第五章頻率響應法課件

第五章頻域分析法5.1頻率特性5.2典型環(huán)節(jié)和開環(huán)頻率特性5.3奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)5.4穩(wěn)定裕度5.5閉環(huán)頻率特性End本章作業(yè)頻域分析法：是利用頻率特性來研究系統(tǒng)一、什么是頻率特性？頻率響應，指的是：不同頻率的正弦輸入信號作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應的特性。具體哪些特性？二、頻率特性與傳遞函數(shù)的關系？三、頻率特性如何表示？（數(shù)學形式？圖形？）5.1頻率特性的基本概念頻率特性的概念設系統(tǒng)結構如圖，由勞斯判據(jù)知系統(tǒng)穩(wěn)定。給系統(tǒng)輸入一個幅值不變頻率不斷增大的正弦，Ar=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=4曲線如下:40不結論給穩(wěn)定的系統(tǒng)輸入一個正弦，其穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦，幅值隨ω而變，相角也是ω的函數(shù)。5.1

頻率特性AB相角問題①

穩(wěn)態(tài)輸出遲后于輸入的角度為：②該角度與ω有BA360oφ=AB③該角度與初始關系∴為φ(ω),角度無關∴,…A(ω)稱幅頻特性，φ(ω)稱相頻特性。二者統(tǒng)稱為頻率特性。

基本概念（物理意義）5.25.35.45.5設系統(tǒng)穩(wěn)定，則正弦輸入時輸出為：C(s)=Φ(s)R(s)=s2+ω2Arω∏(s-si)∏(s-zj)kΦ*1nm1s-siai∑1n=++s+jωB1s-jωB2Cs(s)=ct(t)=∑aies

tict(∞)=0∵系統(tǒng)穩(wěn)定，∴Φ(jω)Ar2j(s-jω)+=ArΦ(-jω)-2j(s+jω)Φ(jω)ejωt

Φ(-jω)e-jωtAr2jcs(t)=Φ(s)(s+jω)(s-jω)Arωs+jωB1+s-jωB2頻率特性Φ(jω)=a(ω)+jb(ω)c(ω)+jd(ω)Φ(-jω)=c(ω)-jd(ω)a(ω)-jb(ω)Φ(-jω)Φ(jω)∠Φ(-jω)∠Φ(jω)Cs(s)=Φ(jω)Ar2j(s-jω)+=ArΦ(-jω)-2j(s+jω)Φ(jω)ejωt

Φ(-jω)e-jωtAr2jcs(t)s+jωB1+s-jωB2Ar

Φ(jω)ej∠Φ(jω)

ejωte-j∠Φ(jω)e-jωt2jAr

Φ(jω)sin(ωt+∠Φ(jω))一、什么是頻率特性？不同頻率的正弦輸入信號作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應的特性。

1、線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出是和輸入具有相同頻率的正弦信號2、穩(wěn)態(tài)輸出的幅值和相位都隨頻率變化3、兩個定義幅頻特性：穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的幅值比，隨輸入的頻率變化。A(ω)相頻特性：穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的相位差，隨輸入的頻率變化。φ(ω)4、頻率特性：幅頻特性和相頻特性統(tǒng)稱為系統(tǒng)的頻率特性它反映了在正弦輸入信號作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應與輸入正弦信號的關系。Ar

Φ(jω)sin(ωt+∠Φ(jω))

r(t)=Arsin(ωt)Cs(t)穩(wěn)態(tài)輸出輸入二、頻率特性與傳遞函數(shù)的關系？Ar

G(jω)sin(ωt+∠G(jω))

r(t)=Arsin(ωt)Cs(t)穩(wěn)態(tài)輸出幅頻特性：A(ω)

=

G(jω)相頻特性：φ

(ω)

=

∠

G(jω)根據(jù)定義：頻率特性的指數(shù)形式：

A(ω)ejφ

(ω)=G(jω)ej∠

G(jω)=

G(jω)

=

G(s)

s=jω若已知傳遞函數(shù)G(s)，可直接得到頻率特性:

G(jω)

=

G(s)

s=jω頻率特性是系統(tǒng)的一種數(shù)學模型，是頻域中的數(shù)學模型輸入,傳遞函數(shù):G(s)R1C1i1(t)G(jω)

=

G(s)

s=jω=A(ω)ejφ

(ω)

=P(ω)+jQ(ω)

=A(ω)φ(ω)三、頻率特性的表示？指數(shù)形式實頻+虛頻圖形表示？極坐標形式用于描述頻率特性的幾種曲線（頻率特性的圖形表示）三種曲線：1、幅相頻率特性曲線（奈奎斯特曲線、極坐標圖）2、對數(shù)頻率特性曲線（伯德圖、波特圖）

