線性預測和最優(yōu)線性濾波器

線性預測和最優(yōu)線性濾波器第一頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一前向預測概念預測器格型表示前向預測中的正規(guī)方程的解法維納濾波器理論及其設計方法

重點和要求第二頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.2前向線性預測第七章線性預測和最優(yōu)線性濾波器7.3后向線性預測7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法7.6用于濾波和預測維納濾波器7.1線性預測的依據和特點7.4預測器與格型濾波器關系第三頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.1線性預測的依據和特點信號之間的關聯性系統(tǒng)的慣性隨機信號預測特點第四頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.1線性預測的依據和特點信號之間的關聯性信號之所以能夠預測，在于數據間存在不同程度的關聯性。預測就是利用數據前后的關聯性，根據其中一部分推知其余部分。顯然數據間關聯越密切，預測越準確；完全不關聯，則無法預測。第五頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.1線性預測的依據和特點1.信號之間的關聯性周期信號：只要知道一個周期，則以后的信號就可以按照第一個周期完全無誤地預測出來。

白噪聲信號：由于其前后毫無關聯，使預測無所依據而無法預測。平穩(wěn)隨機信號：均值為常數，自相關函數只與時間間隔有關，可以進行預測。第六頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.1線性預測的依據和特點2.系統(tǒng)慣性

是有慣性的系統(tǒng)，因而是有色的。第七頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.1線性預測的依據和特點3.隨機信號預測特點只能利用隨機信號的統(tǒng)計規(guī)律作為預測的依據，也就是說隨機信號之所以能夠預測在于其存在某些統(tǒng)計上的規(guī)律。不能精確使預測誤差為零，而只能從統(tǒng)計意義上做到最優(yōu)預測，使預測誤差的均方值最小。實際獲得的信號是帶噪聲干擾的，這使得預測和濾波緊密相連，稱為帶濾波的預測或預測濾波。不考慮噪聲干擾時的預測或不帶濾波的預測為純預測。第八頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.2前向線性預測第七章線性預測和最優(yōu)線性濾波器7.3后向線性預測7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法7.6用于濾波和預測維納濾波器7.1線性預測的依據和特點7.4預測器與格型濾波器關系第九頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.2

前向線性預測前向線性預測后向線性預測格形濾波器第十頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.2

前向線性預測

已知n時刻以前的p個信號數據，用這p個數據來線性預測n時刻信號的值，如圖所示，預測值為第十一頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.2

前向線性預測其預測誤差為

(a)

——稱此預測器為p階前向線性預測器。

令誤差的均方值最小，即求由此解得將式(a)代入上式，得

第十二頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.2

前向線性預測

(b)由最小均方誤差的表達式及正交性原理可求得最小的均方誤差為

(c)聯立式(b)與式(c)得

第十三頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.2

前向線性預測

(d)

——前向線性預測的Wiener-Hopf方程

解此方程則得p階線性預測器的最佳參數及。矩陣形式第十四頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一前向預測濾波器性質：

白化性質

預測濾波器是最小相位系統(tǒng)首先我們闡述白化性質，回憶AR過程的Yule-Walker方程：

7.2

前向線性預測第十五頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.2

前向線性預測（d）式與AR模型參數的正則方程式極其相似，有，成立。這說明，對于同一個p階的AR隨機信號，其AR模型和同階的最佳線性預測器模型是等價的。所以有

(f)即p階線性預測器的輸出是一個白噪聲序列。第十六頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.2

前向線性預測結論：對于給定的隨機信號，若其最佳前向線性預測器的階次等于的AR模型階次時，其前向線性預測誤差為白噪聲序列。所以階次等于AR模型階次的最佳前向預測誤差濾波器實際上是AR模型的逆系統(tǒng)，即白化濾波器。

圖aAR(p)模型圖b預測誤差模型第十七頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.2前向線性預測第七章線性預測和最優(yōu)線性濾波器7.3后向線性預測7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法7.6用于濾波和預測維納濾波器7.1線性預測的依據和特點7.4預測器與格型濾波器關系第十八頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.3

后向線性預測用同一組數據來同時實現前向和后向預測，則后向預測器表示為預測誤差第十九頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.3后向線性預測后向預測器也可用直接型FIR濾波器結構或格型結構實現，其對應系數和前向濾波器的關系如下：預測誤差可以表示為

第二十頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.3

后向線性預測對應的均方誤差為仿照前向預測器的推導方法，最小化均方誤差可導出：對應的最小均方誤差和前向預測器相同。第二十一頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.3

