第三講連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

第三講連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度第一頁，共十八頁，編輯于2023年，星期一§4

連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

對離散型隨機(jī)變量可以用分布律來描述它取值的概率分布。但對連續(xù)型隨機(jī)變量來講，由于它可以取某個區(qū)間上的所有實數(shù)，這些實數(shù)不可能逐個列舉出來，另外，連續(xù)型隨機(jī)變量取任意一個確定值的概率為0。由于這兩點，描述離散型隨機(jī)變量的分布律法不再適用于連續(xù)型隨機(jī)變量。如何描述連續(xù)型隨機(jī)變量呢？第二頁，共十八頁，編輯于2023年，星期一定義：對于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x),若存在非負(fù)的函數(shù)

f(x)使對于任意實數(shù)

x有：則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中f(x)稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度。

連續(xù)型隨機(jī)變量X由其密度函數(shù)唯一確定．第三頁，共十八頁，編輯于2023年，星期一

由定義知道，概率密度

f(x)具有以下性質(zhì)：f(x)0x1第四頁，共十八頁，編輯于2023年，星期一f(x)x04o

若

f(x)在x處連續(xù)，則第五頁，共十八頁，編輯于2023年，星期一

連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)的性質(zhì)與離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì)非常相似，但是，密度函數(shù)不是概率！連續(xù)型隨機(jī)變量的一個重要特點設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，則對任意的x=a，有而連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)是連續(xù)的第六頁，共十八頁，編輯于2023年，星期一說明由上述性質(zhì)可知，對于連續(xù)型隨機(jī)變量，我們關(guān)心它在某一點取值的問題沒有太大的意義；我們所關(guān)心的是它在某一區(qū)間上取值的問題．若已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)

f(x)，則X在任意區(qū)間G上取值的概率為：第七頁，共十八頁，編輯于2023年，星期一例1設(shè)

X

是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為解：⑴．由密度函數(shù)的性質(zhì)第八頁，共十八頁，編輯于2023年，星期一第九頁，共十八頁，編輯于2023年，星期一第十頁，共十八頁，編輯于2023年，星期一例2設(shè)

X

是連續(xù)型隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為求X的密度函數(shù)設(shè)X的密度函數(shù)為f(x)，則第十一頁，共十八頁，編輯于2023年，星期一1．均勻分布若隨機(jī)變量

X的密度函數(shù)為記作

X~U(a,b)一些常見的連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布則稱隨機(jī)變量

X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布abx0f(x)第十二頁，共十八頁，編輯于2023年，星期一XXabxll0均勻分布的概率背景如果隨機(jī)變量X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布，則X在區(qū)間(a,b)上的任意子區(qū)間上取值的概率與該子區(qū)間的長度成正比，而與該子區(qū)間的位置無關(guān)。這時可以認(rèn)為隨機(jī)變量

X在區(qū)間(a,b)上取值是等可能的。第十三頁，共十八頁，編輯于2023年，星期一abxF(x)01若

X~U(a,b)，則其分布函數(shù)為第十四頁，共十八頁，編輯于2023年，星期一例3設(shè)電阻值

R

是連續(xù)型隨機(jī)變量，均勻分布在900Ω~1100Ω。求R的概率密度函數(shù)以及R落在950Ω~1050Ω之間的概率。R的概率密度函數(shù)為第十五頁，共十八頁，編輯于2023年，星期一2．指數(shù)分布如果隨機(jī)變量

X

的密度函數(shù)為指數(shù)分布的分布函數(shù)為的指數(shù)分布。為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為第十六頁，共十八頁，編輯于2023年，星期一服從指數(shù)分布隨機(jī)變量的有趣性質(zhì)—無記憶性對任意的s,t>0，都有如果X是某電子元件的壽命，那么此性質(zhì)表明在元件已經(jīng)使用了s小時的條件下，它總共能使用

至少s+t小時的條件概率，與從開始使用算起它至少能使用t小時的概率相等。也就是說元件對它已經(jīng)使用了s小時是沒有記憶的。具有這一性質(zhì)是指數(shù)分布有廣泛應(yīng)用的重要原因。第十七頁，共十八頁，編輯于2023年，星期一