3、對數(shù)幅相曲線（尼柯爾斯曲線）頻率特性：A(ω)ejφ(ω)=G(jω)ej∠

G(jω)

1、幅相頻率特性曲線：幅相曲線、奈氏曲線、極坐標圖

橫軸為實軸、縱軸為虛軸，構成復數(shù)平面。對于一個確定的頻率ω

，必有一個幅頻特性的幅值和一個相頻特性的相角與之對應，幅值與相角在復平面上代表一個向量。當頻率ω從0變化到∞時，相應向量的矢端就描繪出一條曲線，這條曲線就是幅相頻率特性曲線，簡稱幅相曲線。在幅相曲線上用箭頭表示出ω增大時幅相曲線的變化方向（繪圖：起點、終點、特殊點）

主要用于系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析ReIm0A(ω)φ(ω)頻率特性：G(jω)=G(jω)ej∠

G(jω)=A(ω)ejφ(ω)

=P(ω)+jQ(ω)因為幅頻特性為ω的偶函數(shù)，相頻特性為ω的奇函數(shù)，所以ω從0變化到∞和ω從0變化到-∞的幅相曲線關于實軸對稱，所以一般只畫出ω從0變化到∞的幅相曲線2、對數(shù)頻率特性曲線：波特圖、伯德圖、Bode圖包括兩個圖：對數(shù)幅頻特性曲線和對數(shù)相頻特性曲線橫坐標為角頻率ω，但采用對數(shù)lg

ω

線性分度。對數(shù)幅頻曲線：縱坐標的單位是分貝（dB），線性分度

記作：對數(shù)相頻曲線：縱坐標，單位是度（°），

線性分度通常將這兩個圖形上下放置（幅頻特性在上，相頻特性在下），且將縱軸對齊，便于求出同一頻率的幅值和相角的大小將幅頻特性和相頻特性分別作圖，使系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的幅值和相角與頻率之間的關系更加清晰；對數(shù)頻率特性曲線：02040-40-200.010.1110100045o90o-90o-45o0.010.1110100dB橫坐標為角頻率ω，采用lg

ω

分度，十倍頻程的長度相等伯德圖優(yōu)點：展寬頻帶化幅值乘除為加減、易作近似幅頻特性曲線圖。對數(shù)分度優(yōu)點：擴大頻帶。但坐標原點處ω不能為0dec對數(shù)坐標系ω12345678910lg

ω00.3010.4770.6020.6990.7880.8450.9030.95413、

對數(shù)幅相曲線（又稱尼柯爾斯曲線Nichols）：橫坐標：相角，單位：度（°）縱坐標：L(ω)，單位：分貝db

ω為參量均為線性分度L(ω)一、什么是頻率特性？二、頻率特性與傳遞函數(shù)的關系？三、頻率特性如何用圖形表示？5.1頻率特性的基本概念5.2典型環(huán)節(jié)和開環(huán)頻率特性的圖形表示一、典型環(huán)節(jié)的幅相曲線（極坐標圖）二、系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標圖三、典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線（伯德圖）四、系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的伯德圖五、對于最小相位系統(tǒng)，如何由開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線求開環(huán)傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)

比例環(huán)節(jié)：K慣性環(huán)節(jié)：1/(Ts+1)，式中T>0

一階微分環(huán)節(jié)：(Ts+1)，式中T>0

5.2

典型環(huán)節(jié)和開環(huán)頻率特性積分環(huán)節(jié)：1/s微分環(huán)節(jié)：s振蕩環(huán)節(jié)：1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1];

式中ωn>0，0<ζ<1二階微分環(huán)節(jié)：(s/ωn)2+2ζs/ωn+1;

式中ωn>0，0<ζ<15.2.1幅相曲線和對數(shù)幅頻特性、相頻特性的繪制

5.15.35.45.55.2.35.2.2比例環(huán)節(jié)的頻率特性是G(jω)=K，幅相曲線如下左圖。k

j0圖5.3比例環(huán)節(jié)K的幅相曲線·

比例環(huán)節(jié)圖5.4比例環(huán)節(jié)的

對數(shù)頻率特性曲線比例環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性分別是：

L(ω)=20lg|G(jω)|=20lgK和φ(ω)=0相應曲線如上右圖。動畫演示0020lgK

(dB)(o)ωω111010積分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性是L(ω)=-20lgω,過（1,0）點斜率-20db/dec而相頻特性是φ(ω)=-90o

積分環(huán)節(jié)圖5.61/jω和jω的對數(shù)坐標圖ωjω1/jω0.1(dB)jω110020-2020dB/dec-20dB/dec1/jω(o)90-9000.1110ω∠jω∠1/jωjω

ω=0

0圖5.7微分環(huán)節(jié)幅相曲線0

ω

圖5.5積分環(huán)節(jié)的幅相曲線

j

微分環(huán)節(jié)