后向線性預測后向預測濾波器性質：

最大相位系統(tǒng)性質

具有最小相位

后向預測誤差的正交性

前后向預測濾波器的其他性質，教材633頁第二十二頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.2前向線性預測第七章線性預測和最優(yōu)線性濾波器7.3后向線性預測7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法7.6用于濾波和預測維納濾波器7.1線性預測的依據和特點7.4預測器與格型濾波器關系第二十三頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一

7.4預測器與格形濾波器關系預測誤差可以表示成直接型FIR濾波器第二十四頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一

7.4預測器與格形濾波器關系前后向預測誤差濾波器系數之間關系的z域表示：第二十五頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一直接型FIR濾波器的全零點格型濾波器等效：其中為反射系數，為后向預測誤差。

7.4預測器與格形濾波器關系第二十六頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一

7.4預測器與格形濾波器關系全零點格型濾波器和前后向預測器誤差的關系：第二十七頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一

7.4預測器與格形濾波器關系3.格型濾波器的Z域表示相應的z變換的表達式為格型濾波器的時域表達式為第二十八頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一

7.4預測器與格形濾波器關系3.格型濾波器的Z域表示它們z變換的表達式為把它們都除以X(z)得到其對應的矩陣形式為第二十九頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一

7.4預測器與格形濾波器關系4.預測系數遞推公式從上式可以推出：第三十頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一

7.4預測器與格形濾波器關系4.預測系數遞推公式遞推關系：具體如下：第三十一頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一

