2023年第二章導(dǎo)數(shù)與微分總結(jié)

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一、導(dǎo)數(shù)與微分概念1．導(dǎo)數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)()xfy=在點(diǎn)0x的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，自變量x在0x處有增量x?，相應(yīng)地函數(shù)增量()()00xfxxfy-?+=?。假如極限()()x

xfxxfxy

xx?-?+=??→?→?0000lim

lim

存在，則稱(chēng)此極限值為函數(shù)()xf在0x處的導(dǎo)數(shù)（也稱(chēng)微商），記作()0xf'，或0

xxy='

，

0xxdxdy=，()0

xxdxxdf=等，并稱(chēng)函數(shù)()xfy=在點(diǎn)0x處可導(dǎo)。假如上面的極限不存在，

則稱(chēng)函數(shù)()xfy=在點(diǎn)0x處不行導(dǎo)。

導(dǎo)數(shù)定義的另一等價(jià)形式，令xxx?+=0，0xxx-=?，則

()()()

000

lim

xxxfxfxfxx--='→

我們也引進(jìn)單側(cè)導(dǎo)數(shù)概念。右導(dǎo)數(shù)：()()()()()

xxfxxfxxxfxfxfxxx?-?+=--='++

→?→+000000limlim0

左導(dǎo)數(shù)：()()()()()x

xfxxfxxxfxfxfxxx?-?+=--='--

→?→-000000limlim0

則有

()xf在點(diǎn)0x處可導(dǎo)()xf?在點(diǎn)0x處左、右導(dǎo)數(shù)皆存在且相等。2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義

假如函數(shù)()xfy=在點(diǎn)0x處導(dǎo)數(shù)()0xf'存在，則在幾何上()0xf'表示曲線

()xfy=在點(diǎn)()()00,xfx處的切線的斜率。

切線方程：()()()000xxxfxfy-'=-法線方程：()()

()()()01

0000≠'-'-

=-xfxxxfxfy

設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)路程S與時(shí)光t的函數(shù)關(guān)系為()tfS=，假如()0tf'存在，則

()0tf'表示物體在時(shí)刻0t時(shí)的瞬時(shí)速度。

3．函數(shù)的可導(dǎo)性與延續(xù)性之間的關(guān)系

假如函數(shù)()xfy=在點(diǎn)0x處可導(dǎo)，則()xf在點(diǎn)0x處一定延續(xù)，反之不然，即函數(shù)

()xfy=在點(diǎn)0x處延續(xù)，卻不一定在點(diǎn)0x處可導(dǎo)。例如，()xxfy==，在00=x處連

續(xù)，卻不行導(dǎo)。4．微分的定義

設(shè)函數(shù)()xfy=在點(diǎn)0x處有增量x?時(shí)，假如函數(shù)的增量()()00xfxxfy-?+=?有下面的表達(dá)式

()()xoxxAy?+?=?0()0→?x

其中()0xA為x?為無(wú)關(guān)，()xo?是0→?x時(shí)比x?高階的無(wú)窮小，則稱(chēng)()xf在0x處可微，并把y?中的主要線性部分()xxA?0稱(chēng)為()xf在0x處的微分，記以0

xxdy

=或

()

xxxdf=。

我們定義自變量的微分dx就是x?。5．微分的幾何意義

()()00xfxxfy-?+=?是曲線()xfy=在點(diǎn)0x處相應(yīng)于自變量增量x?的縱坐標(biāo)

()0xf的增量，微分0

xxdy

=是曲線()xfy=在點(diǎn)()()000,xfxM處切線的縱坐標(biāo)相應(yīng)的

增量（見(jiàn)圖）。

6．可微與可導(dǎo)的關(guān)系

()xf在0x處可微()xf?在0x處可導(dǎo)。

且()()dxxfxxAxxdy

000

'=?==

普通地，()xfy=則()dxxfdy'=所以導(dǎo)數(shù)()dx

dy

xf=

'也稱(chēng)為微商，就是微分之商的含義。7．高階導(dǎo)數(shù)的概念

假如函數(shù)()xfy=的導(dǎo)數(shù)()xfy'='在點(diǎn)0x處仍是可導(dǎo)的，則把()xfy'='在點(diǎn)0x處

的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為()xfy=在點(diǎn)0x處的二階導(dǎo)數(shù)，記以0xxy=''，或()0xf''，或0

2

2xxdxy

d=等，也稱(chēng)()xf在點(diǎn)0x處二階可導(dǎo)。

假如()xfy=的1-n階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，稱(chēng)為()xfy=的n階導(dǎo)數(shù)，記以()

ny

，

()

()xyn，nndx

y

d等，這時(shí)也稱(chēng)()xfy=是n階可導(dǎo)。

二、導(dǎo)數(shù)與微分計(jì)算1．導(dǎo)數(shù)與微分表（略）2．導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算法則（1）四則運(yùn)算求導(dǎo)和微分公式'

212'1'21][ffffff+=

'

3213'2132'1'321][ffffffffffff++=

2

'

'')(g

fggfgf-=（2）反函數(shù)求導(dǎo)公式

設(shè))(xfy=的反函數(shù)為)(ygx=，則)]

([1

)(1)('

''

ygfxfyg==（3）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和微分公式設(shè))(),(xguufy==，則)()]([''xgxgfdx

dududydxdy==（4）隱函數(shù)求導(dǎo)法則

每一次對(duì)x求導(dǎo)，把y看作中間變量，然后解出'

y例：765)23sin(=++-++yxyxe

y

x，確定)(xyy=，求'y

解：兩邊每一項(xiàng)對(duì)x求導(dǎo)，把y看作中間變量065)23)](23[cos()1('''=++--+++yyyxye

y

x

然后把'

y解出來(lái)（5）對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

取對(duì)數(shù)后，用隱函數(shù)求導(dǎo)法則)

4)(3()

2)(1(=xxxxy

)]4ln()3ln()2ln()1[ln(2

1

ln+-=xxxxy求導(dǎo)得

)4

1312111(21'+-=xxxxyy解出'y

0>=xx

yx

x

xeyln=解出'y

xxylnln=

1ln'

+=xy

y解出