G(s)=s和G(jω)=jω=ω∠π/2L(ω)=20lgω,而相頻特性是φ(ω)=90o。動畫演示注意：傳遞函數(shù)互為倒數(shù)，伯德圖中對數(shù)幅頻特性曲線：關于0db線對稱對數(shù)相頻特性曲線：關于0。線對稱圖5.61/jω和jω的對數(shù)坐標圖ωjω1/jω0.1(dB)jω110020-2020dB/dec-20dB/dec1/jω(o)90-9000.1110ω∠jω∠1/jωG(s)=sω<<1/T,L(ω)≈-20lg1=0ω>>1/T,L(ω)≈-20lgωT=-20(lgω-lg1/T)

一階微分環(huán)節(jié)G(s)=Ts+1慣性環(huán)節(jié)

G(s)=1/(Ts+1),ω0.1(dB)110020-2020dB/dec-20dB/dec1/T圖5.91+jT和1/(1+jT)的對數(shù)坐標圖

(o)90-9000.1110ω-1/Tjp0(a)θjω+1/T圖5.8

慣性環(huán)節(jié)極點—零點圖(a)和幅相曲線(b)ω=0j0ω=∞-45oω=1/T

(b)Kω<<1/T,L(ω)≈20lg1=0ω>>1/T,L(ω)≈20lgωT=20(lgω-lg1/T)

補充2轉折頻率補充1近似低頻高頻極坐標圖當ω由零至無窮大變化時，慣性環(huán)節(jié)的極坐標圖是正實軸下方的半個圓周，證明如下：

這是一個標準圓方程，其圓心坐標是，半徑為。且當ω由時，由，說明慣性環(huán)節(jié)的極坐標圖是實軸下方半個圓周推廣：當慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的分子是常數(shù)K時，即其極坐標圖是圓心為，半徑為的實軸下方半個圓周。當時，，當，，用兩條直線近似描述慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性，即在的低頻段時，，與零分貝線重合；在的高頻段時，，是一條斜率為-20（dB/dec.）的直線。

上述兩條直線在處相交，交點頻率稱為交接頻率，由這兩條直線構成的折線稱為對數(shù)幅頻特性的漸近線。慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性曲線的漸近線如圖4-14所示。慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的頻率特性是其對數(shù)幅頻特性是漸近特性精確特性圖4-14慣性環(huán)節(jié)的Bode圖

很明顯，距離交接頻率愈遠，愈能滿足近似條件，用漸近線表示對數(shù)幅頻特性的精度就愈高；反之，距離交接頻率愈近，漸近線的誤差愈大。等于交接頻率時，誤差最大，最大誤差為

時的誤差是時的誤差是誤差曲線對稱于交接頻率，如圖4-15所示。由圖4-15可知，慣性環(huán)節(jié)漸近線特性與精確特性的誤差主要在交接頻率上下十倍頻程范圍內。交接頻率十倍頻以上的誤差極小，可忽略。經(jīng)過修正后的精確對數(shù)幅頻特性如圖4-14所示。

慣性環(huán)節(jié)的相頻特性為

(4-75)當時，；當時，；當時，。對應的相頻特性曲線如圖4-14所示。它是一條由00至-900范圍內變化的反正切函數(shù)曲線，且以和的交點為斜對稱。

圖4-15慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性誤差修正曲線G(s)=Ts+1，振蕩環(huán)節(jié)

j

ω-1/T

0

(a)

jω+1/T

ω=0

j

0ω

1(b)圖5.10一階微分環(huán)節(jié)的極點—零點圖(a)和幅相曲線(b)G(s)=1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1]圖5.11振蕩環(huán)節(jié)的幅相曲線動畫演示ω<<ωn時L(ω)≈0

