考點(diǎn)06導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（核心考點(diǎn)講與練）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講與練（新高考專用）原卷版

考點(diǎn)06導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（核心考點(diǎn)講與練）1．導(dǎo)數(shù)的概念平均變化率瞬時變化率某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)在區(qū)間上可導(dǎo)導(dǎo)函數(shù)2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線過點(diǎn)的切線的斜率等于．3．常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：（為常數(shù)）；；；；；（，且）；；（，且）．4．兩個函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則：法則1．法則2．法則3．5．導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用⑴利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性；⑵利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值．1.研究函數(shù)的單調(diào)性及構(gòu)造函數(shù)證明不等式，解含參數(shù)的不等式，通常需要從幾個方面分類討論：（1）看函數(shù)最高次項系數(shù)是否為0，需分類討論；（2）若最高次項系數(shù)不為0，通常是二次函數(shù)，若二次函數(shù)開口定時，需根據(jù)判別式討論無根或兩根相等的情況；（3）再根據(jù)判別式討論兩根不等時，注意兩根大小比較，或與定義域的比較.2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)以及利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立時的參數(shù)的范圍問題，有較強(qiáng)的綜合性，要求明確導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性以及極值之間的關(guān)系并能靈活應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，其中要注意分類討論.3.導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義一、單選題1．（2021·陜西·寶雞市陳倉區(qū)教育體育局教學(xué)研究室一模（文））設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處附近有定義，且為常數(shù)，則（

）A． B． C． D．2．（2022·貴州黔東南·一模（理））一個質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動，其位移s（單位：米）與時間t（單位：秒）滿足關(guān)系式，則當(dāng)時，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時速度為（

）A．5米/秒 B．8米/秒C．14米/秒 D．16米/秒3．（2022·陜西·略陽縣天津高級中學(xué)二模（理））若點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2022·廣東深圳·二模）已知，若過點(diǎn)可以作曲線的三條切線，則（

）A． B． C． D．5．（2022·廣東汕頭·二模）已知函數(shù)，若過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，則t的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．（2022·安徽合肥·二模（理））過平面內(nèi)一點(diǎn)作曲線兩條互相垂直的切線、，切點(diǎn)為、（、不重合），設(shè)直線、分別與軸交于點(diǎn)、，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（

）①、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為定值；

②直線的斜率為定值；③線段的長度為定值；

④三角形面積的取值范圍為．A． B． C． D．7．（2021·廣西桂林·模擬預(yù)測（理））設(shè)f'x是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若f'x>0，且對，且總有，則下列選項正確的是（

A． B．C． D．二、多選題8．（2020·山東青島·模擬預(yù)測）已知曲線上存在兩條斜率為3的不同切線，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都大于零，則實數(shù)可能的取值（

）A． B．3 C． D．9．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知，（且），則（

）A．當(dāng)時，函數(shù)的最小值為2B．當(dāng)時，的圖象與的圖象相切C．若，則方程恰有兩個不同的實數(shù)根D．若方程恰有三個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是三、填空題10．（2022·湖南永州·三模）已知直線:，函數(shù)，若存在切線與關(guān)于直線對稱，則__________．11．（2021·福建廈門·三模）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是__________．四、解答題12．（2022·江蘇·沭陽如東中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)f（x）=（x-m）（x-n）2，m∈R.(1)若函數(shù)f（x）在點(diǎn)A（m，f（m））處的切線與在點(diǎn)B（m+1，f（m+1））處的切線平行，求此切線的斜率；(2)若函數(shù)f（x）滿足：①m<n；②f（x）-λxf′（x）≥0對于一切x∈R恒成立試寫出符合上述條件的函數(shù)f（x）的一個解析式，并說明你的理由.13．（2022·安徽省含山中學(xué)三模（理））已知函數(shù)(1)若函數(shù)的圖象在區(qū)間[0，1]上存在斜率為零的切線，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由.14．（2022·江西萍鄉(xiāng)·二模（文））已知拋物線，焦點(diǎn)為，過作動直線交拋物線于兩點(diǎn)，過作拋物線的切線，過作直線的平行直線交軸于，設(shè)線段的垂直平分線為，直線的傾斜角為．已知當(dāng)時，．(1)求拋物線的方程；(2)證明：直線過軸上一定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．15．（2022·北京·一模）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線的方程；(2)若函數(shù)在處取得極大值，求的取值范圍；(3)若函數(shù)存在最小值，直接寫出的取值范圍.導(dǎo)數(shù)的計算一、單選題1．（2022·浙江臺州·二模）已知.若在處取到最小值，則下列恒成立的是（

