)，g>o時，①仙o+5>+C>。則點(diǎn)P(X0,比)在直線的上方；?Axo+By0+C<O,則點(diǎn)P(xo,興)在直線的下方.對于任意的二元一次不等式Ax+By+C>0(或V0),無論月為正值還是負(fù)值，我們都可以把〉項(xiàng)的系數(shù)變形為正數(shù)?當(dāng)占>0時，?Ax+By+C>0表示直線Ax+By+C=O上方的區(qū)域；?Ax+By+C<0表示直線Ax+By+C=O下方的區(qū)域，線性規(guī)劃：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.滿足線性約束條件的解(x，丿)叫做町行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域(類似函數(shù)的定義域)；使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解,生產(chǎn)實(shí)際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題，線性規(guī)劃問題一般用圖解法，其步驟如下：根據(jù)題意，設(shè)出變量X、尹找出線性約束條件;確定線性冃標(biāo)函數(shù)y)；畫出可行域(即各約束條件所示區(qū)域的公共區(qū)域)；利用線性目標(biāo)函數(shù)作平行直線系Rx,力=心為參數(shù))；觀察圖形，找到直線犬心力=，在可行域上使，取得欲求最值的位置，以確定最優(yōu)解，給出答案.典型解題方法總結(jié)線性目標(biāo)函數(shù)問題當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是線性關(guān)系式如z=ox+必+c以40)時，可把目標(biāo)函數(shù)變形為az-c——x+則三可看作在在y軸上的截距，然后平移直線法是解決此類問題的常用方法，b通過比較目標(biāo)函數(shù)與線性約束條件直線的斜率來尋找最優(yōu)解，一般步驟如下：做出可行域；平移目標(biāo)函