課程上課課件第2章剛體力學(xué)

第第2章剛體力學(xué)(Therigidbodymechanics§2.1§2.2§2.3§2.4平動

轉(zhuǎn)動Mi

d2

\

(Therotationofarigidbodyaboutafixed(Thetranslationandrotationofarigid:D剛體的基本運動(平動轉(zhuǎn)動 D Dr=r

limrA=lim A\

0=

wrwrv=v=2uu例1:一大型回轉(zhuǎn)類“觀覽圓盤”如圖所示。圓盤的半徑R=25m，供人乘坐的吊箱高度L=2m。若大圓盤繞水平軸勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速為0.1rev/min。求:吊箱底部A點的軌跡及Aw解:w=2π= =w 10·60 t=0時，角位置為xA=xB=Rcos(wt+q0xAA2+( +L)2=xAA =

=vAy

v2vv2vA

==

\aA =Rw2=2.7·10-(Theangularvelocityandangularz角位置q 角位移Dq

w wDqO

q角加速度

dwd2q =dt =dtvv2an=

w2-ww2-w2=0

當(dāng)b +v=

at=

00 求角加速度b和飛輪從制動開始到靜止所轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)N；求制動開始后t=25s時飛輪的角速度w；設(shè)飛輪的半徑r=1m，求在t=25s解:(1)設(shè)初角速度為w0,方向如 wv在t=50s時刻 w=0v b=w-w0t

=-

=-π[rad/s2 b =w0t=1250π[rad]

2

=50π·50

1·π·502w0w0,OrvP N=Δq=1250π t=25s +bt=50π-π·25=25π[rad/sw0Orvaw0Orvabvv=w·v=v=wrsinj=wrsin90wr25π[m/s] t =br=-π[m/s2ta =w2r=6.16·103[m/s2an+atan+at(6.16·103)2+3.142?6.16·103[m/s2

a的方向幾乎和 (Theangularmomentofarigidbodyaboutafixed-axisrotationzwrizwriLiziODmiRi = 2 =

+ Lz=Liz=(Δmiri2 Lh

i

=(-Δmii

Lh

dLh Lh Lz=Liz=

r2 w=wrr2 (Themomentofinertiaofarigidbodyaboutafixed-axisrotation J=r

m?

r?m?1

J=mr2+mr2

mr

rJ=J=r

r

w l[kg/m]dm

J=rs[kg/m2]面密度

J=rr[kg/m3]體密度

VJ=r2V

J

JA=Jc+md取c為原點r2x2y2JA=Jc+md

A JA=r￠dm= + -2xd)dm= +md c Jz=Jx+Jz=Jx+Jx xJ

r2dm=

(x

+y2)dm

+J

L= p= L—p，J—m，w—Lx

J J J

Ly=J

J

JyzwyLJ LJ z

J

wzz zw繞z軸轉(zhuǎn)動時Lx=Jxzwz =Jyzwz Lz=Jzzwz求1)定軸在一端,2)解:積分四大步 化整為零,寫出微分尋找對稱,選擇坐 引入密度,統(tǒng)一變量

m

dJ=x2dm

x2ldx=x2dx1)J=

lx2dml

x2dx

1ml3 l cJc=J-c

= 例4:質(zhì)量為m,長為l的均勻細桿,中點有一垂直于桿求:桿對O解:質(zhì)元dm對O軸的角動量 dm dm vdL=r2

方向:2dL=wxdm=wx l

r=L=ml

2x2-

=

方向 解:取面積元dS,其質(zhì)元的質(zhì)量為 dm=

dJ=r2dm=r J=

Rr3dr

1m2問:1)圓盤繞y軸的轉(zhuǎn)動慣量?(J

=1mR2+mR2)求繞OO軸的轉(zhuǎn)動慣量?(J1m2

-m1R2圓盤對沿直徑轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量?J1mR24§§2.2(Thelawofarigidbodyaboutafixed-axisrotationandit's(Thelawofarigidbodyaboutafixed-axisrotation(moment // //

=

r·=

+d·r r

r·F^+r·F//+d·FPaOPad dRO

F對轉(zhuǎn)軸z的力矩為對O點=r=r·^ M=r·= r·F^t+r·F^n

M=r·F^t=rF^sina

M=M1+M2 M=0·N+0·mg+1·1+R2M=0+0-RF1+

NR?

