新教材2023年高中數(shù)學第5章計數(shù)原理3組合第2課時組合數(shù)的應用課件北師大版選擇性必修第一冊

第五章計數(shù)原理§3組合第2課時組合數(shù)的應用課程標準學法解讀1．學會運用組合的概念分析簡單的實際問題．2．能解決無限制條件的組合問題.通過組合解決實際問題，提升邏輯推理和數(shù)學運算的素養(yǎng).必備知識·探新知課堂檢測·固雙基必備知識·探新知題型探究 (1)有5名男醫(yī)生和3名女醫(yī)生．現(xiàn)要從中選3名醫(yī)生組成地震醫(yī)療小組，要求醫(yī)療小組中男醫(yī)生和女醫(yī)生都要有，那么不同的組隊種數(shù)為 (

)A．45

B．60

C．90

D．120(2)某人決定投資8種股票和4種債券，經(jīng)紀人向他推薦了12種股票和7種債券，則此人有_________種不同的投資方式．(3)現(xiàn)有8本雜志，其中有3本是完全相同的文學雜志，另5本是互不相同的數(shù)學雜志，從這8本里選取3本，則不同選法的種數(shù)為_____.題型一無限制條件的組合問題典例1A

17325

26

[分析]

(1)選出的3名醫(yī)生之間無順序之分，因此是組合問題，但需要對醫(yī)生的組成人員分類求解；(2)選出的8種股票無順序之分，選出的4種債券也無順序之分，因此是組合問題，但需要分選股票、選債券兩步求解；(3)本小題需要注意一個問題，從3本完全相同的文學雜志中選書并不是組合問題，只有從5本不同的數(shù)學雜志中選書才是組合問題．[規(guī)律方法]

求解無限制條件的組合問題的思路對于無限制條件的組合問題，首先要分清完成一件事情是需要分類還是分步，在每一類(或每一步)中注意分清對象的總數(shù)及取出對象的個數(shù)，按照組合的定義，正確地表示出相應的組合數(shù)，再利用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理計數(shù)．A

B

D

(1)從5名男生和4名女生中選出3名學生參加某次會議，則至少有1名女生參加的情況有_____種．(2)學校邀請了4位學生的父母共8人，并請這8位家長中的4位介紹其對子女的教育情況，如果這4位家長中至多有一對夫妻，那么不同的選擇方法有_____種．題型二有限制條件的組合問題典例274

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[分析]

(1)選出的3人中至少有1名女生，有三種情況：①2名男生和1名女生；②1名男生和2名女生；③3名女生．也可用間接法，用總的選法數(shù)減去全部是男生的選法數(shù)．(2)應分類考慮，第一類，4位作介紹的家長中沒有任何兩個人是夫妻．第二類，4位作介紹的家長中僅有一對夫妻．在每一類中應分兩步：第一步，先確定家長來自哪個家庭，第二步，在選出的家庭中確定具體的人來介紹子女的教育情況．也可以采用間接法，用總的選法數(shù)減去4位家長有2對夫妻的選法數(shù)．[規(guī)律方法]

常見的限制條件及解題方法(1)特殊元素：若要選取的元素中有特殊元素，則要以有無特殊元素，特殊元素的多少作為分類依據(jù)．(2)含有“至多、至少”等限制語句：要分清限制語句中所包含的情況，可以此作為分類依據(jù)，或采用間接法求解．(3)分類討論思想：解題的過程中要善于利用分類討論思想，將復雜問題分類表達，逐類求解．【對點訓練】?

某校有男運動員6名，女運動員4名，其中男、女隊長各1名，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男運動員3名，女運動員2名；(2)恰有1名女運動員；(3)至少有1名女運動員；(4)隊長中至少有1人參加；(5)既要有隊長，又要有女運動員．

平面內(nèi)有12個點，其中有4個點共線，此外再無任何3點共線，以這些點為頂點，可得多少個不同的三角形？[分析]

該問題顯然可看作一個組合問題，但應注意有4個點共線這一限制條件．題型三幾何中的組合問題典例3[規(guī)律方法]

要注意從不同類型的幾何問題中抽象出組合問題，尋找一個組合的模型加以處理．處理幾何中的計數(shù)問題時要抓住“對應關系”，如不共線三點對應一個三角形，不共面四點可以確定一個四面體等．可借助于圖形思考問題，要善于利用幾何的有關性質(zhì)或特征解題．避免重復或遺漏．【對點訓練】?(1)四面體的一個頂點為