7.4預測器與格形濾波器關系5.反射系數遞推公式遞推公式為：詳細公式為：第三十二頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.2前向線性預測第七章線性預測和最優(yōu)線性濾波器7.3后向線性預測7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法7.6用于濾波和預測維納濾波器7.1線性預測的依據和特點7.4預測器與格型濾波器關系第三十三頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法1.正規(guī)方程前向預測誤差均方值最小化得到的預測器系數為正規(guī)方程，即其對應的緊湊形式為其MMSE為第三十四頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法二者結合得到擴展正規(guī)方程為：2.Levinson-Durbin算法正規(guī)方程的緊湊形式為第三十五頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法其對應的自相關矩陣為由于Toeplitz矩陣Hermitian矩陣2.Levinson-Durbin算法第三十六頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法2.Levinson-Durbin算法算法思路為利用矩陣Toeplitz性質，遞推處理得到最后的解。先從階數1的預測器開始，再遞推地增加階數，使用低階的解得到下一個高階解。通過求解如下方程一階預測器的解為第三十七頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法2.Levinson-Durbin算法對應的一階MMSE為：對于二階通過求解如下方程得到兩個方程為第三十八頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法2.Levinson-Durbin算法結合一階方程的解，得到二階預測器系數：第三十九頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法按照此規(guī)律即可利用前一階得到后一階的系數，將系數向量寫成向量和的形式，如下是第m-1階預測器的系數向量，向量，標量待定。2.Levinson-Durbin算法第四十頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法首先處理自相關矩陣，公式如下：其中，星號表示共軛，t表示轉置，上標b表示向量的元素按照倒序排列。2.Levinson-Durbin算法第四十一頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法求解如下方程：，得到如下解2.Levinson-Durbin算法通過上式得到如下兩個方程第四十二頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法由于，得到第一個方程的解為2.Levinson-Durbin算法結合，利用第二個方程求解第四十三頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法2.Levinson-Durbin算法2.Levinson-Durbin算法得到的表達式為：結合和的解，得到算法的表達式第四十四頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法算法對應的MMSE表達式為2.Levinson-Durbin算法第四十五頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.2前向線性預測第七章線性預測和最優(yōu)線性濾波器7.3后向線性預測7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法7.6用于濾波和預測維納濾波器7.1線性預測的依據和特點7.4預測器與格型濾波器關系第四十六頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.6用于濾波和預測的維納濾波器在生產實踐中，信號都會受到噪聲干擾的。如何最大限度地抑制噪聲，將有用信號分離出來？濾波器：當信號與噪聲同時輸入時，在輸出端能將信號盡可能精確地重現，而噪聲受到最大抑制。維納過濾與卡爾曼過濾就是一類從噪聲中提取信號的方法。1.引言第四十七頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.6用于濾波和預測的維納濾波器20世紀著名數學家諾伯特·維納，從小就智力超常，三歲時就能讀寫，十四歲時就大學畢業(yè)了。幾年后，他又通過了博士論文答辯，成為美國哈佛大學的科學博士。維納維納在其50年的科學生涯中，先后涉足哲學、數學、物理學和工程學，最后轉向生物學，在各個領域中都取得了豐碩成果，稱得上是恩格斯頌揚過的、本世紀多才多藝和學識淵博的科學巨人。他一生發(fā)表論文240多篇，著作14本。他的主要成果有如下幾個方面：建立維納測度引進巴拿赫—維納空間闡述位勢理論發(fā)展調和分析發(fā)現維納—霍普夫方法創(chuàng)立控制論第四十八頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.6用于濾波和預測的維納濾波器提出維納濾波理論：在第二次世界大戰(zhàn)期間，為了解決防空火力控制和雷達噪聲濾波問題，維納綜合運用了他以前幾方面的工作，于1942年2月首先給出了從時間序列的過去數據推知未來的維納濾波公式，建立了在最小均方誤差準則下利用時間序列進行預測的維納濾波理論。第四十九頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.6用于濾波和預測的維納濾波器維納在問題中引進統(tǒng)計因素并使用了自相關和互相關函數，事實證明這是極其重要的。維納濾波模型在50年代被推廣到僅在有限時間區(qū)間內進行觀測的平穩(wěn)過程以及某些特殊的外平穩(wěn)過程，其應用范圍也擴充到更多的領域，至今它仍是處理各種動態(tài)數據(如氣象、水文、地震勘探等)及預測未來的有力工具之一?？柭?960年提出了另一種適合于數字計算機計算的遞推濾波法，即所謂的卡爾曼濾波。這種濾波方法不需要求解積分方程，既適用于平穩(wěn)隨機過程，也適用于非平穩(wěn)隨機過程，是一種有廣泛應用價值的工程方法?？柭谖迨摚惨话倭闼捻摚庉嬘?023年，星期一(1)維納濾波根據估計信號的當前值，它的解以系統(tǒng)的系統(tǒng)函數或單位脈沖響應形式給出。這種系統(tǒng)常稱為最佳線性濾波器?？柭鼮V波用前一個估計值和最近一個觀察數據來估計信號當前值，它用狀態(tài)方程和遞推的方法進行估計，它的解以估計值（常是狀態(tài)變量值）形式給出。系統(tǒng)常稱為線性最優(yōu)估計器。共同點：都解決最佳線性濾波和預測問題，都以均方誤差最小為最優(yōu)準則，平穩(wěn)條件下它們得到的穩(wěn)態(tài)結果一致。維納濾波和卡爾曼濾波比較：不同點：第五十一頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一(2)維納濾波只適用于平穩(wěn)隨機過程，卡爾曼濾波適用于平穩(wěn)和非平穩(wěn)隨機過程。(3)維納濾波設計時要已知信號與噪聲的統(tǒng)計分布規(guī)律?？柭鼮V波設計時要求已知狀態(tài)方程和量測方程。(4)卡爾曼濾波比維納濾波優(yōu)越，計算方便，可用于平穩(wěn)和非平穩(wěn)隨機過程、時變和非時變系統(tǒng)。(5)卡爾曼濾波是在維納濾波基礎上發(fā)展的，是對最佳線性過濾問題的一種新的算法。維納濾波的物理概念更清楚。第五十二頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.6用于濾波和預測的維納濾波器維納濾波器輸入－輸出關系第五十三頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.6用于濾波和預測的維納濾波器希望x(n)通過線性系統(tǒng)h(n)后得到的y(n)盡量接近s(n)，稱y(n)為s(n)的估計值,用表示。這種線性系統(tǒng)h(.)稱為對于s(n)的一種估計器。第五十四頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.6用于濾波和預測的維納濾波器

從當前和過去的觀測值x(n),x(n-1),x(n-2),…x(n-m)估計當前的信號值稱為濾波。

從過去的觀測值x(n－1),x(n-2),…x(n-m)估計當前的或將來的信號值稱為預測或外推。

從過去的觀測值x(n－1),x(n-2),…x(n-m)估計過去的信號值，稱為平滑或內插。第五十五頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.6用于濾波和預測的維納濾波器假設s(n),w(n),d(n)是零均值廣義平穩(wěn)過程，線性濾波器是FIR或IIR濾波器。最優(yōu)化濾波器沖激響應的準則為均方誤差最小。所謂維納濾波是指最小均方誤差（MMSE）意義上的最優(yōu)線性濾波器。均方誤差是以估計結果與信號真值之間的誤差的均方值。第五十六頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.6用于濾波和預測的維納濾波器2.維納濾波的應用在通信系統(tǒng)中，為了在接收端補償信道傳輸引入的各種畸變，在對接收信號進行檢測之前，通過一個濾波器對信道失真進行校正，這個濾波器稱為信道均衡器。信道均衡器的結構示意通信的信道均衡器第五十七頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.6用于濾波和預測的維納濾波器2.維納濾波的應用

