玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì)課件

第九章

玻色統(tǒng)計(jì)和費(fèi)米統(tǒng)計(jì)§9.1熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式§9.2弱簡并玻色氣體和費(fèi)米氣體§9.3光子氣體§9.4玻色----愛因斯坦凝聚§9.5金屬中的自由電子氣體§9.1熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式

玻色分布費(fèi)米分布9.1.1玻色系統(tǒng)把,

和y看作由實(shí)驗(yàn)確定的參量.1

、巨配分函數(shù)取對(duì)數(shù)為對(duì)取偏導(dǎo)為2、系統(tǒng)的平均總粒子數(shù)3、系統(tǒng)的內(nèi)能4、廣義作用力重要特例（證明略）（證明略）5、系統(tǒng)的熵統(tǒng)計(jì)表達(dá)式由開系方程1/T

是dS的積分因子配分函數(shù)＝

（，

，

y）的全微分為根據(jù)前面求出的已知量，可求得

(拉氏乘法原理，加上一個(gè)為0的項(xiàng))上式指出是的積分因子。

令積分得系統(tǒng)的熵統(tǒng)計(jì)表達(dá)式玻耳茲曼關(guān)系

熵與微觀狀態(tài)數(shù)的關(guān)系6、巨熱力學(xué)化學(xué)勢(shì)巨熱力勢(shì)J與巨配分函數(shù)的關(guān)系：9.1.2費(fèi)米系統(tǒng)巨配分函數(shù)其對(duì)數(shù)為平均總粒子數(shù)內(nèi)能廣義作用力重要特例熵玻耳茲曼關(guān)系巨熱力勢(shì)§

9.2弱簡并玻色氣體和費(fèi)米氣體

1、滿足經(jīng)典極限條件的氣體稱為非簡并性氣體

2、需要用玻色分布或費(fèi)米分布討論的氣體稱為簡并性氣體其中又分為完全簡并氣體和弱簡并氣體．

１、分子的能量9.2.2弱簡并氣體（不考慮分子內(nèi)部結(jié)構(gòu)，只有平動(dòng)自由度）9.2.1分類

在體積V內(nèi)，在到+d的能量范圍內(nèi)，分子可能的微觀狀態(tài)數(shù)

其中：g由粒子可能具有自旋而引入的簡并度．

３、系統(tǒng)的總分子數(shù)代入

４、系統(tǒng)的內(nèi)能代入下面要確定式子中的拉氏乘子．2、微觀狀態(tài)數(shù)

系統(tǒng)的內(nèi)能系統(tǒng)的總分子數(shù)引入變量x=

，且=1/kT，dx=d

，

兩式被積函數(shù)的分母表示為代入保留展開的第一項(xiàng)相當(dāng)于將費(fèi)米分布近似為玻耳茲曼分布．現(xiàn)在保留兩項(xiàng)，相當(dāng)于弱簡并的情形。

系統(tǒng)的內(nèi)能系統(tǒng)的總分子數(shù)兩式相除玻耳茲曼分布的內(nèi)能微觀粒子全同性原理引起的粒子統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)所導(dǎo)致的附加內(nèi)能在弱簡并情形下附加內(nèi)能的數(shù)值是小的。費(fèi)米氣體的附加內(nèi)能為正而玻色氣體的附加內(nèi)能為負(fù)。指粒子的統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)使費(fèi)米粒子間出現(xiàn)等效的排斥作用，玻色粒子間則出現(xiàn)等效的吸引作用。

在第四章我們根據(jù)熱力學(xué)理論論證過－－平衡輻射的內(nèi)能密度和內(nèi)能密度的頻率分布只與溫度有關(guān)，并證明了內(nèi)能密度與絕對(duì)溫度的四次方成正比。在第八章中又根據(jù)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的能量均分定理討論過這一問題，所得內(nèi)能的頻率分布在低頻范圍與實(shí)驗(yàn)符合，在高頻范圍與實(shí)驗(yàn)不符合。更為嚴(yán)重的是，根據(jù)能量均分定理有限溫度下平衡輻射的內(nèi)能和定容熱容量是發(fā)散的，與實(shí)際不符。

本節(jié)根據(jù)量子統(tǒng)計(jì)理論，從粒子觀點(diǎn)研究平衡輻射問題?！?.3光子氣體根據(jù)粒子觀點(diǎn)，可以把空窖的輻射場看作光子氣體。

