電動(dòng)力學(xué)第三章靜磁場(chǎng)

電動(dòng)力學(xué)第三章靜磁場(chǎng)第一頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日§3.1矢勢(shì)及其微分方程Vectorpotentialanddifferentialequation第二頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日本章重點(diǎn)：1、矢勢(shì)的引入和它滿足的微分方程、靜磁場(chǎng)的能量2、引入磁標(biāo)勢(shì)的條件及磁標(biāo)勢(shì)滿足的方程與靜電勢(shì)方程的比較3、*了解A-B效應(yīng)和超導(dǎo)體的電磁性質(zhì)本章難點(diǎn)：利用磁標(biāo)勢(shì)解決具體問(wèn)題第三頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日§1矢勢(shì)及其微分方程

Vectorpotentialanddifferentialequation

一、穩(wěn)恒電流磁場(chǎng)的矢勢(shì)1．穩(wěn)恒電流磁場(chǎng)的基本方程穩(wěn)恒電流磁場(chǎng)：傳導(dǎo)電流（即運(yùn)動(dòng)電荷）產(chǎn)生的不隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)。基本方程第四頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日本節(jié)僅討論情況，即非鐵磁的均勻介質(zhì)。這種情況靜電場(chǎng)和磁場(chǎng)可以分離，不發(fā)生直接聯(lián)系。由此可看出，磁場(chǎng)的特點(diǎn)和電場(chǎng)不同。靜電場(chǎng)是無(wú)旋的，即引入標(biāo)勢(shì)φ來(lái)描述。而磁場(chǎng)是有旋的，一般不能引入一個(gè)標(biāo)勢(shì)來(lái)描述整個(gè)空間的磁場(chǎng)，但由于磁場(chǎng)是無(wú)源的，可以引入一個(gè)矢量來(lái)描述它?；痉匠痰谖屙?yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日2．矢勢(shì)的引入及意義靜電場(chǎng)（a）矢勢(shì)的物理意義：穩(wěn)恒電流磁場(chǎng)其中S是以回路L為邊界的任一閉合曲面稱為磁場(chǎng)的矢勢(shì)。根據(jù)斯托克斯定理，可得到第六頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日由此可看到矢勢(shì)的物理意義是：

矢勢(shì)沿任一閉合回路的環(huán)量代表通過(guò)以該回路為界的任一曲面的磁通量。（b）磁通量只與曲面L的邊界有關(guān)，與其具體形狀無(wú)關(guān)而每點(diǎn)的A無(wú)直接物理意義。第七頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日令可減少矢勢(shì)的任意性滿足的方程？３、矢勢(shì)的不唯一性②矢勢(shì)可確定磁場(chǎng)，但由并不能唯一地確定，這是因?yàn)閷?duì)任意函數(shù)。即和對(duì)應(yīng)于同一個(gè)，的這種任意性是由于的環(huán)量才有物理意義的決定的。第八頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日二．矢勢(shì)滿足的方程及方程的解由于，引入，在均勻線性介質(zhì)內(nèi)有，將這些代入到中，即若滿足庫(kù)侖規(guī)范條件，得矢勢(shì)的微分方程第九頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日（1）穩(wěn)恒電流磁場(chǎng)矢勢(shì)滿足(矢量)泊松方程（2）與靜電場(chǎng)中形式相同（3）矢勢(shì)為無(wú)源有旋場(chǎng)中的物理量其直角分量：這是大家熟知的Pisson'sequation第十頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日2．矢勢(shì)的形式解由此可見(jiàn)，矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)在靜場(chǎng)時(shí)滿足同一形式的方程，對(duì)此靜電勢(shì)的解。可得到矢量的特解：已知電流密度，可從方程直接積分求解，但一般電流分布與磁場(chǎng)相互制約，因此一般情況需要求解矢量泊松方程。第十一頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日3．的解這正是畢奧--薩伐爾定律線電流時(shí)當(dāng)全空間中電流給定時(shí)，即可計(jì)算磁場(chǎng)，對(duì)于電流和磁場(chǎng)互相制約的問(wèn)題，則必須解微分方程的邊值問(wèn)題。第十二頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日4．的邊值關(guān)系*磁場(chǎng)的邊值關(guān)系（a）12Δl第十三頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日即在兩介質(zhì)分界面上，矢勢(shì)是連續(xù)的。（b）第十四頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日①若分界面為柱面，柱坐標(biāo)系中當(dāng) ②若分界面為球面，當(dāng)zxyxzy特殊情況：第十五頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日5．矢量泊松方程解的唯一性定理定理：給定V內(nèi)傳導(dǎo)電流和V邊界S上的或V內(nèi)穩(wěn)恒電流磁場(chǎng)由和邊界條件唯一確定。第十六頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日三．穩(wěn)恒電流磁場(chǎng)的能量已知均勻介質(zhì)中總能量為1．在穩(wěn)恒場(chǎng)中有

