角動(dòng)量定理、天體運(yùn)動(dòng)

角動(dòng)量定理、天體運(yùn)動(dòng)第一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二慣性系S中的一個(gè)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中相對(duì)某參考點(diǎn)O的徑矢r會(huì)相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)在dt時(shí)間質(zhì)點(diǎn)位移為vdt，轉(zhuǎn)過角度dθr便會(huì)掃過面積dS面積速度O2第二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二質(zhì)點(diǎn)在

S

系中相對(duì)參考點(diǎn)O的角動(dòng)量L角動(dòng)量隨時(shí)間的變化與什么有關(guān)呢？其中3第三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二質(zhì)點(diǎn)所受力相對(duì)參考點(diǎn)

O

的力矩質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)所受力相對(duì)某參考點(diǎn)的力矩等于質(zhì)點(diǎn)相對(duì)該參考點(diǎn)角動(dòng)量的變化率。處理轉(zhuǎn)動(dòng)的所有公式都是從這個(gè)公式導(dǎo)出4第四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二h力矩力臂

h：點(diǎn)O到力F作用線的距離。在直角坐標(biāo)系中，M

可用行列式表述成它的三個(gè)分量：5第五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二質(zhì)點(diǎn)所受各分力Fi相對(duì)同一參考點(diǎn)的力矩之和，

等于合力F相對(duì)該參考點(diǎn)的力矩。兩質(zhì)點(diǎn)之間一對(duì)作用力與反作用力相對(duì)于同一參考點(diǎn)力矩之和必為零。126第六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二若過程中

M

恒為零，則過程中

L

為守恒量若過程中

Mz恒為零，則過程中

Lz為守恒量有心力：質(zhì)點(diǎn)所受力F若始終指向一個(gè)固定點(diǎn)O，O為力心。7第七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二例1相對(duì)不同參考點(diǎn)A、B，計(jì)算重力矩和角動(dòng)量AB參考點(diǎn)A：重力矩角動(dòng)量參考點(diǎn)B：重力矩角動(dòng)量8第八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二例2勻速圓周運(yùn)動(dòng)O選擇圓心O為參考點(diǎn)力矩角動(dòng)量R⊙其它任何點(diǎn)則沒有這種情況角動(dòng)量守恒9第九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二例3地球繞太陽公轉(zhuǎn)選擇太陽為參考點(diǎn)萬有引力的力矩為零10第十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二例4圓錐擺如圖，擺線長l，小球質(zhì)量m，取懸掛點(diǎn)O為參考點(diǎn)，求擺球所受力矩和擺球角動(dòng)量。擺球受張力和重力張力對(duì)O點(diǎn)力矩為零擺球所受力矩⊙擺球角動(dòng)量方向如圖選另一參考點(diǎn)11第十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二例5⊙z導(dǎo)出單擺的擺動(dòng)方程力矩和角動(dòng)量都只有z軸分量采用小角度近似利用角動(dòng)量定理12第十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二例6OA小球繞O作圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示。（1）求B端所受豎直向下的外力T0（2）T0極緩慢增到2T0，求v（3）用功的定義式求拉力所作的功。B分析物理過程以O(shè)為參考點(diǎn)，力矩為零，角動(dòng)量守恒。T0極緩慢增大，徑向速度可略，中間過程近似為圓周運(yùn)動(dòng)。13第十三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二OAB解（1）（2）角動(dòng)量守恒圓周運(yùn)動(dòng)14第十四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二（3）拉動(dòng)過程中，小球作螺旋線運(yùn)動(dòng)它恰好等于小球的動(dòng)能增量15第十五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二1.2質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律在慣性系S中，質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量