模型：

光子的能量、動(dòng)量關(guān)系：具有一定的波矢k和圓頻率的單色平面波與具有一系的光子相應(yīng)，動(dòng)量p與波矢k，能量與圓頻率之間遵從德布羅意關(guān)系9.3.1統(tǒng)計(jì)分布光子是玻色子，達(dá)到平衡后遵從玻色分布。光子氣體的統(tǒng)計(jì)分布由于窖壁不斷發(fā)射和吸收光子，光子氣體中光子數(shù)是不守恒的。在導(dǎo)出玻色分布時(shí)只存在E是常數(shù)的條件而不存在N是常數(shù)的條件，因而只應(yīng)引進(jìn)一個(gè)拉氏乘子

,

令＝０。平衡狀態(tài)下光子氣體的化學(xué)勢(shì)為零。

體積為V的空窖內(nèi),在p到p+dp的動(dòng)量范圍內(nèi)，自由粒子可能的量子態(tài)數(shù)為光子自旋有兩個(gè)投影.

體積為V的空窖內(nèi),p到p+dp的動(dòng)量范圍內(nèi)，光子的量子態(tài)數(shù)(光子自旋有兩個(gè)投影)

體積為V的空窖內(nèi)，在到+d的圓頻率范圍內(nèi)，光子的量子態(tài)數(shù)每個(gè)量子態(tài)上的平均光子數(shù)9.3.2輻射場的內(nèi)能普朗克公式上式所給出的輻射場內(nèi)能按頻率的分布與實(shí)驗(yàn)結(jié)果完全符合。1、低頻2、高頻維恩公式瑞利－金斯公式10-14Hz6543210MT=2000K實(shí)驗(yàn)曲線和普朗克公式維恩公式瑞利—金斯公式普朗克公式所給出的輻射場內(nèi)能按頻率的分布與實(shí)驗(yàn)結(jié)果完全符合。

1896年得到的公式，表明U隨的增加而迅速趨近于0．溫度為T時(shí)的平衡輻射中，高頻光子幾乎不存在．此時(shí)窖壁發(fā)射高頻光子的概率是極小的。將普朗克公式積分，得到空窖輻射內(nèi)能引入變量x=?／kT(kT/?)dx=d

表明：平衡輻射的內(nèi)能密度與絕對(duì)溫度的四次方成正比．斯特藩－玻耳茲曼公式空窖輻射內(nèi)能根據(jù)普朗克公式的變式空窖輻射內(nèi)能密度隨的分布有一個(gè)極大值m

．m可以由決定出來.其解為上式可化為

m

與溫度T成正比．這個(gè)結(jié)論稱為維恩位移定律．9.3.3光子氣體的熱力學(xué)函數(shù)1、巨配分函數(shù)取對(duì)數(shù)為令＝０(光子自旋有兩個(gè)投影)

體積為V的空窖內(nèi)，在到+d的圓頻率范圍內(nèi)，光子的量子態(tài)數(shù)引入變量x=?／kT

(kT/?)dx=d

０2、內(nèi)能3、廣義作用力(光子氣體的壓強(qiáng))比較得4、熵令＝０光子氣體的熵隨T→0而趨于0．符合熱力學(xué)第三定律的要求．5、輻射通量密度§9.4玻色----愛因斯坦凝聚本節(jié)討論簡并理想玻色氣體在動(dòng)量空間的凝聚問題。