②不是能量密度。

能量分布在磁場(chǎng)內(nèi)，不僅分布在電流區(qū)。因?yàn)槟芰糠植加诖艌?chǎng)中，而不僅僅存在于電流分布區(qū)域內(nèi)。另外，能量式中的是由電流激發(fā)的。第十七頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日③

導(dǎo)出過(guò)程第十八頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.

電流分布在外磁場(chǎng)中的相互作用能最后一項(xiàng)稱為相互作用能，記為，可以證明：作業(yè)（131頁(yè)）：1，3,5，設(shè)為外磁場(chǎng)電流分布，為外磁場(chǎng)的矢勢(shì)；為處于外磁場(chǎng)中的電流分布，它激發(fā)的場(chǎng)的矢勢(shì)為。總能量：第十九頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日[例1]無(wú)窮長(zhǎng)直導(dǎo)線載電流I，求空間的矢勢(shì)和磁場(chǎng)。ozdzRP↑I取導(dǎo)線沿z軸，設(shè)p點(diǎn)到導(dǎo)線的垂直距離為R，電流元Idz到p點(diǎn)距離為5、舉例討論用計(jì)算Solution:因此得到r第二十頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日積分結(jié)果是無(wú)窮大（發(fā)散的）。計(jì)算兩點(diǎn)的矢勢(shì)差值可以免除發(fā)散，若取R0點(diǎn)的矢勢(shì)值為零，則第二十一頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日亦即0每項(xiàng)相乘后，再二次項(xiàng)展開(kāi)得故第二十二頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日取的旋度，得到0結(jié)果與電磁學(xué)求解一致。第二十三頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日Solution:

zyxP(R,θ,φ')Rraoθφ'(a,φ',o)[例2]*半徑為a的導(dǎo)線圓環(huán)載電流為I，求空間的矢勢(shì)和磁感應(yīng)強(qiáng)度。首先求解矢勢(shì)第二十四頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日由于問(wèn)題具有軸對(duì)稱性，可以把觀察點(diǎn)選在xz平面上，這樣的好處是φ'=0，故只與r，θ有關(guān)。即得其中yxzP(x,o,z

)Rraoθφ'(a,φ',o)第二十五頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日因此得到：在圖上分析有zyxP(R,θ,φ')Rraoθφ'(a,φ',o)第二十六頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日作變換：令第二十七頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日于是有這樣第二十八頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日令，則有考慮一般情況，這里的y方向?qū)嶋H上就是方向，因第二十九頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日此上式可改為：第三十頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日令故磁感應(yīng)強(qiáng)度的嚴(yán)格表達(dá)式為這里Κ(k),Ε(k)分別為第一、第二類橢園積分。從而得到第三十一頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日討論：對(duì)于遠(yuǎn)場(chǎng)，由于R>>a，且有第三十二頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日當(dāng)R>>a情況下，上式分母展開(kāi)為：第三十三頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日若R>>a，且于是得到第三十四頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日于是磁感應(yīng)強(qiáng)度為第三十五頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日可見(jiàn)，對(duì)于一個(gè)園電流環(huán)，在遠(yuǎn)處所激發(fā)的磁場(chǎng)，相當(dāng)于一個(gè)磁矩為的磁偶極子激發(fā)的場(chǎng)。第三十六頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日ClassisOver!Thankyou!Boysandgirls!第三十七頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第三章第二節(jié)磁標(biāo)勢(shì)Magneticscalarpotential大連民族學(xué)院理學(xué)院鄭建洲第三十八頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