L質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)所受外力相對(duì)同一參考點(diǎn)的力矩之和等于質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于該參考點(diǎn)角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率。16第十六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量守恒定律若過程中M外恒為零，則過程中L為守恒量。若過程中M外x（或M外y，M外z）恒為零，則過程中Lx（或Ly，或Lz）為守恒量。非慣性系中質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理17第十七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二例7llh質(zhì)量可略、長2l的蹺蹺板靜坐著兩少年，左重右輕，左端少年用腳蹬地，獲得順時(shí)針方向角速度ω0。求ω0至少多大時(shí)，右端少年可著地？O力矩系統(tǒng)角動(dòng)量18第十八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二角動(dòng)量定理積分此即機(jī)械能守恒19第十九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二例8水平大圓盤繞中心豎直軸以角速度ω旋轉(zhuǎn)，質(zhì)量m的小球從中心出發(fā)，沿阿基米德螺線運(yùn)動(dòng)，角動(dòng)量L守恒。試求小球所受真實(shí)力的橫向分量和徑向分量。阿基米德螺線O角動(dòng)量L守恒⊙ω20第二十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二圓盤系中小球所受合力合力的橫向分量合力的徑向分量角動(dòng)量

L

守恒，橫向力為零徑向力應(yīng)合成mar21第二十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二1.3外力矩重心對(duì)稱球的外引力分布中心外力矩是質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量變化的原因合力為零的外力矩質(zhì)點(diǎn)系所受外力的合力為零時(shí)，外力矩與參考點(diǎn)無關(guān)。O22第二十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二一對(duì)力偶大小相同、方向相反且不在同一直線上的兩個(gè)力力偶的力矩不依賴于參考點(diǎn)的選擇1223第二十三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二重心位于rG的幾何點(diǎn)稱為質(zhì)點(diǎn)系的重心質(zhì)量均勻分布，幾何結(jié)構(gòu)具有對(duì)稱性的物體，重心位于其幾何中心24第二十四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)重力的沖量和等于質(zhì)點(diǎn)系重力的沖量質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)重力作功之和等于質(zhì)點(diǎn)系重力作用于重心處所作的功重力勢(shì)能重力的力矩重心是質(zhì)點(diǎn)系重力分布中心貓的空中轉(zhuǎn)體25第二十五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二對(duì)稱球的外引力分布中心P球心是對(duì)稱球的外引力分布中心26第二十六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二例9

質(zhì)量M的均勻麥管放在光滑桌面上，一半在桌面外。質(zhì)量m的小蟲停在左端，而后爬到右端。隨即另一小蟲輕輕地落在該端，麥管并未傾倒，試求第二個(gè)小蟲的質(zhì)量。麥管長L，小蟲相對(duì)麥管速度u，麥管相對(duì)桌面左行速度v系統(tǒng)動(dòng)量守恒麥管移入桌面長度27第二十七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二分兩種情況討論：（1）麥管全部進(jìn)入桌面，第二個(gè)小蟲可取任何值。（2）麥管和二個(gè)小蟲相對(duì)桌邊的重力矩應(yīng)該滿足28第二十八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二§2對(duì)稱性與守恒律2.1對(duì)稱性29第二十九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二德國數(shù)學(xué)家魏爾（H.Weyl）對(duì)稱性：系統(tǒng)在某種變換下具有的不變性。例左右對(duì)稱，上下對(duì)稱，也稱鏡面對(duì)稱30第三十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二空間變換對(duì)稱性xOzy系統(tǒng)相對(duì)點(diǎn)、線、面的變換31第三十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二鏡面反演對(duì)稱性鏡面反演：對(duì)平面直角坐標(biāo)系，僅取x到-x（或y到-y，或z到-z）的變換。一個(gè)系統(tǒng)若在鏡面反演變換下保持不變，則稱這一系統(tǒng)具有鏡面反演對(duì)稱性。32第三十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二33第三十三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二空間平移對(duì)稱性系統(tǒng)在空間平移，即在變換下具有的不變性。34第三十四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性（軸對(duì)稱性）系統(tǒng)在繞著某直線軸作任意角度旋轉(zhuǎn)的變換下具有的不變性。35第三十五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二空間反演對(duì)稱性（點(diǎn)對(duì)稱性）系統(tǒng)在空間反演，即在變換下具有的不變性。36第三十六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性（球?qū)ΨQ性）系統(tǒng)在繞著某點(diǎn)作任意旋轉(zhuǎn)的變換下具有的不變性。RR電場(chǎng)強(qiáng)度半徑均勻帶電球體相對(duì)球心具有球?qū)ΨQ性，它的空間場(chǎng)強(qiáng)分布也具有此種對(duì)稱性。37第三十七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二時(shí)間變換對(duì)稱性一維的時(shí)間只能改變方向和平移，所以只有兩種變換：時(shí)間反演對(duì)稱性時(shí)間平移對(duì)稱性38第三十八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二時(shí)間反演對(duì)稱性時(shí)間反演即時(shí)間倒流O過去未來過去未來1239第三十九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二牛頓第二定律具有時(shí)間反演對(duì)稱性經(jīng)典力學(xué)中，與牛頓第二定律平行的是力的結(jié)構(gòu)性定律胡克定律、引力定律、庫侖定律具有時(shí)間反演對(duì)稱性阻尼性作用定律給出的空氣阻力、摩擦力等不具有時(shí)間反演對(duì)稱性時(shí)間倒流在真實(shí)世界是不可能發(fā)生的40第四十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二時(shí)間平移對(duì)稱性系統(tǒng)在時(shí)間平移，即在變換下具有的不變性。牛頓第二定律和力的結(jié)構(gòu)性定律都具有時(shí)間平移對(duì)稱性自然界中除了與時(shí)空變換有關(guān)的對(duì)稱性以外，還有其它的對(duì)稱性，物理學(xué)的后續(xù)課程中將會(huì)討論。41第四十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二§2.2

