“三線合一”證題

等腰三角形

巧用“三線合一〃證題“三線合一〃是等腰三角形的一條特殊性質，在一些幾何題的證題過程中有著廣泛的應用。本文結合實例說明其應用，供參考。一.直接應用“三線合一〃例1.,如圖1,AD是AABC的角平分線，DE、DF分別是乙鉆。和A4CD的高。求證：AD垂直平分EF分析：從此題的條件和圖形特征看，欲證AD垂直平分EF,因為有N1=N2,所以只要證AAE尸為等腰三角形即可證明：?/DE1AB,DF1AC又N1=N2/.AD垂直平分EF例2.如圖2,AABC中，AB=AC,AD為BC邊上的高，AD的中點為M,CM的延長線交AB于點K,求證：AB=3AK分析：可考慮作DE//CK交AB于E,因為M是AD的中點，所以K是AE的中點，只要證E是BK的中點，問題可得到解決。由于有AD±BC,所以就想到用“三線合一〃。證明：過點D作DE//CK交BK于點E二.先連線，再用“三線合一〃例3.如圖3,在八鉆。中，ZA=90\AB=AC,D是BC的中點，P為BC上任一點,作PEL45,PF1AC,垂足分別為E、F求證：（1）DE=DF；[2）DEU）F分析：（1）欲證二線段相等，容易想到利用全等三角形。觀察DE為ABDE或"的一邊，DF為△?！關或△?；谻的邊，但它們都沒有全等的可能。由于D為等腰直角三角形的底邊BC上的中點，于是我們想到連結AD一試，這時容易發(fā)現(xiàn)3ACKD或^BDF=AADF問題得證。[2）欲證DEL。尸，只要證NADE+NAO尸=90°,即可但由（1）已證出NAQE=NCD/又NADb+NCDb=9。。，故問題解決證明：連結AD。???D是BC的中點ABAC=90°,AB=ACDA平分N84C,AD1BC??.四邊形PEAF是矩形又???A3=AC.?.AE=C/又NEAD=/FCD=45°,AD=DC⑵???AA￡D二ACFD又???ZADF+/CDF=90°即DE1DF三.先構造等腰三角形，再用“三線合一〃例4.如圖4,四邊形ABCD中，ZACB=ZADB=90°,M、N分別為AB、CD的中點,求證：MN1.CD分析：由于MN與CD同在AMCD中，又N為CD的中點，于是就想到證AMCD為等腰