）A． B． C． D．2．（2022·江西萍鄉(xiāng)·二模（文））若函數(shù)的圖象在處的切線斜率為，則(

)A． B． C． D．3．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模（理））已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2021·海南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（是的導(dǎo)函數(shù)），則（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2022·廣東廣州·二模）已知，直線與曲線相切，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．6．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象在軸上的截距為，在軸右側(cè)的第一個最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則下列說法正確的是（

）A．B．C．函數(shù)在上一定單調(diào)遞增D．在軸右側(cè)的第一個最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)為三、填空題7．（2022·黑龍江·哈九中三模（理））寫出一個同時滿足下列性質(zhì)①②③的函數(shù)：______；①對定義域內(nèi)任意的，，都有；②對任意的，都有；③f（x）的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)．8．（2022·陜西·寶雞市渭濱區(qū)教研室一模（理））函數(shù)的圖象在處的切線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_____.9．（2022·江西·模擬預(yù)測（文））已知曲線與過點(diǎn)的直線相切，則的斜率為_______．10．（2022·福建莆田·模擬預(yù)測）曲線在處的切線方程為______．四、解答題11．（2022·遼寧·沈陽二中二模）用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率.(1)若曲線與在處的曲率分別為，，比較，大?。?2)求正弦曲線（）曲率的平方的最大值.12．（2022·貴州黔東南·一模（文））已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)x>1時，恒成立，求a的取值范圍.13．（2022·浙江嘉興·二模）已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)有3個極值點(diǎn)，，（i）求實數(shù)m的取值范圍；（ii）證明：.14．（2022·安徽黃山·二模（文））已知函數(shù).(1)求的極值；(2)當(dāng)時，求證：.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用一、單選題1．（2022·山西呂梁·模擬預(yù)測（文））已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．2．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在處取極小值，且的極大值為4，則（