ω>>ωn時L(ω)≈-40lgω/ωn=-40(lgω-lgωn)10110圖5.12

振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)坐標圖ω/ωn

0.1(dB)1040-20

40dB/dec-40dB/dec(o)180-18000.1ω/ωn

20ωn為轉折頻率諧振頻率ωr與諧振峰值Mr：

當阻尼比比較小時，在轉折頻率ω=ωn附近將出現(xiàn)諧振峰值推導定位38頁積分環(huán)節(jié)L(ω)①G(s)=1s②G(s)=10s1③G(s)=5s100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20][-20][-20]①G(s)=s②G(s)=2s③G(s)=0.1s100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[+20][+20][+20]微分環(huán)節(jié)L(ω)慣性環(huán)節(jié)G(jω)G(s)=0.5s+110.25ω2+1A(ω)=1φ(ω)=-tg-10.5ωj01Im[G(jω)]Re[G(jω)]ω00.51245820φo(ω)A(ω)01-14.50.97-26.60.89-450.71-63.4 -68.2 -76-840.45 0.37 0.24 0.05①G(s)=10.5s+1100②G(s)=s+5100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100慣性環(huán)節(jié)L(ω)[-20][-20]26dB0o-30o-45o-60o-90o①G(s)=0.5s+10.3②G(s)=(0.25s+0.1)L(ω)dB100.2210.1ω0dB2040-40-2020100一階微分L(ω)0o+30o+45o+60o+90o[+20][+20]振蕩環(huán)節(jié)G(jω)(0<ξ<1)(0<ξ<0.707)振蕩環(huán)節(jié)G(jω)幅相曲線（Nyquist曲線）0j1振蕩環(huán)節(jié)L(ω)100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-40]振蕩環(huán)節(jié)再分析0dBL(ω)dBω20lgkωnωr(0＜ξ＜0.707)[-40]

0＜ξ＜0.5ξ=0.5

0.5＜ξ＜1友情提醒:φ(ωn)=-90o?2nn22nS2Sk(s)Gw+xw+w=ω=

r二階微分j01幅相曲線對數(shù)幅頻漸近曲線0dBL(ω)dBω[+40]ωn0<ξ<0.707時有峰值：幾點說明…時滯環(huán)節(jié)5.2典型環(huán)節(jié)和開環(huán)頻率特性的圖形表示一、典型環(huán)節(jié)的幅相曲線（極坐標圖）二、系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標圖三、典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線（伯德圖）四、系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的伯德圖五、對于最小相位系統(tǒng)，如何由開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線求開環(huán)傳遞函數(shù)1、開環(huán)傳遞函數(shù)Gk(s)2、將s=jω帶入，得到開環(huán)頻率特性Gk(jω)，并寫出幅頻A(ω)，相頻φ(ω)，實部P(ω)和虛部Q(ω)3、確定起點(ω=0）和終點（ω∞）4、確定與負實軸、虛軸的交點5、所在象限、單調性5.2.2開環(huán)幅相曲線的繪制P1985.2.2開環(huán)幅相曲線的繪制5.2.15.2.3起點終點對于0型系統(tǒng)，v=0，起點（K，j0）I型系統(tǒng)，v=1，起于一條平行于虛軸的漸近線上，與虛軸距離Vx=II型系統(tǒng)，v=2，起于一條平行于實軸的漸近線上，與實軸距離Vy=起點0-25Im[G(jω)]Re[G(jω)]例題1：繪制

的幅相曲線。解：求交點：

曲線如圖所示：開環(huán)幅相曲線的繪制令.064,056,0)]j(GRe[222=+w=w+w-=w無實數(shù)解，與虛軸無交點例題1、已知，繪制幅相頻率特性曲線。2、已知，繪制幅相頻率特性曲線。5.2典型環(huán)節(jié)和開環(huán)頻率特性的圖形表示一、典型環(huán)節(jié)的幅相曲線（極坐標圖）二、系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標圖三、典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線（伯德圖）--見前面內容四、系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的伯德圖五、對于最小相位系統(tǒng)，如何由開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線求開環(huán)傳遞函數(shù)畫法1、根據(jù)疊加性質畫圖5.2.2開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的繪制畫法2、簡便方法畫圖兩種畫法：各典型環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性之和各典型環(huán)節(jié)相頻特性之和疊加：斜率相加方法2：簡便畫法P202一般的近似對數(shù)幅頻特性曲線有如下特點(重點掌握)：

1.最左端直線斜率為（—20ν）dB/dec,ν是積分環(huán)節(jié)數(shù)。1、開環(huán)傳函化成若干個典型環(huán)節(jié)串聯(lián)的時間常數(shù)標準形式2、除了比例、積分和微分環(huán)節(jié)外，對于其它一階環(huán)節(jié)和二階環(huán)節(jié)，確定各典型環(huán)節(jié)的轉折頻率，并從小到大依次畫在橫坐標上。然后按下面方法繪制

2.最左端直線或其延長線(當w<1的頻率范圍內有轉折頻率時)過（ω=1，201gK

分貝）點和（K1/ν，0dB)點

3.在轉折頻率處，折線斜率發(fā)生改變。改變多少取決于典型環(huán)節(jié)種類：在慣性環(huán)節(jié)的轉折頻率之后，斜率減少20dB/dec；而在二階振蕩環(huán)節(jié)的轉折頻率后，斜率減少40dB/dec；一二階微分環(huán)節(jié)后，斜率增加。20根據(jù)典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性繪制開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線例5.1