考慮由Ｎ個(gè)全同，近獨(dú)立的玻色子組成的系統(tǒng)，溫度為T，體積為V．設(shè)粒子自旋為零，根據(jù)玻色分布，處在能級(jí)l

的粒子數(shù)為從上式可看出，這要求對(duì)所有能級(jí)l

均有

以0

表粒子的最低能級(jí)，這個(gè)要求也可以表達(dá)為

顯然，處在任一個(gè)能級(jí)的粒子都不能取負(fù)值。

說明：理想玻色氣體的化學(xué)勢(shì)必須低于粒子最低能級(jí)的能量。如果取最低能級(jí)為能量的零點(diǎn)即0

＝０，則上式可以表為化學(xué)勢(shì)由公式

確定為溫度T及粒子數(shù)密度n=N/V的函數(shù)。在粒子數(shù)密度n給定的情形下，溫度越低由上式確定的值必然越高。如果將上式的求和用積分代替，可將之表達(dá)為其中用了態(tài)密度的公式．適用于熱力學(xué)極限或能級(jí)間距遠(yuǎn)小于kT的情況．臨界溫度TC由下式定出利用積分因此對(duì)給定的粒子數(shù)密度n，臨界溫度TC為化學(xué)勢(shì)既隨溫度的降低而升高，當(dāng)溫度降到某一臨界溫度TC時(shí)，將趨于-0。這時(shí)趨于１。溫度低于時(shí)會(huì)出現(xiàn)什么現(xiàn)象呢？溫度越低時(shí)，化學(xué)式越高，但在任何溫度下必是負(fù)的．化學(xué)勢(shì)既隨溫度的降低而升高，T<TC時(shí)，仍趨于-0。改寫為第一項(xiàng)：n0(T)是溫度為T時(shí)處在能級(jí)＝０的粒子數(shù)密度，第二項(xiàng)：處在激發(fā)能級(jí)＞０的粒子數(shù)密度n＞０

，將積分代替求和時(shí)所產(chǎn)生的誤差不可以忽略時(shí)，計(jì)算第二項(xiàng)：利用積分處在激發(fā)能級(jí)＞０的粒子數(shù)密度溫度為T時(shí)處在能級(jí)＝0的粒子數(shù)密度

在TC以下，n0與n具有相同的量級(jí)，n0隨溫度的變化如圖所示．表明：在T<TC時(shí)宏觀量級(jí)的粒子在能級(jí)＝0凝聚．1.01.00.80.80.60.60.40.40.20.2n0/nT/TC0在絕對(duì)零度下，粒子盡可能占據(jù)能量最低的狀態(tài)。對(duì)于玻色粒子，一個(gè)個(gè)體量子態(tài)所能容納的粒子數(shù)目不受限制。絕對(duì)零度下，玻色粒子將全部處在＝0的最低能級(jí)。在T<TC時(shí)宏觀量級(jí)的粒子在能級(jí)＝0凝聚。這一現(xiàn)象稱為玻色－愛因斯坦凝聚，簡稱玻色凝聚。

TC稱為凝聚溫度。凝聚在0的粒子集合稱為玻色凝聚體。凝聚體不但能量為零；動(dòng)量也為零，對(duì)壓強(qiáng)沒有貢獻(xiàn)。由于凝聚體的的微觀狀態(tài)完全確定，熵也為零。Ketterle在鈉原子氣中實(shí)現(xiàn)的BEC玻色-愛因斯坦凝聚仿真在T<TC時(shí)，理想玻色氣體的內(nèi)能是處在能級(jí)＞0的粒子能量的統(tǒng)計(jì)平均值利用積分定容熱容量為表明：在T<TＣ時(shí)，理想玻色氣體的定容熱容量與T3/2成正比。

T=TC時(shí)，理想玻色氣體的定容熱容量達(dá)到最大值1.925Nk.

高溫時(shí)，理想玻色氣體的定容熱容量應(yīng)趨于經(jīng)典值3/2Nk.2.02.0CＶ/NkT/TC1.01.03/2

在T=TC時(shí)的尖峰處，理想玻色氣體的定容熱容量連續(xù)。但理想玻色氣體的定容熱容量對(duì)T的偏導(dǎo)數(shù)存在突變。愛因斯坦的理論預(yù)言以后，如何在實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)并觀察到玻色－愛因斯坦凝聚現(xiàn)象，成為人們關(guān)注的問題．2213446810T/KCV/(J?g-1?K-1)將4He的數(shù)據(jù)m=6.65×10-27kg，Vm=27.6×10-6m3?mol-1代入到臨界溫度的表達(dá)式算得TC=3.13K，與T相接近．

4He是玻色子，大氣壓下4He的沸點(diǎn)是4.2K，液4He在T=2.17K發(fā)生一個(gè)相變，稱為相變。溫度高于T時(shí)，液4He是正常液體，稱為HeI；溫度低于T時(shí)，液4He具有超流動(dòng)性，稱為液HeII．發(fā)現(xiàn)的超流性質(zhì)后，倫敦在1938年提出4He的相變可能是一種玻色凝聚．超流與凝聚在＝０的玻色凝聚體有關(guān)．當(dāng)然液4He不是理想玻色系統(tǒng)，其原子之間存在很強(qiáng)的相互作用，使對(duì)4He中玻色凝聚的理論分析及其與實(shí)驗(yàn)的比較變得復(fù)雜化．改寫為滿足上式時(shí)，原子的熱波長與平均間距具有相同的量級(jí)．量子統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)起著決定性的作用．出現(xiàn)凝聚體條件可以通過減低溫度和增加氣體粒子數(shù)密度實(shí)現(xiàn)玻色凝聚．將式子§9.5金屬中的自由電子氣體9.5.1簡化模型

假設(shè)在晶格之中,晶格對(duì)電子沒有吸引力,即勢(shì)場中的電勢(shì)為0.在引力場中運(yùn)動(dòng)的電子之間,斥力為0.