A，從其他頂點和各棱的中點中取3個點，使它們和點A在同一平面上，不同的取法有 (

)A．30種 B．33種C．36種 D．39種(2)四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，不同的取法有

(

)A．150種 B．147種C．144種 D．141種B

D

角度1不同對象分配問題 9本不同的書，在下列條件下各有多少種不同的分配方法？(1)分給甲、乙、丙三人，每人3本；(2)分為三組，每組3本；(3)分為三組，一組2本，一組3本，一組4本；(4)分給甲、乙、丙三人，一人2本，一人3本，一人4本；題型四組合應用中分組分配問題典例4(5)分為三組，一組5本，另外兩組每組2本；(6)分給甲、乙、丙三人，其中甲2本，乙3本，丙4本；(7)分給甲、乙、丙三人，其中甲4本，另外兩人中有一人2本，一人3本；(8)分給甲、乙、丙三人，其中甲得5本，另外兩人每人得2本；(9)分給甲、乙、丙三人，其中一人得5本，另外兩人每人得2本．角度2相同對象分配問題

有10個運動員名額，分給班號分別為1，2，3的3個班．(1)每班至少1個名額，有多少種分配方案？(2)每班至少2個名額，有多少種分配方案？(3)可以允許某些班級沒有名額，有多少種分配方案？[分析]

(1)直接使用隔板法計數(shù)；(2)(3)先將問題進行等價轉(zhuǎn)化，再使用隔板法計數(shù)．典例5[解析]

(1)因為10個名額沒有差別，把它們排成一排，相鄰名額之間形成9個空，在9個空中選2個位置插入“隔板”，可把名額分成3份，對應地分給3個班級，每一種插入隔板的方法對應一種分法，共有C＝36(種)分法．如圖是其中一種分法，表示分給1班，2班，3班的名額分別是2個，5個，3個．[規(guī)律方法]

1．分組、分配問題的求解策略(1)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種．①完全均勻分組，每組的元素個數(shù)均相等；②部分均勻分組，應注意不要重復，若有n組均勻，最后必須除以n！；③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復現(xiàn)象．(2)分配問題屬于“排列”問題．分配問題可以按要求逐個分配，也可以分組后再分配．【對點訓練】?(1)有30個完全相同的蘋果，分給4個不同的小朋友，每個小朋友至少分得4個蘋果，問有多少種不同的分配方案

(

)A．680

B．816

C．1360

D．1456(2)(2021·南充高二檢測)我省5名醫(yī)學專家馳援湖北武漢抗擊新冠肺炎疫情，現(xiàn)把5名專家分配到A，B，C三個集中醫(yī)療點，每個醫(yī)療點至少要分配1人，其中甲專家不去A醫(yī)療點，則不同分配種數(shù)為 (

)A．116

B．100

C．124

D．90A

B

②將分好的三組分派到三個醫(yī)療點，甲專家所在組不去A醫(yī)療點，有2種情況，再將剩下的2組分派到其余2個醫(yī)療點，有2種情況，則3個組的分派方法有2×2＝4種情況，則有25×4＝100種分配方法．易錯警示計數(shù)時重復或遺漏致錯

將4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，則恰好有1個空盒子的放法有______種(用數(shù)字作答)．典例6144

[辨析]

導致錯解的原因；錯解一是重復計數(shù)；錯解二是遺漏計數(shù)，分析如下．設4個不同的小球為a，b，c，d，從4個小球中取出3個，若取出的是a，b，c，則d與a，b，c搭配，有a，d；b，d；c，d.若取出的是b，c，d，則a與b，c，d搭配，有b，a；c，a；d，a.其中a，d與d，a是同一種情況．這就是錯解一中出錯的地方．取3個小球，若取出的是a，b，c，則d與a，b，c搭配有a，d；b，d；c，d3種情況．遺漏了a，b；b，c；a，c這3種情況．這就是錯解二中出錯的地方．課堂檢測·固雙基1．甲、乙、丙三位同學選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有 (

)A．36種 B．48種C．96種 D．192種C

2．一個口袋中裝有大小相同的6個白球和4個黑球，從中取2個球，則這兩個球同色的不同取法有 (

)A．27種 B．24種C．21種 D．18種C

3．某班組織文藝晚會，準備從A，B等7個節(jié)目中選出3個節(jié)目演出，要求A，B兩個節(jié)目中至少有一個被選中，且A，B同時選中時，它們的演出順序不能相鄰，那么不同演出順序