系統(tǒng)開環(huán)傳函為,試繪制系統(tǒng)的Bode曲線。解：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪出開環(huán)對數(shù)漸近幅頻曲線。例5.2繪制L(ω)例題100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20][-40]繪制的L(ω)曲線低頻段：時為38db時為52db轉折頻率：0.5230斜率：-20+20-20[-20][-40]低頻段經(jīng)過以下兩點：（1，32）（40，0）5.2典型環(huán)節(jié)和開環(huán)頻率特性的圖形表示一、典型環(huán)節(jié)的幅相曲線（極坐標圖）二、系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標圖三、典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線（伯德圖）四、系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的伯德圖五、對于最小相位系統(tǒng)，如何由開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線求開環(huán)傳遞函數(shù)5.2.3最小相角系統(tǒng)和非最小相角系統(tǒng)的區(qū)別最小相角(相位)系統(tǒng)的開環(huán)零點、極點均在s平面的左半平面，在s平面的右半平面有零點或極點的系統(tǒng)是非最小相角系統(tǒng)。20-20ωL(dB)10L(dB)50-20-40100ωL(dB)ω-40-40-20ω1ωcω2幅頻特性相同，但對數(shù)相頻曲線卻不相同。

最小相角系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性一一對應，只要根據(jù)其對數(shù)幅頻曲線就能寫出相應的傳遞函數(shù)。如：5.2.15.2.2注意：高低頻的近似已知最小相位系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)漸近幅頻曲線，求開環(huán)傳遞函數(shù)。例5.3波特圖判定最小相位系統(tǒng)低頻段：斜率為-20vdb/dec，相角-90v高頻段：斜率為-20(n-m)db/dec

相角-90o(n-m)1、應用開環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)穩(wěn)定性．其中開環(huán)頻率特性可部分實驗求??；2、便于研究系統(tǒng)參數(shù)和結構的改變對穩(wěn)定性影響；3、可以研究包含延時環(huán)節(jié)的穩(wěn)定性；4、可以推廣到非線性研究。Nyquist判據(jù)的特點：Nyquist判據(jù)——開環(huán)幅相曲線判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。

——開環(huán)對數(shù)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。5.3

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)奈氏穩(wěn)定判據(jù)的推導奈氏穩(wěn)定判據(jù)奈氏判據(jù)在0型、I型及以上系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中的應用奈氏判據(jù)在波特圖中的應用5.3

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)一、幅角定理在s平面上任選一復數(shù)s，通過復變函數(shù)F(s)的映射關系在F(s)平面上可以找到s相應的象。若在F(s)的零－極點分布圖上，選擇A點，使s從A點開始移動，繞F(s)的零點Zi

順時針依曲線s（

s不通過任何零極點）轉一周回到A，相應地，F(xiàn)(s)也可從

B

點出發(fā)回到

B，也畫出一條封閉曲線

F。AS平面

sB

FF平面若s依

s變化時，F(xiàn)(s)

相角的變化為則有：從圖中可以看出，除之外，其它各項均為零。△∠F(s)=

-2π

表示

s的象F

從

B

點開始再回到

B點繞著原點順時針轉了一圈。AS平面

sB

FF平面幅角定理：

設封閉曲線s上沒有F(s)的零點和極點。而在封閉曲線

s內部有

Z個F(s)零點，P個F(s)極點，則

s

沿著

s順時針轉一圈時，在

F(s)

平面上，F(xiàn)(s)

曲線繞原點逆時針轉的圈數(shù)

R

為

P與

Z

之差，即

R=

P

-

Z同理，若

s繞F(s)的極點順時針轉一圈時，在F(s)上s的象

F繞原點反時針轉一圈。由此，可得映射的幅角定理：AS平面

sB

FF平面二、F(s)的確定1、其零點和極點分別是閉環(huán)和開環(huán)的特征根；2、其零極點個數(shù)相同；3、F(s)

和開環(huán)傳遞函數(shù)Gk(s)

只差常數(shù)１。設：則：定義一個輔助函數(shù)：輔助函數(shù)F(s)

有如下特點：F(s)

函數(shù)的特點：Gk(s)=

F(s)-1，F(xiàn)(s)=0，Gk(s)=-1

F(s)平面的原點對應Gk(s)平面的（-1，j0）幅角定理：

設封閉曲線s上沒有F(s)的零點和極點。而在封閉曲線

s內部有

Z個F(s)零點，P個F(s)極點，則

s

沿著

s順時針轉一圈時，在

F(s)

平面上，F(xiàn)(s)

曲線繞原點逆時針轉的圈數(shù)

