《同步學(xué)案》北師七年級(jí)(上冊(cè))5.6應(yīng)用一元一次方程-追趕小明

5.6應(yīng)用一元一次方程——追趕小明1.會(huì)用“線段圖”分析行程問題中的數(shù)量關(guān)系．2.掌握行程問題中常用的等量關(guān)系，會(huì)用來列方程解決實(shí)際問題．3.重難點(diǎn)：用“線段圖”尋找實(shí)際問題中的等量關(guān)系列方程．知識(shí)導(dǎo)入小明的爸爸在追小明呢！追擊的過程有個(gè)什么樣的等量關(guān)系呢？一起琢磨琢磨吧！知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)一：畫“線段圖”分析行程問題中的數(shù)量關(guān)系例1小明每天早上要在7：50之前趕到距家1000m的學(xué)校上學(xué)．一天，小明以80m/min的速度出發(fā)，5min后，小明的爸爸發(fā)現(xiàn)他忘了帶語文書．于是，爸爸立即以180m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他．（1）爸爸追上小明用了多長時(shí)間？（2）追上小明時(shí)，距離學(xué)校還有多遠(yuǎn)？分析當(dāng)爸爸追上小明時(shí)，兩人所行路程相等．在解決這個(gè)問題時(shí)，要抓住這個(gè)等量關(guān)系．解析（1）設(shè)爸爸追上小明用了xmin，則在此期間小明走過的路程為80xm，小明的爸爸走過的路程為180xm，畫出線段圖如下：根據(jù)題意，得180x=80x+80×5．化簡，得100x=400，x=4．因此，爸爸追上小明用了4min．（2）180×4=720（m），1000－720=280（m）．所以，追上小明時(shí)，距離學(xué)校還有280m．點(diǎn)撥行程問題較多借助線段圖來分析已知量與未知量之間的關(guān)系．把問題中各段路程用代數(shù)式在線段圖表示出來，可以直觀地發(fā)現(xiàn)它們之間的等量關(guān)系，從而建立方程求解．行程問題中三個(gè)基本的量之間的關(guān)系：路程=時(shí)間×速度．知識(shí)點(diǎn)二：行程問題中的常用相等關(guān)系例2育紅學(xué)校七年級(jí)學(xué)生步行到郊外旅行．七（1）班的學(xué)生組成前隊(duì)，步行速度為4km/h，七（2）班的學(xué)生組成后隊(duì)，速度為6km/h．前隊(duì)出發(fā)1h后，后隊(duì)才出發(fā)，同時(shí)后隊(duì)派一名聯(lián)絡(luò)員騎自行車在兩隊(duì)之間不斷地來回進(jìn)行聯(lián)絡(luò)，他騎車的速度為12km/h．根據(jù)上面的事實(shí)解答下列問題：（1）后隊(duì)追上前隊(duì)用了多少時(shí)間？（2）聯(lián)絡(luò)員第一次追上前隊(duì)后返回遇上后隊(duì)用了多少時(shí)間？分析后隊(duì)追前隊(duì)與聯(lián)絡(luò)員第一次追上前隊(duì)的過程都是追及問題，聯(lián)絡(luò)員返回后隊(duì)的過程則是相遇問題，均可用線段圖表示，從線段圖中可以發(fā)現(xiàn)不同的行程問題的相等關(guān)系的形式也有所不同．解析（1）設(shè)后隊(duì)追上前隊(duì)用了xh的時(shí)間，則在此期間七（1）班走過的路程是4xkm,七（2）走過的路程是6xkm．畫線段圖如下：根據(jù)題意得6x=4x+4．解得x=2．所以后隊(duì)追上前隊(duì)用了2h．（2）設(shè)聯(lián)絡(luò)員第一次追上前隊(duì)所用的時(shí)間為xh．畫出線段圖如下：根據(jù)題意得12x=4x+4．解得x=．所以聯(lián)絡(luò)員第一次追上前隊(duì)所用的時(shí)間為半小時(shí)．設(shè)聯(lián)絡(luò)員追上前隊(duì)后返回遇到后隊(duì)所用的時(shí)間為yh，則在此期間后隊(duì)走了6ykm，聯(lián)絡(luò)員走過的路程是12ykm．而聯(lián)絡(luò)員返回時(shí)與后隊(duì)相距12×－6×=3（km）．畫出線段圖如下：根據(jù)題意得12y+6y=3．解得y=．即聯(lián)絡(luò)員第一次追上前隊(duì)后返回遇上后隊(duì)用了10分鐘．