對(duì)稱性原理42第四十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二法國物理學(xué)家皮埃爾.居里（Pierre.Curie）在1894年指出對(duì)稱性原理因中若有某種對(duì)稱性，果中也有此種對(duì)稱性，因果間的這種對(duì)稱性是普遍存在的。43第四十三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二§2.3

對(duì)稱性與守恒律EmmyNoether(1882-1935)諾特最偉大的女?dāng)?shù)學(xué)家44第四十四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二諾特定理：論證了對(duì)稱性與守恒律之間存在的普遍聯(lián)系連續(xù)變換的對(duì)稱性都對(duì)應(yīng)一條守恒定律時(shí)間平移對(duì)稱性能量守恒定律空間轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性角動(dòng)量守恒定律空間平移對(duì)稱性動(dòng)量守恒定律45第四十五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二小結(jié)牛頓定律慣性系非慣性系質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系我們周圍的世界46第四十六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二§3天體運(yùn)動(dòng)太陽系中太陽是質(zhì)量最大的天體，行星中質(zhì)量最大的木星太陽近似處理成不動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，行星運(yùn)動(dòng)由太陽引力支配。衛(wèi)星距大行星很近，圍繞著行星的運(yùn)動(dòng)由行星引力支配。47第四十七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二§3.1

天體運(yùn)動(dòng)天體運(yùn)動(dòng)的開普勒三定律第一定律（軌道定律）：行星圍繞太陽的運(yùn)動(dòng)軌道為橢圓，

太陽在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。第二定律（面積定律）：行星與太陽的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積。第三定律（周期定律）：各行星橢圓軌道半長軸A的三次方與軌道運(yùn)動(dòng)周期T的二次方之比值為相同的常量，即48第四十八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二牛頓力學(xué)結(jié)合萬有引力定律推導(dǎo)天體運(yùn)動(dòng)的開普勒三定律極坐標(biāo)系角動(dòng)量守恒能量守恒49第四十九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二太陽質(zhì)量記為M，待考察的行星質(zhì)量記為m，某時(shí)刻M至m的徑矢r和m的速度v。建立極坐標(biāo)系在徑矢r和速度v確定的平面上，建立以M為原點(diǎn)的極坐標(biāo)系。50第五十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二利用角動(dòng)量L和能量E守恒首先可得到角向速度和徑向速度51第五十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二行星軌道方案1：參數(shù)方程方案2：軌道方程52第五十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二確定軌道方程引入?yún)⒘?3第五十三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二作變量代換積分后可得總可選取54第五十四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二行星的軌道方程這是太陽位于焦點(diǎn)的圓錐曲線55第五十五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二三種可能的軌道：都與行星質(zhì)量無關(guān)行星的軌道方程56第五十六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二大行星受太陽引力束縛，E