R

為

P與

Z

之差，即

R=

P

-

Z推出：設封閉曲線s上沒有F(s)的零點和極點。而在封閉曲線

s內部有Z個閉環(huán)極點，P個開環(huán)極點，則s沿著

s順時針轉一圈時，在Gk(s)平面上，Gk(s)曲線繞（-1，j0）點逆時針轉的圈數(shù)R

為P與Z之差，即R=P–Z,即Z=P-R三、閉合曲線s的選擇

sρ∞S平面將s取為D型圍線，也叫奈氏路徑即：順時針包含整個s右半平面。具體組成：正虛軸：s=jω，ω由0變化到∞右半平面：半徑ρ為無窮大的半圓

ρ為無窮大，-90o<θ<90o，且為順時針方向負虛軸：s=jω，ω由

-∞變化到0

當s沿正虛軸變化時，在Gk平面上得到的是開環(huán)頻率特性Gk(jω)的曲線，

ω由0∞當s沿右半圓順時針變化時，在Gk平面上得到的是一個點（Gk()=常數(shù)）當s沿負虛軸變化時，在Gk平面上得到的是開環(huán)頻率特性Gk(-jω)的曲線即S沿著型圍線s順時針變化時，在Gk平面上得到的是開環(huán)頻率特性Gk(jω)的曲線，

ω由-∞0∞，以及一個點。設封閉曲線s上沒有F(s)的零點和極點。而在封閉曲線

s內部有Z個閉環(huán)極點，P個開環(huán)極點，則s沿著

s順時針轉一圈時，在Gk(s)平面上，Gk(s)曲線繞（-1，j0）點逆時針轉的圈數(shù)R為P與Z之差，即R=P–Z,即Z=P-R設封閉曲線s上沒有F(s)的零點和極點。而在整個s右半平面有Z個閉環(huán)極點，P個開環(huán)極點，當ω從-∞0∞變化時，開環(huán)頻率特性Gk(jω)的幅相曲線繞（-1，j0）點逆時針轉的圈數(shù)為R

，有R=P–Z,即Z=P-R，顯然Z=0時系統(tǒng)穩(wěn)定四、Nyquist

判據(jù)Z=P-RZ=0時,系統(tǒng)穩(wěn)定Z:在右半平面閉環(huán)特征根（閉環(huán)極點）的個數(shù);R:

從-0，開環(huán)頻率特性Gk(jω)的幅相曲線繞（-1，j0)點逆時針轉過的圈數(shù)。P:在右半平面開環(huán)特征根（開環(huán)極點）的個數(shù);由于頻率特性關于實軸對稱，奈氏判據(jù)可簡化為N:

從0，開環(huán)幅相曲線繞（-1，j0)點逆時針轉過的圈數(shù)。Z=P-2NZ=0時，穩(wěn)定Z:在右半平面閉環(huán)極點的個數(shù);N:

從0，開環(huán)幅相曲線繞（-1，j0)點逆時針轉過的圈數(shù)。P:在右半平面開環(huán)極點的個數(shù);Z=P-2NZ=0時，系統(tǒng)穩(wěn)定奈氏穩(wěn)定判據(jù)注意：當開環(huán)傳遞函數(shù)中含有v個積分環(huán)節(jié)一定要補畫。方法：從原開環(huán)幅相曲線起始點到正實軸逆時針虛線補畫半徑無窮大的圓弧當系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)包含積分環(huán)節(jié)時，設：當=0時，即對ν

型系統(tǒng)，有：sρ1abc為避免s經(jīng)過

Gk(s)

的極點，可采用一無限小的圓弧來繞過這些位于虛軸上的開環(huán)極點，從而可以應用

Nyquist

判據(jù)。繞過原點處的極點會產生何種影響呢?S

平面上原點映射到

Gk(s)平面上的無窮遠處，而s

從

s

上的

a點移至

c

點時，(在s=0附近)，在a點，故在c點，故在b點，故可見，半徑為ρ1的小圓弧在

Gk(s)

上的映射是半徑無窮大的v/2個圓，其方向為順時針。sρ1abc再考慮到

Gk(jω)幅相曲線從

ω=0

至

ω∞，ρ1

圓弧僅考慮

bc，故在應用

Nyquist

判據(jù)時，遇到開環(huán)傳遞函數(shù)有原點處極點（即有積分環(huán)節(jié)）的情況，應對Gk(jω)從頻率

0+

對應的點開始，逆時針方向補畫

v/4

個無窮大半徑的圓。sρ1abcZ:在右半平面閉環(huán)特征根（閉環(huán)極點）的個數(shù);N:

在[G]平面，從0，開環(huán)幅相曲線繞（-1，j0)點逆時針轉過的圈數(shù)。P:在右半平面開環(huán)特征根（開環(huán)極點）的個數(shù);Z=P-2NZ=0時,穩(wěn)定奈氏穩(wěn)定判據(jù)注意：當開環(huán)傳遞函數(shù)中含有v個積分環(huán)節(jié)一定要補畫。方法：從原開環(huán)幅相曲線起始點到正實軸逆時針虛線補畫半徑無窮大的圓弧試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。例：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：解：該系統(tǒng)開環(huán)幅相圖如右，由圖中