三角形，由于MD、MC為用AADB、RfAACS斜邊AB上的中線，因此MD=MC='AB,2所以，問題容易解決。證明：連結DM、CM/ZACB=ZADB=90°,M是AB的中點??△CM。是等腰三角形又?.?N是CD的中點，:.MN1CD例5.如圖5,小鉆。中，BC、CF分別平分NABC和NAC8,AKL5E于E,AELCF于F,求證：EF//BC分析：由BE平分NA5C、AELBE容易想到：延長AE交BC于M,可得等腰ABM4,E為AM的中點；同理可得等腰AC4N,F是AN的中點，故EF為A4MN的中位線，命題就能得證。證明：延長AE、AF分別交BC于M、N??N1=N2,ARLBE??M4M為等腰三角形即 :.AE=EM同理"=EV??為A4A/N的中位線一、證明角相等【例1】：如圖1,在AA3c中，AB=AC,于D.求證：ZBAC=2ZDBC.4圖1【分析】作出等腰AABC的頂角平分線將頂角分為相等的兩局部，根據“三線合一〃的性質證得NOBC等于其中任一局部即可.4圖1【證明】作ABAC的平分線AE,則有Z1=Z2=1ZBAC.9：AB=AC,Z1=Z2,/.AE.LBC（三線合一）????N2+NC=90。?又???ZDBC+ZC=90°..??N2=NDBC.：.ZBAC=2ZDBC.【點撥】添加輔助線，利用等腰三角形的“三線合一〃性質，巧妙地構造了兩個具有同一銳角的直角三角形，將條件與待證結論有機地聯(lián)系在一起，從而容易獲得問題的解決.二、證明線段相等【例2】〔2009?汕頭）如圖2,AA3C是等邊三角形，D點是AC的中點，延長BC到E,使C￡=CD,過點D作。垂直為M.求證：BM=EM圖2【分析】在ABDE中，DMLBE.如果能證得DB=DE,由“三線合一〃就可得出=圖2【證明】：AA5C是等邊三角形，D是的AC中點,???ZABC=NAC6=60。，BD平分ZABC（三線合一）.AZDBC=30°.又?：CE=CD,；./E=/CDE.又?：ZACB=/E+/CDE,：.ZE=}ZACB=30°.：.ZDBC=ZE=30°.：.DB=DE.又?：DM上BE,：.BM=EM〔三線合一）.【點撥】能利用“三線合一〃證明線段相等的問題，也可以用全等三角形來解決，但利用“三線合一〃證明要比用全等三角形證明簡便得多.因此，我們在解決這類問題時，要糾正總是依據三角形全等的思維定勢，應該優(yōu)先選用“三線合一〃來解決.三、證明直線垂直【例3】（2009?義烏）如圖3,在正AABC中，4。，3。于點口，以AD為一邊向右作正4ADE.請判斷AC、DE的位置關系，并給出證明.圖3【分析】在正△ABC中，由“三線合一〃知ZCAD=3Q°.而4ADE也是正三角形，于是有ZFAE=/DAE—ZCAD=60°-30°=30°,這樣就得AF是正4ADE的角平分線，再由“三線合一〃得AC.LDE.圖3【證明】在正4ABC中，;AD±BC,：.ZCAD=30°（三線合一）?在正4ADE中，*?ZFAE=ZDAE-ACAD=60°-30°=30°,，AF是的平分線.：.AC±DE（三線合一）.【點撥】當題設中同時具備以下兩個條件時，就可以利用“三線合一〃來證明兩條直線相互垂直：（1）有一個等腰三角形；（2）兩條直線中有一條是這個等腰三角形的頂角的平分線或底邊上的中線所在的直線.例1.等腰三角形頂角為a,一腰上的高與底邊所夾的角是p,則0與a的關系式為P= 。圖1分析：如圖1,AB-AC,BDLAC于D,作底邊BC上的高AE,E為垂足，則可知NEAC二ZEAB=-a,又NEAC=9Q°—NGZp=90°-ZC,所以2ZE4C=P，0=；a。例2.：如圖2,4ABC中，AB=AC,CEJ_AE于E,CE=-BC,E在AABC外，求證:2ZACE=ZBo圖2分析：欲證NACE=NB,由于AOAB,因此只需構造一個與RtZ\ACE全等的三角形，即

做底邊BC上的高即可。證明：作ADLBC于D,VAB=AC,???BD=-BC2又ce」bc,2，BD=CE。在RtAABD和RtAACE中，AB=AC,BD=CE,ARtAABD^RtAACE〔HL）。???NACE=NB例3.：如圖3,等邊三角形ABC中，D為AC邊的中點，E為BC延長線一點，CE二CD,DMJ_BC于M,求證：M是BE的中點。圖3分析：欲證M是BE的中點，DM±BC,因此只需證DB=DE,即證NDBE=NE,根據等邊△ABC,BD是中線，可知NDBC=30。，因此只需證NE=30。。證明：聯(lián)結BD,:△ABC是等邊三角形，AZABC=ZACB=60°VCD=CE,AZCDE=ZE=30°?「BD是AC邊上中線，，BD平分NABC,即NDBC=30。AZDBE=ZEo，DB二DE又TDMLBE,.'DM是BE邊上的中線，即M是BE的中點。［練習］.如圖4,墻上釘了一根木條，小明想檢驗這根木條是否水平，他拿來一個如以以下圖的測