M=

，在沿轉(zhuǎn)軸z方向M

=

=J

M=

M:b F=

M—F，J—m，β—:剛體所受的對某一固定轉(zhuǎn)軸的合外力矩等于定律的瞬時性, A wRB夾角為θ，轉(zhuǎn)軸被AB兩點固定，AO=BO=d，A wRB Lh

=(-Δmi

L=-l/2MdRR2sinqcosq-

MdRR2sinqcos(p-

-L=-1Ml2wsinq =

=·

=

w

fA=-

fAfB

Mh=2f=1

(Theapplicationofthelawaboutafixed-axis第一類由角量運動求力矩。(微分法第二類:由力矩及初始條件,求運動。(微分方程)選定轉(zhuǎn)動的正方向, 定在盤上,另一端掛重物m繩與輪無相對滑動,繩不可伸長,輪半徑R=0.2m,m=1kg,mt=3s,v0=0,h=1.5m。求:輪對OJ=??OmtR繩h解:輪與m為聯(lián)結(jié)體,?OmtR繩hT'=-NGT NGT x

對m

mg-T=

h=1at2gt

2聯(lián)立解得:J

-1)mR=1.14[kgm2平動物體, 體法,寫 轉(zhuǎn)動物體,用 體法,分析力矩,寫出轉(zhuǎn)動方程由角量和線量關(guān)系,將平動和轉(zhuǎn)動聯(lián)系起來v=rw,at=rb例7:組合輪由二個勻質(zhì)圓盤固結(jié)而成,己知mA=6kgrA=0.1m,mB=4kg,rB=0.05m,二盤邊緣繞有細繩,繩子下端掛二個物體m1=m2=2kg,二個物體離地面高度均h=2m,求1)二物體的加速度a1,a2;2)下降物體著地時間3)A m1:m1g-T1=-m1a ?Bm2:m2g-T2=m2a2 a1= a2=rAb解得:a1=0.82[m/s2],

h

2xT1=m1(g+a1)=21.2[N],例8:如圖裝置(m1=5kg)可在斜面上滑動(m=0.25)斜面傾角q=30o定滑輪(m=20kg,R=0.2m),重物m2=10kg求m2加速度繩中張力解:m:Tf-mgsinqm

T m2:m2g-T2=m2a2 2m:TR-TR= 2 J=mR22

a= m2f=mm1gcosq2a

-mm1cosq-m1sinq=2.52[m/s2m1+m2+m/T2=m2(g-a)=

O dm質(zhì)

dm=mlM dM=1mgl2

2Jb=2J

3gJ=3

b=

=w

w02例10:勻質(zhì)圓盤(m,R),w0不計軸承處的摩擦,w02受空氣阻力矩?2)圓盤停止前轉(zhuǎn)數(shù)解:取剛體m為對象 為正方w設(shè)t時刻圓盤角速度為w受的空氣力矩dM=r·(2fdS)\dM=-2rf dS=-2rfrdqdr\M=dM=-2rkvrdq

M=-

2πRdqr3dr=-πkR4wR 根據(jù)轉(zhuǎn)動定律M-πkR4w=1mR2d d0dw=-0

2πkR2

wdt=

-2πkR2dqq qq= 2πkR2 N=q=mw2π 4π2kR2§§2.3*2.3.3M=M= dL=d(Jw)=

tt2=L 2=2-1剛體的角動量定理:剛體所受合外力矩的沖量矩等于M0

轉(zhuǎn)動慣量J不變,角動量守恒時,剛?cè)?導(dǎo)航定向回轉(zhuǎn)儀零時,角動量也守恒。Jt=

例11:一均質(zhì)棒,L,質(zhì)量為M, 在距軸為y處水平射入 Nx棒 v 細棒共同的角速度wv0 mv0y=JJ

=1ML2+ \w

3ML+例y=2L( 心)，Nx=0,則水平方向動量守3NNx 3

=？=

mw

(wL/2)M(質(zhì)心

mv01ML2+my23例12:轉(zhuǎn)臺繞過質(zhì)心的鉛直軸轉(zhuǎn)動,初角速度為w0,轉(zhuǎn)臺J=5·10-5kgm2,今有砂粒以每秒1g速率垂直落在轉(zhuǎn)臺上,r=0.1m,求:砂粒落w在轉(zhuǎn)臺上使轉(zhuǎn)臺角速度減為w0/2所需時間 w解:取轉(zhuǎn)臺和落下的砂粒為系 M0Lt時刻落下的砂粒質(zhì)量 m=0.001tJw0=(J+