G(s)H(s)

的

G(jω)H(jω)

曲線不包圍（-1，j0）點可知，該系統(tǒng)穩(wěn)定。-1事實上，本題中，只要K，T1，T2

均大于零，G(jω)H(jω)

的幅角只會在0~-1800內變化，不會與負實軸相交，因而不會包圍（-1，j0）點，因此只要K，T1，T2

均為正數(shù)，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。例：某單位反饋系統(tǒng)試用Nyquist

判據(jù)判斷其穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)的開環(huán)幅相圖如右，由于有二階積分環(huán)節(jié)，補畫半圓。可見，幅相曲線包圍（-1，j0）點一次，而開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。0+ωω∞-1例:試判斷下列系統(tǒng)K=2時閉環(huán)是否穩(wěn)定,并確定臨界放大系數(shù)。解：由幅相曲線可知，K=2時系統(tǒng)不穩(wěn)定。-1ω0令上式虛部等于零，得，即將代入G(j)H(j)

得：，令可得由幅相曲線可知，不同K值時例

判斷以下系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。從=0+開始，逆時針補畫90°、半徑為無窮大的圓弧。

Z=

P

–

2N

為（-1，j0)點或零分貝值以左的穿越次數(shù)。穿越時（頻率增大方向）：相角增大為正穿越N+，

相角減小為負穿越N-,

未穿透為半次穿越,奈氏判據(jù)的具體應用：利用正負穿越例若系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，則閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是開環(huán)幅相曲線不包圍（-1，j0）點；若系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定（在s右半平面有

p

個開環(huán)極點），則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是開環(huán)幅相曲線反時針方向包圍（-1，j0）點p/2次。Nyquist

判據(jù)可分為兩種情況：證明：將s取為虛軸和右半平面半徑ρ為無窮的圓，幅角原理的

p

和

z

則表示F(s)位于右半

s

平面的開環(huán)極點和零點的個數(shù)。

sρ∞BACKS平面故

s

沿s順時針環(huán)繞一圈時，在

F(s)

平面上F繞原點反時針圈數(shù)為

R

=

p

–

z若系統(tǒng)穩(wěn)定，則F(s)=1+G(s)H(s)在s平面的右半部（即

s所圍區(qū)域內）沒有零點（閉環(huán)極點）。即環(huán)繞

F(s)原點數(shù)為

R=

p-z|z=0=p為進一步簡化，我們不作F(s)

曲線，僅畫G(s)H(s)曲線，由前所述，F(xiàn)(s)

與G(s)H(s)

僅差單位1，G(s)H(s)

曲線是將F(s)

平移（左移）一個單位而得，從G(s)H(s)

圖上看，F(xiàn)(s)

原點相當于G(s)H(s)圖上的（-1，j0）點。

sρ∞S平面GHF(S)平面F因此，在G(s)H(s)

圖上，若希望系統(tǒng)穩(wěn)定，G(s)H(s)

的曲線環(huán)繞（-1，j0）點次數(shù)為R=p–0，這里p

為開環(huán)系統(tǒng)在右s平面的極點數(shù)。由于我們做幅相圖時，jω

取

ω=0

到

ω∞，因而僅是

s

的部分路徑（對于ρ∞的半圓倒無妨，反正它退化在

G(s)H(s)

平面上的原點鄰域，與（-1，j0）點并無關系），因此，

結論成立。定理證畢。

sρ∞五、Nyquist

判據(jù)在對數(shù)頻率特性中的應用在開環(huán)G(jω)H(jω)

平面上的單位圓反映到對數(shù)坐標圖上是

0dB

線。在

G(jω)H(jω)

平面上負實軸反映到對數(shù)坐標圖上是–1800

線。因此，G(jω)H(jω)

線不包圍（-1，j0）點轉換到對數(shù)坐標上是：在L(ω)

>

0dB

的頻段內，相頻特性曲線不穿越–1800

線。因此，Nyquist判據(jù)用在對數(shù)頻率特性上表達為：一個反饋控制系統(tǒng)，其閉環(huán)特征正實部根的個數(shù)Z，可以根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)右半s平面極點個數(shù)P和開環(huán)對數(shù)幅頻特性為正值的所有頻段內，對數(shù)相頻曲線與-1800線的正負穿越之差N=N+-N-

確定，即Z=P-2N，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是Z=0(N=p/2)幅相曲線、對數(shù)頻率特性曲線N+，N-

請看下例：由幅相圖上看，幅相曲線包圍（-1，j0）點的圈數(shù)為0，此結論也可以根據(jù)

