2023屆備考復(fù)習(xí)基本不等式

第2講：基本不等式班級(jí)：姓名：學(xué)號(hào)：（一）基礎(chǔ)知識(shí)回顧：1.定理1.如果a,b,那么，（當(dāng)且僅當(dāng)_______時(shí)，等號(hào)成立）.2.定理2（基本不等式）：如果a,b>0,那么______________（當(dāng)且僅當(dāng)_______時(shí)，等號(hào)成立）.稱_______為a,b的算術(shù)平均數(shù)，_____為a,b的幾何平均數(shù)。3.幾個(gè)重要的不等式(1)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．(2)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．4.利用基本不等式求最大（?。┲禃r(shí)，要注意的問題：（一“正”；二“定”；三“相等”）即:（1）和、積中的每一個(gè)數(shù)都必須是正數(shù)；（2）求積的最大值時(shí)，應(yīng)看和是否為定值；求和的最小值時(shí)，應(yīng)看積是否為定值，；簡(jiǎn)記為：和定積最_____，積定和最______.（3）只有等號(hào)能夠成立時(shí)，才有最值。已知都是正數(shù)，則有(1)如果積是定值，那么當(dāng)時(shí)和有最小值；(2)如果和是定值，那么當(dāng)時(shí)積有最大值.（二）例題分析：1.基本不等式簡(jiǎn)單運(yùn)用例1.已知a,b,下列不等式中不正確的是（）（A）（B）（C）（D）變式1.在下列函數(shù)中最小值為的函數(shù)是（）例2.（2009湖南卷文）若，則的最小值為.變式1.若為實(shí)數(shù)，且，則的最小值是（） （A）18 （B）6 （C） （D）變式2.（2009重慶卷文）已知，則的最小值是（）A．2 B． C．4 D．52.基本不等式靈活運(yùn)用例2．（1）的值域是_________________________.（2）的值域是_________________________.（3）函數(shù)的值域是_________________________.變式1．(2006陜西)設(shè)x,y為正數(shù),則的最小值為()A.6B.9C.12例3.已知正數(shù)、滿足，求的最小值．變式1．函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線上，其中，求的最小值。例4.（2007上海）已知，且，則的最大值為變式1.已知，且。求的最大值及相應(yīng)的值。3.基本不等式解應(yīng)用題例5．（2006天津）某公司一年購(gòu)買某種貨物400噸，每次都購(gòu)買噸，運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬(wàn)元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則_______噸．變式1.（2009湖北卷文）圍建一個(gè)面積為360m2的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m（Ⅰ）將y表示為x的函數(shù)：（Ⅱ）試確定x,使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用。基本不等式課后作業(yè)：1.設(shè)且則必有()(A)(B)(C)(D)2．下列結(jié)論正確的是 ()A.當(dāng)且時(shí)，B.時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，的最小值為2D.時(shí)，無最大值3.若，，，，則下列不等式成立的是（）4.設(shè)正數(shù)、滿足，則的最大值是（）5.已知a,b為正實(shí)數(shù)，且的最小值為（） A． B．6 C．3－ D．3+6.（2009天津卷理）設(shè)若的最小值為（）A8B4C1D9、（2009韶關(guān)一模）①；②“且”是“”的充要條件；③函數(shù)的最小值為其中假命題的為_________（將你認(rèn)為是假命題的序號(hào)都填上）8.函數(shù)的最小值是．9.已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足關(guān)系式,則的最大值是_____________.10.已知，則的最大值是11.若正數(shù)滿足，則的取值范圍是12.（08廣東文17）某單位用2160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層，每層2000平方米的樓層.經(jīng)測(cè)算，如果將樓層建為（）層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為（單位：元）.（1）為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？（2）若時(shí)，為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？（注：平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用＋平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用）13.（2005北京）經(jīng)過長(zhǎng)期觀測(cè)得到：在交通繁忙的時(shí)段內(nèi)，某公路段汽車的車流量（千輛/小時(shí)）與汽車的平均速度（千米/小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為：。（1）在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度為多少時(shí)，車流量最大？最大車流量為多少？（精確到千輛/小時(shí)）（2）若要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過10千輛/小時(shí)，則汽車站的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？