2)w2 5·10-

5s=0.001r

1·10-3·0.12*2.3.3進動(Precession)(又叫旋進Or wOr

O

L+

=MM

dL=

^L(俯視圖Ldt時間內(nèi)軸OOdqL

wp=dt=

為什么筒內(nèi)壁上刻有螺旋

w §§2.4(Theworkandenergyofarigidbodyaboutafixed-axis(Theworkofmoment DA=

Fcosf=FrsinaDq F =

r

fa表示稱為AAq1

P=DA=Mdq= (Themechanicalenergyofarigidbodyaboutafixed-axisi

vi=wri

=1Dmv

= i=12

=(Δmiri2 k2 k2Ep=Dmighi=gDmi Dmi=mg m

??c= Ep=Ep=mghc(Theoremofkineticenergyofarigidbodyaboutafixed-axis

A=Ek2-A= dq =1Jwq2

dq

1Jw2-

Jw1 1

A非保內(nèi)

=k

+Ep

-k

+Ep1Ek

12

+1Jw22

AA非保內(nèi) Ek+Ep=例13:滑輪(rM)m，開始時靜止，求h時重物的速度vO解:取m、M和地球為系統(tǒng)。Om的重力勢能轉(zhuǎn)化為滑輪和mmgh=1mv2+1JwJ=2

M+vM+v=例14:一勻質(zhì)細棒長為l,質(zhì)量為m,可繞通過其端點O的為m,它與地面的摩擦系數(shù)為m,相撞后,物體沿地面滑行一距離s而停止;求:相撞后棒的質(zhì)心C上升的最大高O質(zhì)心所在處取為勢能零點用w表示棒這時的角速度,則

?CCC mgl=

2

s體碰撞后的速度,則(1ml2)w=mvl+(1ml2)w 式中w'為棒在碰撞后的角速度,它可正可負。w'取正值,表示碰后棒向左擺;反之,表示向右擺。直線運動,加速度由 -mmg=m 得0=v +2asv =2mgs3gl-3gl-2mgs3gl2mgs -3gl2mgs3gl2mgs -3gl2mgs??hw'smgh=1(1mlC C6msl\h=l+3ms6msl2h可以大于l/2(1ml3

3l)w=mvl+(3l3

ml

1mgl?1mv2+1(1ml2)w v?lw\h￡1 ms￡38例15勻質(zhì)圓盤(mR)在水平桌面上可繞過圓心并與桌面垂直的軸轉(zhuǎn)動,它與桌面之間摩擦系數(shù)為m;求：1)從w0到停止轉(zhuǎn)了多少圈 解法1: w dm=mrdq df=m πR2

dM

r·df\dM=-r

M=dM=-rmg

取w0=-m

R22dqrdr=R22

mgR根據(jù)動能定理: －

A

13

1Jw 3Rw

Δ

\

=

2 16 mg解法2:根據(jù)轉(zhuǎn)動定律-2mmgR=1mR2

M= 3R 3Rww-w0

2bΔq解得:Δq

0= 2)由w=w +

t=w

- 4mg例16勻質(zhì)細桿(m1L)一端掛在墻上O處一端固定有一物體(m2),求:1)轉(zhuǎn)動慣量;2)從圖中水平位置無初速落b;3)落到鉛直位置時的角加速度、角速度。解1)以m1、m2為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量

?J=1mL2+?3 3由

=

mgL+mgL= b=(6m2+3m1)g(6m2+2m1

取w(6m2+3m1)g(3m2+m1(6m2+3m1)g(3m2+m1mgL+mgL=1Jw2+mg

\w 端與彈簧相連,另一端與質(zhì)量為m的物體相連,彈簧另一端固定在地面上,輕繩與盤無滑動,系統(tǒng)處于靜止狀態(tài),此時靠近圓盤邊緣質(zhì)量為m0的小物塊從h高度處自由落下,與m碰撞后粘在一起。求:m下降的最大位移s。解:m0的質(zhì)量很小。 下降。m0與m碰撞前的速度v0 mgh=mv v0=

mvR=

+mRv+

=1

M mv2

v

+1kx2+m+s=1x+

x0為m下降前彈簧的伸長量,且mg滑輪與彈簧之間,滑輪與物體之間的內(nèi)力做功多少? 對小物塊m0與m的碰撞過程,對M、m、m0例18:能繞OZ軸旋轉(zhuǎn)的靜止勻質(zhì)圓盤(m1,R),盤底面與水平接觸面之間的摩擦系數(shù)為m,一個質(zhì)量為m2以速度v射入盤邊緣并嵌在盤邊求: 盤共轉(zhuǎn)多少角度? L守mvR=(mR2+1mR2 w (2m2+m1)Rt2tt1

Mdt=L2-L1f1Mf1MwM1=dM1=-=-

r =-2mmg M2=－f2R=－mm2-(2mmgR+mm

=0-(mR2+1mR2

\Dt

+

22

--(3

gR+

gR)Dq=0

1(mR222

+1mR2)w1213m2v (2