ω

增加時的幅相曲線穿越負實軸來確定，將由下往上穿越稱為負穿越（如

C點），而將由上往下稱為正穿越（如

B

點），A點不必考慮，

僅考慮負實軸上（-∞，-1）部分（即0dB

以上部分）。C-1-+BA-+CBACBA把ω增加時,相角φ(ω)減少的稱負穿越，把ω增加時,相角φ(ω)增加的稱正穿越。同樣地，當G(s)H(s)包含積分環(huán)節(jié)時，在對數(shù)相頻曲線上ω

為

0+

的地方，應補畫一條從相角

0

度到

G(j0+)H(j0+)的虛線，將虛線的穿越也算入穿越的統(tǒng)計內。-1-+BA-+CBACBA例：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試用對數(shù)頻率判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。-40dB/dec-60dB/dec1/T解：系統(tǒng)伯德圖如右，由于p=0，故z

=

0

-

2(-1)

=2

所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，且可以進一步指明，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程右半

s

平面根的個數(shù)z

=

2

G(s)H(s)有兩個積分環(huán)節(jié)，相頻特性從-1800開始，但需從00線補畫一虛線在ω

=

0+

處，故

N=N+-

N-=

-1例：幅相曲線與對數(shù)頻率特性曲線穩(wěn)定判據(jù)比較5.4

穩(wěn)定裕度工程上要求系統(tǒng)穩(wěn)定，即要求最小相位系統(tǒng)的幅相圖曲線不包括（-1，j0）點，若能保證不但不包括（-1，j0）點，而且離（-1，j0）點有一定距離，則系統(tǒng)在受到環(huán)境溫度、元件參數(shù)變化所影響后，幅相曲線也不會包圍（-1，j0）點，則稱系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定裕量。穩(wěn)定裕度（量）:相角裕度（量）和幅值裕度（量）相角裕度是指在幅值等于1的頻率上，使系統(tǒng)達到穩(wěn)定邊界所富余的相角遲后量：γ

=

1800

+

φ(ωc)

ωc—

G(jω)H(jω)

曲線與單位圓

交點處的頻率（幅值穿越頻率

、截止頻率。

）-1γc

幅值裕度指G(jω)H(jω)相角等于–1800時（G(jω)H(jω)與負實軸交點處幅值G(jωg)H(jωg)的倒數(shù)：

ωg—G(jω)H(jω)

曲線與負實軸交點處的頻率（相角穿越頻率）-11/hg相角裕度表示使系統(tǒng)到達穩(wěn)定邊界所允許增加的開環(huán)傳遞函數(shù)的相位滯后。γ=1800+φ(ωc)幅值裕度表示使系統(tǒng)到達穩(wěn)定邊界所允許增大的開環(huán)傳遞函數(shù)的放大倍數(shù)。

0ω

ωg

ωc

j

-1

G(jωc)H(jωc)G(jωg)H(jωg)0

h(dB)

(o)(dB)

-180

ωg

ωc

ω

系統(tǒng)穩(wěn)定，則h>1、>0。通常把對數(shù)頻率特性分為低頻區(qū)、中頻區(qū)和高頻區(qū)-20dB/dec-40dB/dec1-60dB/dec-20dB/dec2c34低頻區(qū)高頻區(qū)中頻區(qū)0-40dB/dec5.5對數(shù)頻率特性和系統(tǒng)性能的關系1、低頻區(qū)：一般指第一個轉折頻率之前的部分系統(tǒng)低頻區(qū)的特性決定系統(tǒng)的靜態(tài)性能的好壞；低頻特性漸進線決定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差；低頻特性漸進線是0dB/dec

的系統(tǒng)是0型系統(tǒng)；低頻特性漸進線是-20vdB/dec的系統(tǒng)是v型系統(tǒng)；-20dB/dec-40dB/dec1-60dB/dec-20dB/dec2c34低頻區(qū)高頻區(qū)中頻區(qū)0-40dB/dec1型系統(tǒng)低頻漸進線的斜率是-20dB/dec，作低頻漸進線的延長線與0dB

線相交，交點的頻率數(shù)值就是系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)KV，如下圖：確定K值有兩種方法，均基于積分環(huán)節(jié)的如下公式：，1、取＝1時的縱坐標分貝值，得2、設低頻漸進線（或其延長線）于0dB

交于k，由，得-20dB/dec=1k20lgK-20dB/dec20lgK=1kK>1K<1同理，對2型系統(tǒng)，有，得因此，0型系統(tǒng)的Kp可以通過低頻特性漸進線之高度來確定；1型系統(tǒng)的Kv=ωk

；2型系統(tǒng)的Ka=

ωk2

。例：根據(jù)Bode圖確定傳遞函數(shù)，并求穿越頻率c。解：該開環(huán)傳遞函數(shù)的形式為：-20dB/dec-40dB/dec102010-202-40dB/decc顯然這是2型系統(tǒng)