數(shù)學（江蘇專用理科提高版）大一輪復習自主學習第75課矩陣的運算

第75課矩陣的運算【自主學習】第75課矩陣的運算(本課時對應同學用書第193~195頁)自主學習回歸教材1.(選修42P83復習題1(5)改編)矩陣A=，矩陣B=，計算AB.【解答】AB==.2.(選修42P65習題6改編)二階矩陣X滿意X=，求二階矩陣X.【解答】設二階矩陣X=，那么=，所以解得所以二階矩陣X=.3.(選修42P65習題6改編)矩陣A=，B=，滿意AX=B，求矩陣X.【解答】設X=，由=，得解得所以X=.4.(選修42P58例6改編)矩陣A=，求逆矩陣A1.【解答】由于|A|==2×21=3≠0，所以A1==.5.(選修42P57例5改編)用逆矩陣學問解方程組【解答】由于所以設X=，A=，B=，那么AX=B，且A1=，所以X=A1B==，所以1.矩陣乘法的運算法那么是=.2.矩陣乘法MN的幾何意義為對向量連續(xù)實施的兩次幾何變換(先TN后TM)的復合變換.留意變換的先后挨次，不能隨便交換.如A=，B=，計算AB，BA，并推斷AB與BA是否相等.AB==，BA==，所以AB與BA不相等.3.矩陣乘法滿意結(jié)合律，但不滿意交換律和消去律.如計算：(1)X=；(2)X=.(1)【解答】X===.(2)【解答】X===.4.對于二階矩陣A，B，假設有AB=BA=E，那么稱A是可逆的，B稱為A的逆矩陣.從幾何變換的角度可以看出，逆矩陣實際上就是對應著原先變換的逆變換.假設B為A的逆矩陣，那么A是B的逆矩陣，并且假設逆矩陣存在，那么肯定是唯一的.并不是全部矩陣都有逆矩陣，事實上，矩陣可逆當且僅當其對應的行列式不等于零.5.假設二階矩陣A，B均存在逆矩陣，那么AB也存在逆矩陣，且(AB)1=B1A1，這個結(jié)論可以推廣到多個的情形，假設A，B，C均可逆，那么(ABC)1=C1B1A1.6.A，B，C均為二階矩陣，且AB=AC，假設矩陣A存在逆矩陣，那么B=C.【要點導學】要點導學各個擊破矩陣的乘法例1設A=，B=，假設AB=BA，求實數(shù)k的值.【思維引導】一般矩陣相乘都是不行交換的，能相互交換次序的矩陣必需具備特別的形式.為解決這個問題，不妨設B是與A可交換的矩陣，可將其形式設出來，利用AB=BA，求出需待定的參數(shù).【解答】由于AB=，BA=，由AB=BA，得k=3.【精要點評】嫻熟把握二階矩陣乘法的運算法那么是進行矩陣乘法的關(guān)鍵，需要指出的是，一般地，不肯定有AB=BA成立.矩陣乘法的幾何意義是矩陣所對應的變換的復合，同樣兩個變換的復合在一般情形之下是不行以交換的.例2△ABC的頂點坐標分別為A(1，0)，B(3，0)，C(2，1)，對它先作關(guān)于x軸的反射變換，再將所得圖形繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°.(1)分別求兩次變換所對應的矩陣M1，M2；(2)求點A，C在兩次連續(xù)的變換作用下所得到的點A'，C'所在直線的方程.【解答】(1)M1=，M2=.(2)令M=M2M1==，所以M==，M==.故點A，C在兩次連續(xù)的變換作用下所得到的點A'，C'的坐標分別是(0，1)，(1，2)，所以A'，C'所在直線的方程是y=3x1.變式(2014·江蘇模擬)矩陣A=，B=，假設矩陣AB對應的變換把直線l：x+y2=0變?yōu)橹本€l'，求直線l'的方程.【解答】AB==.在直線l上任取一點P(x'，y')，經(jīng)矩陣AB對應的變換變?yōu)辄cQ(x，y)，那么==，所以即代入x'+y'2=0，得xy+2=0，所以直線l'的方程為4x+y8=0.求逆矩陣例3(2014·蘇州暑假調(diào)查)矩陣A=，B=，求矩陣A1B.【思維引導】利用待定系數(shù)的方法或公式法求出矩陣A的逆矩陣，再求出矩陣A1B.【解答】設矩陣A的逆矩陣為，那么=，即=，故a=，b=0，c=0，d=1，從而A1=，所以A1B==.