這樣的價(jià)電子可以看作處在一個(gè)恒定的勢(shì)阱中的自由電子.形成自由電子氣體.自由電子模型容易解釋金屬的導(dǎo)電性和導(dǎo)熱性.原子結(jié)合成金屬后,價(jià)電子脫離原子在整個(gè)金屬中運(yùn)動(dòng),失去價(jià)電子后的原子變?yōu)殡x子.9.5.2統(tǒng)計(jì)理論1.電子自旋為1/2.是費(fèi)米子.2.遵從量子統(tǒng)計(jì)的費(fèi)米分布3.溫度為T時(shí),處在能量為的一個(gè)量子態(tài)上的平均粒子數(shù):4.考慮到電子自旋在其動(dòng)量的方向的投影有兩個(gè)可能值，在體積V內(nèi)，在到＋d的能量范圍內(nèi)，電子的量子態(tài)數(shù)為5.在體積V內(nèi)，在到＋d的能量范圍內(nèi)，平均電子數(shù)為6.在給定電子數(shù)N，溫度T和體積V時(shí)，則化學(xué)勢(shì)

由下式確定可知,是溫度T和電子密度N/V的函數(shù).以

(0)表示0K時(shí)電子氣體的化學(xué)勢(shì)。9.5.3T=0K時(shí)電子的基態(tài)分布T=0K時(shí),處在能量為的一個(gè)量子態(tài)上的平均粒子數(shù):

(0)時(shí)

(0)時(shí)1.用圖形表示為01f

(0)

2.意義：在T=0K時(shí)，在

(0)的每一量子態(tài)上平均電子數(shù)為1，在

(0)的每一量子態(tài)上平均電子數(shù)為零。此分布可以這樣理解：在0K時(shí)電子將盡可能占據(jù)能量最低的狀態(tài)，但泡利不相容原理限制每一量子態(tài)最多只能容納一個(gè)電子，因此電子從

=0的狀態(tài)起依次填充至(0)止。

3.

(0)是0K時(shí)電子的最大能量，由下式確定：

０１01f

(0)積分4.p(0)是0K時(shí)電子的最大動(dòng)量稱為費(fèi)米動(dòng)量給定溫度T和電子密度N/V.就可求出(0)．例如：銅的N/V＝8.5×1028m-3,得(0)=1.1×10-18J5.0K時(shí)，電子氣體的內(nèi)能.也就是總內(nèi)能各個(gè)能級(jí)6.

0K時(shí)，電子氣體的平均能量7.

定義費(fèi)米溫度例如：銅的TF＝7.8×104K.

8.一般情況下，金屬中自由電子氣體的化學(xué)勢(shì)與(0)的數(shù)值很接近．化學(xué)勢(shì)也常稱為費(fèi)米能量或費(fèi)米能級(jí)．以F表示．一般情形下，>>kT．金屬中自由電子氣體是高度簡并的．9.5.4

T＞0K時(shí)電子的分布溫度為T時(shí),處在能量為的一個(gè)量子態(tài)上的平均粒子數(shù):

時(shí)

時(shí)1.用圖形表示為

＝時(shí)每一量子態(tài)上平均電子數(shù)大于1/2每一量子態(tài)上平均電子數(shù)等于1/2每一量子態(tài)上平均電子數(shù)小于1/2函數(shù)按指數(shù)規(guī)律隨變化，實(shí)際上只在附近數(shù)量級(jí)為kT的范圍內(nèi)，電子的分布與T=0K時(shí)的分布有差異．

01f

1/2在0K時(shí)，電子占據(jù)了從0到(0)的每一個(gè)量子態(tài)．溫度升高時(shí)，電子有可能躍遷到能量較高的未被占據(jù)的狀態(tài)去．但處在低能態(tài)的電子要躍遷到能量較高的未被占據(jù)的狀態(tài)去，必須吸取很大的能量，而這種可能性是很小的．

2.根據(jù)這一考慮可以粗略估計(jì)電子氣體的熱容量．在附近，數(shù)量級(jí)為kT的能量范圍內(nèi)的對(duì)熱容量有貢獻(xiàn)的有效電子數(shù)

01f

1/2只在附近數(shù)量