點(diǎn)撥追及問題的相等關(guān)系：路程差=距離相遇問題的相等關(guān)系：路程和=距離知識(shí)探究1．行程問題中的一題多解行程問題并不總是利用線段圖來求解，有時(shí)也可以結(jié)合表格法來發(fā)現(xiàn)相等關(guān)系．線段圖中各條線段一般表示題目中的某段路程，利用線段圖找到的相等關(guān)系一般是各段路程之間的關(guān)系．如果利用時(shí)間或速度的等量關(guān)系列方程，則用表格法比較合適．例3甲、乙兩人騎自行車同時(shí)從相距80km的兩地出發(fā)，相向而行，2h后相遇，已知甲每小時(shí)比乙多走2.4km，求甲、乙每人每小時(shí)行多少千米？解析解法一：設(shè)乙每小時(shí)行xkm，則甲每小時(shí)行（x+2.4）km．畫線段圖如下：根據(jù)題意得2x+2（x+2.4）=80．解得x=18.8．此時(shí)x+2.4=18.8+2.4=21.2．所以甲每小時(shí)行21.2km，乙每小時(shí)行18.8km．解法二：設(shè)甲出發(fā)到相遇行了xkm，則乙從出發(fā)到相遇行了（80－x）km．列表如下：路程時(shí)間速度甲x2乙80－x2根據(jù)“甲每小時(shí)比乙多走2.4km”可列方程=+2.4．解得x=42.4.此時(shí)==21.2，=18.8．所以甲的速度為每小時(shí)21.2km，乙的速度為每小時(shí)18.8km．點(diǎn)撥第二種解法用了間接未知數(shù)法設(shè)定未知數(shù)，列方程及求解過程也沒有解法一簡明，所以解行程問題，線段圖法仍是首選．但我們不要忽視第二種解法提供的新思路，這有助于我們從不同角度認(rèn)識(shí)實(shí)際問題中的相等關(guān)系．2.順?biāo)嫠畣栴}船在水中行駛時(shí)，有兩個(gè)常用的數(shù)量關(guān)系：①順?biāo)?靜水船速+水速；②逆水船速=靜水船速－水速．這兩個(gè)數(shù)量關(guān)系常用來列代數(shù)式．例4輪船航行于兩個(gè)碼頭之間，逆水需10小時(shí)，順?biāo)?小時(shí)．已知該船在靜水中每小時(shí)航行12千米，求水流速度和兩碼頭間的距離．解析解：設(shè)水流的速度為xkm/h，則順?biāo)畷r(shí)的速度為（12+x）km/h，逆水時(shí)的速度為（12－x）km/h．根據(jù)題意得：6（12+x）=10（12－x）．解得x=3．此時(shí)6（12+x）=6×(12+3)=90．所以水流的速度為3km/h，兩碼頭間的距離為90km．3．上坡下坡問題根據(jù)生活常識(shí)，我們知道，經(jīng)過一段道路，如果途中有上下坡，則往返的過程中必有這樣的數(shù)量關(guān)系：來時(shí)的上坡路程=返時(shí)的下坡路程；來時(shí)的下坡路程=返時(shí)的上坡路程．例5小華從A到B，先下坡再上坡共用7小時(shí)，如果兩地相距24千米，下坡每小時(shí)行4千米，上坡每小時(shí)行3千米，那么原路返回要多少小時(shí)？解析解法一：設(shè)從A到B時(shí)上坡用時(shí)x小時(shí)，則下坡用時(shí)（7－x）小時(shí)．B畫出線段圖如下：B列方程得3x+4（7－x）=24．解得x=．則從A到B的上坡路程為3x=3×=14（千米），下坡路程為24－14=10（千米）．由于從B到A時(shí)的上坡和下坡的路程正好與從A到B時(shí)相反，可知返回時(shí)上坡路為10千米，下坡路為14千米．則返回時(shí)所用時(shí)間為+=6（小時(shí)）．解法二：設(shè)小華從A到B的上坡路程為x千米，則下坡路程為24－x千米．將從A到B途中上下坡的路程、速度、時(shí)間列表如下：路程速度時(shí)間從A到B上坡x3從A到B下坡24－x4根據(jù)“從A到B，先下坡再上坡共用7小時(shí)”列方程得+=7．解得x=14．此時(shí)24－x=24-14=10（千米）．所以從A到B時(shí)上坡路為14千米，下坡路為10千米．由于從B到A時(shí)的上坡和下坡的路程正好與從A到B時(shí)相反，可知返回時(shí)上坡路為10千米，下坡路為14千米．則返回時(shí)所用時(shí)間為+=6（小時(shí)）．易錯(cuò)辨析題1小明家距離學(xué)校600m，從家到學(xué)校時(shí)的步行速度為3m/s，放學(xué)回家時(shí)的步行速度為2m/s．則小明上學(xué)和放學(xué)的平均步行速度為______.