【精要點評】求逆矩陣常見的方法：(1)用待定系數(shù)法求逆矩陣：設A是一個二階可逆矩陣，AB=BA=E；(2)公式法：=adbc，記為det(A)，有A1=，當且僅當det(A)=adbc≠0時成立；(3)從幾何變換的角度求解二階矩陣乘法的逆矩陣；(4)(AB)1=B1A1.變式(2015·南通期末)矩陣M=的逆矩陣M1=，求實數(shù)m，n的值.【解答】由MM1===，所以解得例4(2015·福建卷)矩陣A=，B=.(1)求矩陣A的逆矩陣A1；(2)求矩陣C，使得AC=B.【解答】(1)由于|A|=2×31×4=2，所以A1==.(2)由AC=B得(A1A)C=A1B，故C=A1B==.解方程組例5用矩陣方法求二元一次方程組的解.【思維引導】用矩陣方法解方程組首先將方程組表示成AX=B，然后兩邊左，乘矩陣A的逆矩陣A1即可求解.【解答】方程組可以寫成=.令M=，其行列式=3×13×(2)=9≠0，所以M1=，所以=M1==.【精要點評】一般地，方程組可以表示成=，簡寫成AX=B，A1AX=A1BX=A1B.變式(2014·江蘇模擬)(1)求矩陣A=的逆矩陣；(2)利用逆矩陣學問解方程組【解答】(1)設逆矩陣為A1=，那么由=，得解得所以A1=.(2)X==A1B==，即1.矩陣的逆矩陣為.【答案】2.設M=，利用逆矩陣求矩陣M.【解答】由題設知的逆矩陣為，從而M=·=.3.假設=，求實數(shù)a，b，c，d的值.【解答】由于=，所以=，故解得a=1，b=4，c=d=1.4.(2015·無錫期末)矩陣M=.(1)求矩陣M的逆矩陣M1；(2)求直線y=2x在矩陣M1對應的變換作用下的曲線方程.【解答】(1)由于M=，所以M1=.(2)設點P(x，y)是曲線y=2x上任意一點，在矩陣M1對應的變換作用下得到點Q(x'，y')，那么==，所以即由于點P在直線y=2x上，于是2y'=2×x'，所以2y'=x'，即直線y=2x在矩陣M1對應的變換作用下的曲線方程為y=x.趁熱打鐵，事半功倍.請老師布置同學們完成?配套檢測與評估?中的練習第149~150頁.【檢測與評估】第75課矩陣的運算1．求矩陣A=的逆矩陣A1．2．矩陣A=，B=，求矩陣A1B.3．矩陣A的逆矩陣A1=，求矩陣A.4．矩陣A=，B=.(1)求矩陣A的逆矩陣A1；(2)求直線x+y1=0在矩陣A1B對應的變換作用下得到的直線方程.5．(2015·泰州二模)矩陣A=，矩陣B=，直線l1：xy+4=0在矩陣A對應的變換作用下得到直線l2，直線l2又在矩陣B對應的變換作用下得到直線l3：x+y+4=0.(1)求a，b的值；(2)求直線l2的方程.6．矩陣A=，B=，向量α=，x，y為實數(shù).假設Aα=Bα，求x+y的值.7．(2015·泰州期末)矩陣A=，B=，假設矩陣AB1對應的變換把直線l變?yōu)橹本€l'：x+y2=0，求直線l的方程.8．矩陣A=，向量β=，求向量α，使得A2α=β.【檢測與評估答案】第75課矩陣的運算1．設A1=，那么=，即=，所以解得所以A1=.2．設矩陣A的逆矩陣為，那么=，即=，故a=1，b=0，c=0，d=，從而A的逆矩陣A1=，所以A1B==.3．設A=，那么由AA1=E，得=，解得所以A=.4．(1)設A1=，那么=，解得a=3，b=1，c=2，d=1，所以A1=.(2)A1B=.設直線上任意一點為P(x0，y0)，變換后的點為P'(x0'，y0')，那么=，所以即所以x0'+3y0'y0'1=0，即x0'+2y0'1=0，故所求直線方程為x+2y1=0.5．(1)BA==.設P(x，y)是l1上的任意一點，其在BA作用下對應的點為(x'，y')，所以=，即又(x'，y')在直線l3上，所以2ax+by+4=0，即為直線l1：xy+4=0，所以a=，b=1．(2)由(1)知B=，同理可得直線l2的方程為2yx+4=0，即x2y4=0.6．由得Aα==，Bα==.由于Aα=Bα，所以=，故解得所以x