）A．-1 B．2 C．-3 D．43．（2022·云南·二模（文））已知e是自然對數(shù)的底數(shù).若，使，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題4．（2022·湖南永州·三模）已知函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱B．在上為減函數(shù)C．有4個零點(diǎn)D．，使三、填空題5．（2021·四川·石室中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)的定義域為，其部分自變量與函數(shù)值的對應(yīng)情況如表：x0245312.513的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示．給出下列四個結(jié)論：①在區(qū)間上單調(diào)遞增；②有2個極大值點(diǎn)；③的值域為；④如果時，的最小值是1，那么t的最大值為4．其中，所有正確結(jié)論的序號是______．6．（2022·北京·一模）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①是偶函數(shù)；②有無數(shù)個零點(diǎn)；③的最小值為；④的最大值為1.其中，所有正確結(jié)論的序號為___________.四、解答題7．（2022·陜西陜西·二模（理））已知函數(shù).(1)若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(2)設(shè)，m，n分別是的極大值和極小值，且，求S的取值范圍.8．（2022·遼寧錦州·一模）已知函數(shù).(1)若在上是增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)若是函數(shù)的兩個不同的零點(diǎn)，求證：.9．（2022·山西呂梁·模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性.10．（2022·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，.(1)當(dāng)時，證明：在上無極值；(2)設(shè)，，證明：在上只有一個極大值點(diǎn).11．（2022·吉林·延邊州教育學(xué)院一模（文））已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的極值點(diǎn)個數(shù)；(2)若對任意的恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．12．（2022·江西萍鄉(xiāng)·二模（文））已知．(1)若，求的極值；(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．13．（2022·四川瀘州·三模（文））已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有且只有一個極值點(diǎn)，求a的取值范圍．14．（2022·重慶·二模）已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)是否存在極值，并說明理由；(2)設(shè)函數(shù)，若存在兩個不相等的正數(shù)，，使得，證明：.15．（2022·河南·三模（文））已知函數(shù)．(1)討論極值點(diǎn)的個數(shù)；(2)證明：．16．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））已知函數(shù)，.(1)，討論函數(shù)的極值點(diǎn)；(2)，設(shè)，當(dāng)時，不等式恒成立，求a的取值范圍.17．（2022·江蘇·海安高級中學(xué)二模）我國某芯片企業(yè)使用新技術(shù)對一款芯片進(jìn)行試產(chǎn)，設(shè)試產(chǎn)該款芯片的次品率為p（0＜p＜1），且各個芯片的生產(chǎn)互不影響．(1)試產(chǎn)該款芯片共有兩道工序，且互不影響，其次品率依次為，．①求p；②現(xiàn)對該款試產(chǎn)的芯片進(jìn)行自動智能檢測，自動智能檢測為次品（注：合格品不會被誤檢成次品）的芯片會被自動淘汰，然后再進(jìn)行人工抽檢已知自動智能檢測顯示該款芯片的合格率為96%，求人工抽檢時，抽檢的一個芯片是合格品的概率．(2)視p為概率，記從試產(chǎn)的芯片中隨機(jī)抽取n個恰含m（n＞m）個次品的概率為，求證：在時取得最大值．18．（2022·黑龍江齊齊哈爾·二模（理））設(shè)平面向量，滿足，設(shè)函數(shù)．(1)若函數(shù)的最大值為1，求實數(shù)a的值；(2)在（1）的條件下，若使得，求證：．導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用一、單選題1．（2022·安徽省含山中學(xué)三模（理））若存在直線與函數(shù)，的圖像都相切，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．[-e，+∞） B．[-2，+∞）C．[-1，+∞） D．[-，+∞）2．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知，且，則（

）A． B．C． D．3．（2022·河北保定·一模）已知某商品的進(jìn)價為4元，通過多日的市場調(diào)查，該商品的市場銷量（件）與商品售價（元）的關(guān)系為，則當(dāng)此商品的利潤最大時，該商品的售價（元）為（

）A．5 B．6 C．7 D．84．（2022·重慶·二模）某單位科技活動紀(jì)念章的結(jié)構(gòu)如圖所示，是半徑分別為的兩個同心圓的圓心，等腰三角形的頂點(diǎn)在外圓上，底邊的兩個端點(diǎn)都在內(nèi)圓上，點(diǎn)在直線的同側(cè)．若線段與劣弧所圍成的弓形面積為，△與△的面積之和為，設(shè)．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)?shù)闹底畲髸r，紀(jì)念章最美觀，當(dāng)紀(jì)念章最美觀時，（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2022·廣東湛江·二模）若過點(diǎn)最多可作出條直線與函數(shù)的圖象相切，則（

）A．B．當(dāng)時，的值不唯一C．可能等于D．當(dāng)時，的取值范圍是6．（2020·遼寧·開原市第二高級中學(xué)三模）國家統(tǒng)計局公布的全國夏糧生產(chǎn)數(shù)據(jù)顯示，2020年國夏糧總產(chǎn)量達(dá)14281萬噸，創(chuàng)歷史新高.糧食儲藏工作關(guān)系著軍需民食，也關(guān)系著國家安全和社會穩(wěn)定.某糧食加工企業(yè)設(shè)計了一種容積為立方米的糧食儲藏容器，如圖1所示，已知該容器分上下兩部分，中上部分是底面半徑和高都為米的圓錐，下部分是底面半徑為米?高為米的圓柱體，如圖2所示.經(jīng)測算，圓錐的側(cè)面每平方米的建造費(fèi)用為元，圓柱的側(cè)面?底面每平方米的建造費(fèi)用為元，設(shè)每個容器的制造總費(fèi)用為元，則下面說法正確的是（