發(fā)送端發(fā)送序列

經信道傳輸后，接收端的濾波器輸入信號，可能包含畸變，加性噪聲，多徑效應。

期望信號，

盡量確定維納濾波器系數，使盡可能逼近即，也就是使估計誤差的均方值最小，（均方誤差最小準則）通信的信道均衡器第五十八頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.6用于濾波和預測的維納濾波器系統(tǒng)辨識2.維納濾波的應用有一個系統(tǒng)是未知的，設計一個線性濾波器盡可能精確的逼近這個未知系統(tǒng)，維納濾波器實現一個統(tǒng)計意義上最優(yōu)（估計誤差的均方值最小）的對未知系統(tǒng)的逼近。第五十九頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.6用于濾波和預測的維納濾波器2.維納濾波的應用最優(yōu)線性預測通過一個隨機信號已存在的數據來預測一個新值，這是一步前向線性預測問題。由的線性組合得到對的最優(yōu)估計，相當于設計一個FIR濾波器對 ，進行線性運算，來估計期望響應，維納濾波器可以用于設計均方誤差最小的最優(yōu)預測器。第六十頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.6用于濾波和預測的維納濾波器3.

維納濾波器的時域解假設濾波系統(tǒng)是一個線性時不變系統(tǒng)，它的和輸入信號都是復函數，設維納濾波器設計的任務就是選擇,使其輸出信號與期望信號誤差的均方值最小，實質是解維納－霍夫方程。3.1維納濾波器時域求解的方法第六十一頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一3.維納濾波器的時域解3.1維納濾波器時域求解的方法考慮系統(tǒng)的因果性，可得到濾波器的輸出設期望信號，誤差信號及其均方誤差分別為第六十二頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一3.維納濾波器的時域解3.1維納濾波器時域求解的方法要使均方誤差為最小，需滿足：這里，表示，用，表示，。由于是一標量，因此上式是一個標量對復函數求導的問題，等價于第六十三頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一3.維納濾波器的時域解3.1維納濾波器時域求解的方法記則式可寫為第六十四頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一3.維納濾波器的時域解3.1維納濾波器時域求解的方法得將上式展開由于第六十五頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一3.維納濾波器的時域解3.1維納濾波器時域求解的方法將如上各項代入表達式，整理得：因此等價于上式說明，均方誤差達到最小值的充要條件是誤差信號與任一進入估計的輸入信號正交，這就是正交性原理。第六十六頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一3.維納濾波器的時域解3.1維納濾波器時域求解的方法下面計算輸出信號與誤差信號的互相關函數假定濾波器工作于最佳狀態(tài)，濾波器的輸出與期望信號的誤差為，則可見，在濾波器工作于最佳狀態(tài)時，輸出和誤差信號也是正交的。第六十七頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一3.維納濾波器的時域解3.2維納-霍夫方程將展開，得整理得對兩邊取共軛，并利用相關函數的性質,得第六十八頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一3.維納濾波器的時域解3.2維納-霍夫方程此式稱為維納-霍夫(Wiener-Hopf)方程。解此方程可得到最優(yōu)權系數，此式是維納濾波器的一般方程，根據權系數是有限個還是無限個可以分別設計IIR型和FIR型維納濾波器。第六十九頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一3.維納濾波器的時域解3.3FIR型維納濾波器FIR濾波器是一個長度為M的因果序列(即是一個長度為M的FIR濾波器)時，維納-霍夫方程表述為把的取值代入上式，得

時

時

時第七十頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一3.維納濾波器的時域解3.3FIR型維納濾波器則維納-霍夫方程可寫成矩陣形式定義對上式求逆，得第七十一頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一3.維納濾波器的時域解3.3FIR型維納濾波器維納-霍夫方程矩陣形式

此式表明，已知期望信號與觀測數據的互相關函數及觀測數據的自相關函數時，可以通過矩陣求逆運算，得到維納濾波器的最佳解。同時可以看到，直接從時域求解維納濾波器，并不是一個有效的方法，當較大時，計算量很大，并需計算，從而要求存儲量也很大。另外，具體實現時，濾波器的長度由實驗確定，增加，需在新基礎上重新計算。第七十二頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一3.維納濾波器的時域解3.3FIR型維納濾波器FIR型維納濾波器的最小均方誤差

設所研究的信號是零均值的，濾波器為FIR型，長度等于M，則第七十三頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一3.維納濾波器的時域解3.3FIR型維納濾波器第七十四頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一3.維納濾波器的時域解3.3FIR型維納濾波器將代入得:

第七十五頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.5用于濾波和預測的維納濾波器4.離散維納濾波的Z域解時域求解維納濾波器很困難，用Z域求解。又因為實際的系統(tǒng)是因果的，維納-霍夫方程有個的約束條件，所以不能直接轉入Z域求解它的。這是因為輸入信號與期望信號的互是一個因果序列。這里我們利用將加以白化的方法來求維納-霍夫方程的Z域解(由波德(Bode)和香農(Shannon)首先提出的方法)。第七十六頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一7.5用于濾波和預測的維納濾波器4.離散維納濾波的Z域解

是一個因果(物理可實現)的最小相位系統(tǒng)。把信號轉化為白噪聲的過程稱為白化。白化濾波器第七十七頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一白噪聲功率譜密度為：s(n)的信號模型x(n)的信號模型7.6用于濾波和預測的維納濾波器4.離散維納濾波的Z域解第七十八頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一B(z)是x(n)的形成網絡的傳函維納濾波器輸入－輸出的信號模型x(n)的信號模型7.6用于濾波和預測的維納濾波器4.離散維納濾波的Z域解第七十九頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一如果是在單位圓內()的一對共軛極點（零點），則必是單位圓外一對相應的極點（零點）。令B(z)是由圓內的零極點組成，則B(z-1)是由相應的圓外的零極點組成。一個穩(wěn)定因果系統(tǒng)，其收斂域為，即H(z)的全部極點應落在單位圓內。因此B(z)是因果且最小相位系統(tǒng)，1/B(z)也是因果最小相位系統(tǒng)。7.6用于濾波和預測的維納濾波器4.離散維納濾波的Z域解第八十頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一利用白化x(n)的方法來求解維納－霍夫方程7.6用于濾波和預測的維納濾波器4.離散維納濾波的Z域解第八十一頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一求解步驟：對觀測信號的自相關函數求z變換得。利用等式，找到最小相位系統(tǒng)B(z)。利用均方誤差最小原則求解G(z)。

H(z)=G(z)/B(z)，得到維納－霍夫方程的系統(tǒng)函數解。7.6用于濾波和預測的維納濾波器4.離散維納濾波的Z域解第八十二頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一4.離散維納濾波的Z域解4.1非因果維納濾波器的求解該信號為實信號，是的逆Z變換。第八十三頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一要使均方誤差最小，當且僅當因此的最佳值為4.離散維納濾波的Z域解4.1非因果維納濾波器的求解第八十四頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一兩邊取Z變換非因果維納濾波器的最佳解為4.離散維納濾波的Z域解4.1非因果維納濾波器的求解第八十五頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一因為，且根據相關卷積定理，得兩邊取Z變換代入得到4.離散維納濾波的Z域解4.1非因果維納濾波器的求解第八十六頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一假定信號與噪聲不相關，即，有兩邊取Z變換，得代入表達式，得4.離散維納濾波的Z域解4.1非因果維納濾波器的求解第八十七頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一代入式，非因果維納濾波器的復頻域最佳解非因果維納濾波器的頻率響應為4.離散維納濾波的Z域解4.1非因果維納濾波器的求解第八十八頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一決定于信號與噪聲的功率譜密度。(信號不失真，因為沒有噪聲)有誤差，誤差是由于信號譜和噪聲譜交叉造成。信噪比越小，越小噪聲全部被抑制掉，因此維納濾波器有濾除噪聲的能力幅頻特性第八十九頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一為什么維納濾波器比一般線性濾波器性能更好？第九十頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一推導濾波器的最小均方誤差根據圍線積分求逆Z變換的公式，得4.離散維納濾波的Z域解4.1非因果維納濾波器的求解第九十一頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一同理由帕塞伐爾定理取有4.離散維納濾波的Z域解4.1非因果維納濾波器的求解第九十二頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一把，代入公式，得將代入上式，得4.離散維納濾波的Z域解4.1非因果維納濾波器的求解第九十三頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一因為實信號的自相關函數是偶函數，即，因此假定信號與噪聲不相關，即，則可見，維納濾波的最小均方誤差不僅與輸入信號的功率譜有關，而且與信號和噪聲的功率譜的乘積有關。也就是說，最小均方誤差與信號和噪聲功率譜的重疊部分的大小有關。4.離散維納濾波的Z域解4.1非因果維納濾波器的求解第九十四頁，共一百零四頁，編輯于2023年，星期一若維納濾波器是一個因果濾波器，要求則濾波器輸出估計誤差的均方值類似于前面的推導，得4.離散維納濾波的Z域解4.2因果維納濾波器的