錯(cuò)解因（3+2）÷2=2.5，所以小明上學(xué)和放學(xué)的平均步行速度為2.5m/s．故應(yīng)填上“2.5m/s”．辨析這里計(jì)算的是兩個(gè)速度的平均數(shù)，而不是平均速度．平均速度的算法公式是：．也就是說，必須先確定所有路程的總長，再確定經(jīng)過這些路程的時(shí)間總和，將兩者相除所得的商即為平均速度．正解小明上學(xué)與放學(xué)的路程總長為600+600=1200（m）．小明上學(xué)到校所用時(shí)間=600÷3=200（s）．小明放學(xué)到家所用時(shí)間=600÷2=300（s）．小明上學(xué)與放學(xué)所用時(shí)間之和=200+300=500（s）．小明上學(xué)和放學(xué)的平均步行速度為1200÷500=2.4（m/s）．所以應(yīng)填上“2.4m/s”．1.一列長a米的隊(duì)伍以每分鐘80米的速度向前行進(jìn)．一人經(jīng)過這支隊(duì)伍旁邊，用1分鐘時(shí)間從隊(duì)尾走到隊(duì)頭．此人在這1分鐘內(nèi)走過的路程是（）A．a(chǎn)米B．80米C．（a+80）米D．無法確定2.某船順流而下的速度是20km/h，逆流航行的速度為16km/h，則在靜水中的速度是（）km/h．A．2B．4C．18D．363.甲的速度是5km/h，乙的速度是6km/s．兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行．若經(jīng)過xh相遇，則A、B的距離是________km；若經(jīng)過xh還差10km相遇，則A、B的距離是________km．4.某行軍縱隊(duì)以7千米/時(shí)的速度行進(jìn)，隊(duì)尾的通訊員以11千米/時(shí)的速度趕到隊(duì)伍前送一封信，送交后又立即返回隊(duì)尾，共用13.2分鐘，則這支隊(duì)伍的長度為________千米．5.敵我兩軍相距25km，敵軍以5km/h的速度逃跑，我軍同時(shí)以8km/h的速度追擊，并在相距1km處發(fā)生戰(zhàn)斗，問戰(zhàn)斗是在開始追擊后幾小時(shí)發(fā)生的．例甲、乙兩人在一環(huán)城公路上騎自行車，環(huán)形公路長為42km，甲、乙兩人的速度分別為21km/h、14km/h．（1）如果兩人從公路的同一地點(diǎn)同時(shí)反向出發(fā)，那么經(jīng)幾小時(shí)后,兩人首次相遇?（2）如果兩人從公路的同一地點(diǎn)同時(shí)同向出發(fā)，那么出發(fā)后經(jīng)幾小時(shí)兩人第二次相遇?分析這是環(huán)形路線的行程問題，當(dāng)同向運(yùn)動(dòng)時(shí)屬追及問題，反向運(yùn)動(dòng)時(shí)屬相遇問題．解析（1）設(shè)經(jīng)過xh兩人首次相遇，則這段時(shí)間甲經(jīng)過的路程為21xkm，乙經(jīng)過的路程為14km．根據(jù)題意可知兩人首次相遇時(shí)路程之和=環(huán)形路線一周的長度，故可列出方程21x+14x=42．解得x=1.2．所以經(jīng)過1.2小時(shí)兩人首次相遇．（2）設(shè)經(jīng)過xh兩人第二次相遇．則這段時(shí)間甲經(jīng)過的路程為21xkm，乙經(jīng)過的路程為14km．根據(jù)題意可知兩人第二次相遇時(shí)路程之差=環(huán)形路線兩周的長度，故可列出方程21x－14x=42×2．解得x=12．所以經(jīng)過12小時(shí)兩人第二次次相遇．點(diǎn)撥①在環(huán)形路線上從同一地點(diǎn)同時(shí)反向出發(fā)，第一次相遇路程之和為一個(gè)周長，第二次相遇路程之和為兩個(gè)周長，……；②在環(huán)形路線上從同一地點(diǎn)同時(shí)同向出發(fā)，第一次相遇路程之并為一個(gè)周長，第二次相遇路程之差為兩個(gè)周長，……．練習(xí)1．甲、乙兩人在環(huán)形跑道上練習(xí)跑步．已知環(huán)形跑道一圈長400米，甲每秒鐘跑6米，乙每秒鐘跑4米．（1）如果甲、乙兩人在跑道上同地同時(shí)反向出發(fā)，那么經(jīng)過多少秒兩人首次相遇？（2）如果甲、乙兩人在跑道上同地同時(shí)同向出發(fā)，那么經(jīng)過多少秒兩人首次相遇？參考答案課堂檢測1．C2．C3．11x，（11x