）A． B．的最大值為C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，有最小值，最小值為三、填空題7．（2021·陜西·渭南市臨渭區(qū)教學(xué)研究室二模（文））做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使水桶的容積是，且用料最省，則水桶的底面半徑為______．四、解答題8．（2022·江蘇·南京市第一中學(xué)三模）已知函數(shù)．(1)證明：；(2)若，證明：．9．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù).(1)當(dāng)時，判斷的零點(diǎn)個數(shù)；(2)設(shè)，若存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍.10．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)在上的極值；(2)當(dāng)時，若直線l既是曲線又是曲線的切線，試判斷l(xiāng)的條數(shù)．11．（2022·天津三中一模）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時，求在處的切線方程；(2)若有兩個極值點(diǎn)、，且．①求實數(shù)的取值范圍；②求證：．12．（2022·江蘇·新沂市第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，證明：.一、單選題1．（2021·全國·高考真題）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．2．（2021·全國·高考真題（理））設(shè)，，．則（

）A． B． C． D．二、填空題3．（2021·全國·高考真題（理））曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．4．（2021·全國·高考真題）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)_______．①；②當(dāng)時，；③是奇函數(shù)．5．（2021·全國·高考真題）函數(shù)的最小值為______.三、解答題6．（2021·全國·高考真題（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為．（1）求；（2）若點(diǎn)在上，是的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積的最大值．7．（2021·全國·高考真題（文））已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）求曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)．8．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點(diǎn)①；②．9．（2021·全國·高考真題（理））設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．10．（2021·全國·高考真題（文））設(shè)函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖象與軸沒有公共點(diǎn)，求a的取值范圍.11．（2021·全國·高考真題（理））已知且，函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點(diǎn)，求a的取值范圍．12．（2021·全國·高考真題）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個最小正實根，求證：當(dāng)時，，當(dāng)時，；（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實際含義．13．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.一、單選題1.（2022·全國·模擬預(yù)測）已知曲線在處的切線為l，點(diǎn)到切線l的距離為d，則d的最大值為（）A.1 B.2 C. D.2.（2022·福建漳州·一模）將曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮小為原來的，得到曲線，則上到直線距離最短的點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.3.（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則過點(diǎn)可作曲線的切線的條數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.34.（2022·浙江·模擬預(yù)測）某地響應(yīng)全民冰雪運(yùn)動的號召，建立了一個滑雪場．該滑雪場中某滑道的示意圖如下所示，點(diǎn)、點(diǎn)分別為滑道的起點(diǎn)和終點(diǎn)，它們在豎直方向的高度差為．兩點(diǎn)之間為滑雪彎道，相應(yīng)的曲線可近似看作某三次函數(shù)圖像的一部分．綜合考安全性與趣味性，在滑道的最陡處，滑雪者的身體與地面約成的夾角．若還要兼顧滑道的美觀性與滑雪者的滑雪體驗，則、兩點(diǎn)在水平方向的距離約為（）A. B. C. D.5.（2022·全國·模擬預(yù)測）若過點(diǎn)可以作曲線且的兩條切線，則（）A. B.C. D.與的大小關(guān)系與有關(guān)6.（2022·浙江·模擬預(yù)測）設(shè)是離散型隨機(jī)變量的期望，則下列不等式中不可能成立的是（）A. B.C. D.7.（2022·廣東·模擬預(yù)測）如圖是網(wǎng)絡(luò)上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可導(dǎo)”的諧音生動形象地說明了高等數(shù)學(xué)中“連續(xù)”和“可導(dǎo)”兩個概念之間的關(guān)系．根據(jù)該表情包的說法，在處連續(xù)是在處可導(dǎo)的（）．A