<

0，軌道是橢圓Mm橢圓偏心率時(shí)，為圓軌道。57第五十七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二例10太陽質(zhì)量M，行星橢圓軌道半長軸A、半短軸B。行星的軌道運(yùn)動(dòng)周期T，試導(dǎo)出開普勒第三定律。Mm12選擇長軸的兩點(diǎn)：近日點(diǎn)1和遠(yuǎn)日點(diǎn)2，速度與徑矢垂直的唯一的兩點(diǎn)。58第五十八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二機(jī)械能守恒角動(dòng)量守恒面積速度行星的軌道運(yùn)動(dòng)周期開普勒第三定律59第五十九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二解法二軌道1處的曲率半徑牛頓第二定律面積速度行星的軌道運(yùn)動(dòng)周期開普勒第三定律60第六十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二例11對(duì)于太陽和某個(gè)行星構(gòu)成的兩體引力系統(tǒng)，若考慮到引力對(duì)太陽的影響，開普勒三定律將作哪些修正？引入約化質(zhì)量和行星相對(duì)太陽的加速度將引力公式代入61第六十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二上式可改寫為除了將太陽質(zhì)量M換成M+m以外，所有結(jié)果保持不變。開普勒第一、第二定律不依賴于太陽質(zhì)量，保持不變。開普勒第三定律依賴太陽質(zhì)量，嚴(yán)格意義下不再成立。即使是行星中質(zhì)量最大的木星確實(shí)是小到可以忽略62第六十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二例12計(jì)算第一、第二、第三宇宙速度略去地球大氣層的影響地球半徑地球軌道半徑太陽質(zhì)量地表重力加速度63第六十三頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二第一宇宙速度：在地球引力作用下，貼近地面沿圓軌道運(yùn)動(dòng)的飛行器速度v1。飛行器質(zhì)量m64第六十四頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二第二宇宙速度：從地面向上發(fā)射太空飛行器，為使它能遠(yuǎn)離地球而去的最小發(fā)射速度v2。地球質(zhì)量ME65第六十五頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二第三宇宙速度：從地面向上發(fā)射太空飛行器，為使它能相繼脫離地球和太陽的引力束縛遠(yuǎn)離太陽系而去的最小發(fā)射速度v3。相對(duì)地球的最小發(fā)射速度v3需沿著地球軌道的運(yùn)動(dòng)方向。地球軌道速度在地心參考系中，飛行器距地球足夠遠(yuǎn)時(shí)，它相對(duì)于地球從v3降為（1）66第六十六頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二轉(zhuǎn)到太陽系，飛行器相對(duì)太陽的速度為（2）為使飛行器恰好能脫離太陽的引力束縛，要求（3）67第六十七頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二例13

通過天文觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)存在行星橢圓軌道，假設(shè)質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力大小與距離r的關(guān)系為試就下面兩種情況分別確定α（1）太陽在橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上；（2）太陽在橢圓的中心Mm1268第六十八頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二Mm12面積速度不變對(duì)于橢圓從開普勒第一、第二定律，導(dǎo)出了引力的平方反比律（1）69第六十九頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二（2）Mm123對(duì)于1、3兩處對(duì)于橢圓引力具有彈性力的特點(diǎn)70第七十頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二§3.2

有心力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)存在有心力的空間稱為有心力場(chǎng)，以力心為坐標(biāo)原點(diǎn)，在有心力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)所受力可表述成：71第七十一頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二有心力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)初速度沿徑向或?yàn)榱銜r(shí)，運(yùn)動(dòng)軌道是直線。對(duì)于吸引性有心力場(chǎng)，質(zhì)點(diǎn)初速度沿角向并滿足運(yùn)動(dòng)軌道是圓。一般情況下，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道都是平面曲線，這一平面由質(zhì)點(diǎn)初位矢和初速度確定。72第七十二頁，共八十一頁，編輯于2023年，星期二有心力場(chǎng)中，在由質(zhì)點(diǎn)初位矢和初速度確定的平面上，以力心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立極坐標(biāo)系。系統(tǒng)的角動(dòng)量和機(jī)械能都是守恒量：角向和徑向速度73第七十