本節(jié)所研究的問(wèn)題是避開(kāi)由矢勢(shì)求磁感應(yīng)強(qiáng)度不便的問(wèn)題。類比于靜電場(chǎng)，引入磁標(biāo)勢(shì)。然后討論所滿足的微分方程，繼而討論靜磁問(wèn)題的唯一性定理。第三十九頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日§2.磁標(biāo)勢(shì)原因：靜電力作功與路徑無(wú)關(guān)，引入的電勢(shì)是單值的；而靜磁場(chǎng)一般不為零，即靜磁場(chǎng)作功與路徑有關(guān)，即使在能引入的區(qū)域標(biāo)勢(shì)一般也不是單值的。一．引入磁標(biāo)勢(shì)的兩個(gè)困難2．在電流為零區(qū)域引入磁標(biāo)勢(shì)可能非單值。1．磁場(chǎng)為有旋場(chǎng)，不能在全空間引入標(biāo)勢(shì)。第四十頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日二．引入磁標(biāo)勢(shì)的條件語(yǔ)言表述：引入?yún)^(qū)域?yàn)闊o(wú)自由電流分布的單連通域。討論：1）在有電流的區(qū)域必須根據(jù)情況挖去一部分區(qū)域；2）若空間僅有永久磁鐵，則可在全空間引入。用公式表示顯然只能在區(qū)域引入，且在引入?yún)^(qū)域中任何回路都不能與電流相鏈環(huán)。第四十一頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日三．磁標(biāo)勢(shì)滿足的方程1．引入磁標(biāo)勢(shì)區(qū)域磁場(chǎng)滿足的場(chǎng)方程

不僅可用于均勻各向同性非鐵磁介質(zhì)，而且也可討論鐵磁介質(zhì)或非線性介質(zhì)。第四十二頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日2．引入磁標(biāo)勢(shì)與電介質(zhì)中極化電荷密度的表達(dá)式類比，可以假想磁荷密度為于是，得到與電介質(zhì)中的靜電場(chǎng)方程類似的形式類比靜電場(chǎng)方程第四十三頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日3．滿足的泊松方程4．邊值關(guān)系第四十四頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日四．靜電場(chǎng)與靜磁場(chǎng)方程的比較靜磁場(chǎng)靜電場(chǎng)第四十五頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日靜電勢(shì)與磁標(biāo)勢(shì)的差別：

因?yàn)榈侥壳盀橹箤?shí)驗(yàn)上還未真正發(fā)現(xiàn)以磁單極形式存在的自由磁荷。對(duì)靜磁場(chǎng)人們認(rèn)為分子電流具有磁偶極矩，它們由磁荷構(gòu)成，不能分開(kāi)。

靜電場(chǎng)可在全空間引入，無(wú)限制條件；靜磁場(chǎng)要求在無(wú)自由電流分布的單連通域中才能引入。②靜電場(chǎng)中存在自由電荷，而靜磁場(chǎng)無(wú)自由磁荷。注意：在處理同一問(wèn)題時(shí)，磁荷觀點(diǎn)與分子電流觀點(diǎn)不能同時(shí)使用。③

雖然磁場(chǎng)強(qiáng)度與電場(chǎng)強(qiáng)度表面上相對(duì)應(yīng)，但從物理本質(zhì)上看只有磁感應(yīng)強(qiáng)度才與電場(chǎng)強(qiáng)度地位相當(dāng)。描述宏觀磁場(chǎng)，磁場(chǎng)強(qiáng)度僅是個(gè)輔助量。第四十六頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日當(dāng)所考慮的區(qū)域是單連通的，其中沒(méi)有傳導(dǎo)電流分布時(shí)，可引入磁標(biāo)勢(shì)，通過(guò)和靜電學(xué)問(wèn)題的唯一性定理同樣的推導(dǎo)，可得出靜磁問(wèn)題的唯一性定理：如果可均勻分區(qū)的區(qū)域V中沒(méi)有傳導(dǎo)電流分布，只要在邊界S上給出下列條件之一，則V內(nèi)磁場(chǎng)唯一地確定：a)磁標(biāo)勢(shì)之值b)磁場(chǎng)強(qiáng)度的法向分量c)磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量五、靜磁問(wèn)題的唯一性定理第四十七頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日六、磁標(biāo)勢(shì)的應(yīng)用舉例[例1]

證明μ→∞的磁性物質(zhì)表面為等磁勢(shì)面。

Solution:

角標(biāo)1代表磁性物質(zhì)、角標(biāo)2為真空12由磁場(chǎng)邊界條件：以及可得到法向和切向分量為第四十八頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日兩式相除，得因此，在該磁性物質(zhì)外面，H2與表面垂直（切向分量與法向分量之比→0)，因而表面為等磁勢(shì)面。第四十九頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日[例2]求磁化矢量為的均勻磁化鐵球產(chǎn)生的磁場(chǎng)。鐵球內(nèi)外為兩均勻區(qū)域，在鐵球外沒(méi)有磁荷分布()，在鐵球內(nèi)由于均勻磁化,而=0，因此磁荷只能分布在鐵球表面上，故球內(nèi)、外磁勢(shì)都滿足Laplace’sequation.Solution:第五十頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日由于軸對(duì)稱性，極軸沿方向，上式解的形式為：球外磁標(biāo)勢(shì)必隨距離r增大而減小，即球內(nèi)磁標(biāo)勢(shì)當(dāng)r=0時(shí)必為有限，即故有：第五十一頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日由鐵球表面邊界條件當(dāng)r=R0時(shí)：第五十二頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日由邊界條件得：設(shè)球外為真空，則第五十三頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日當(dāng)n=1時(shí)，有比較的系數(shù)：當(dāng)時(shí)，有所以第五十四頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日從而得到鐵球內(nèi)、外的磁場(chǎng)強(qiáng)度為第五十五頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日其中：把取在方向上，即有可見(jiàn)鐵球外的磁場(chǎng)相當(dāng)于一個(gè)磁偶極子所激發(fā)的場(chǎng)。第五十六頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日線總是閉合的，線且不然，線是從右半球面上的正磁荷發(fā)出，終止于左半球面的負(fù)磁荷上。在鐵球內(nèi)，與反向。說(shuō)明磁鐵內(nèi)部的與是有很大差異的。進(jìn)一步討論：線是閉合的線由正磁荷發(fā)出到負(fù)磁荷止第五十七頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日例題3.設(shè)x<0半空間充滿磁導(dǎo)率為的均勻介質(zhì)，x>0的半空間為真空。有線電流I沿z軸流動(dòng)。求磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁化電流分布。xyz設(shè)x<0,；x>0，。它們均滿足拉普拉斯方程。在柱坐標(biāo)中：解：將線電流表面及x=0,y>0的界面挖去磁化電流Im在z軸,介質(zhì)面上無(wú)磁化電流?？臻g磁場(chǎng)由I、Im共同決定。磁場(chǎng)應(yīng)正比于1/r，與z、無(wú)關(guān)。因H正比于1/r常數(shù)選

設(shè)第五十八頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日確定常數(shù)：由安培環(huán)路定理：代入即可得到解。然后利用得磁化電流書(shū)中例3自學(xué)，作業(yè)：9、10、11*、13*、14*第五十九頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日第三章第四節(jié)阿哈羅夫-玻姆效應(yīng)第五節(jié)超導(dǎo)體的電磁性質(zhì)間接第六十頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日§3.4*阿哈羅夫-玻姆（A-B）效應(yīng)1959年阿哈羅夫-玻姆提出在量子力學(xué)可適用的微觀態(tài)中和有可觀測(cè)的物理效應(yīng)，這一效應(yīng)被稱為A-B效應(yīng)。

A-B效應(yīng)表明，在量子物理中磁場(chǎng)的物理效應(yīng)不能完全用來(lái)描述，矢勢(shì)可以對(duì)電子發(fā)生相互作用。但是由于的任意性，用它描述磁場(chǎng)顯然又過(guò)多。第六十一頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日帶有螺線管電子衍射實(shí)驗(yàn)：條紋發(fā)生變化矢勢(shì)可以對(duì)電子發(fā)生相互作用。A-B效應(yīng)表明，在量子物理中磁場(chǎng)的物理效應(yīng)不能完全用B來(lái)描述，矢勢(shì)A可以對(duì)電子發(fā)生相互作用,影響電子相位，條紋發(fā)生變化。第六十二頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日

帶有螺線管電子衍射實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，能夠完全且恰當(dāng)?shù)拿枋龃艌?chǎng)的物理量是相因子：。若L為可縮小到一點(diǎn)的無(wú)窮小路徑，則因此相因子描述等價(jià)于局域磁場(chǎng)的描述。但是當(dāng)L為不能縮小到一點(diǎn)的路徑時(shí)，則相因子所包含的物理信息就不能用局域場(chǎng)描述。第六十三頁(yè)，共六十八頁(yè)，編輯于2023年，星期日§3.5*超導(dǎo)體的電磁性質(zhì)

一些元素、化合物、合金等，當(dāng)溫度下降到某臨界值以下時(shí)，電阻率下降為零的現(xiàn)