14.設(shè)計(jì)一幅宣傳畫，要求畫面面積為，畫面的寬與高的比為，畫面的上、下各留空白，左、右各留空白。（1）怎樣確定畫面的高與寬的尺寸，能使宣傳畫所用紙張面積最?。浚?）如果要求，那么為何值時(shí)，能使宣傳畫所用紙張面積最小？第2講：基本不等式班級(jí)：姓名：學(xué)號(hào)：（一）基礎(chǔ)知識(shí)回顧：1.定理1.如果a,b,那么，（當(dāng)且僅當(dāng)_______時(shí)，等號(hào)成立）.2.定理2（基本不等式）：如果a,b>0,那么______________（當(dāng)且僅當(dāng)_______時(shí)，等號(hào)成立）.稱_______為a,b的算術(shù)平均數(shù)，_____為a,b的幾何平均數(shù)。3.幾個(gè)重要的不等式(1)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．(2)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“=”號(hào))．4.利用基本不等式求最大（?。┲禃r(shí)，要注意的問題：（一“正”；二“定”；三“相等”）即:（1）和、積中的每一個(gè)數(shù)都必須是正數(shù)；（2）求積的最大值時(shí)，應(yīng)看和是否為定值；求和的最小值時(shí)，應(yīng)看積是否為定值，；簡(jiǎn)記為：和定積最_____，積定和最______.（3）只有等號(hào)能夠成立時(shí)，才有最值。已知都是正數(shù)，則有(1)如果積是定值，那么當(dāng)時(shí)和有最小值；(2)如果和是定值，那么當(dāng)時(shí)積有最大值.（二）例題分析：1.基本不等式簡(jiǎn)單運(yùn)用例1.已知a,b,下列不等式中不正確的是（）（A）（B）（C）（D）變式1.在下列函數(shù)中最小值為的函數(shù)是（）例2.（2009湖南卷文）若，則的最小值為.答案2解析，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).變式1.若為實(shí)數(shù)，且，則的最小值是（） （A）18 （B）6 （C） （D）變式2.（2009重慶卷文）已知，則的最小值是（C）A．2 B． C．4 D．52.基本不等式靈活運(yùn)用例2．（1）的值域是_________________________.（2）的值域是_________________________.（3）函數(shù)的值域是_________________________.變式1．(2006陜西)設(shè)x,y為正數(shù),則的最小值為()A.6B.9C.12答案B解析x，y為正數(shù)，≥≥9，選B.例3.已知正數(shù)、滿足，求的最小值．變式1．函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線上，其中，求的最小值。答案8例4.（2007上海）已知，且，則的最大值為變式1.已知，且。求的最大值及相應(yīng)的值。3.基本不等式解應(yīng)用題例5．（2006天津）某公司一年購(gòu)買某種貨物400噸，每次都購(gòu)買噸，運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬(wàn)元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則_______噸．解析某公司一年購(gòu)買某種貨物400噸，每次都購(gòu)買噸，則需要購(gòu)買次，運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬(wàn)元，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為萬(wàn)元，≥160，當(dāng)即20噸時(shí)，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小。變式1.（2009湖北卷文）圍建一個(gè)面積為360m2的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m（Ⅰ）將y表示為x的函數(shù)：Ⅱ）試確定x,使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用。解：（1）如圖，設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為am則-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=,所以y=225x+(II).當(dāng)且僅當(dāng)225x=時(shí)，等號(hào)成立.即當(dāng)x=24m時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是10440元.基本不等式課后作業(yè)：1.設(shè)且則必有()(A)(B)(C)(D)2．下列結(jié)論正確的是 (B)A.當(dāng)且時(shí)，B.時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，的最小值為2D.時(shí)，無最大值3.若，，，，則下列不等式成立的是（）4.設(shè)正數(shù)、滿足，則的最大值是（）5.已知a,b為正實(shí)數(shù)，且的最小值為（） A． B．6 C．3－ D．3+答案D6.（2009天津卷理）設(shè)若的最小值為（）A8B4C1D【考點(diǎn)定位】本小題考查指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化，以及均值不等式求最值的運(yùn)用，考查了變通能力?！窘馕觥恳?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“=”成立，故選擇C9、（2009韶關(guān)一模）①；②“且”是“”的充要條件；③函數(shù)的最小值為其中假命題的為_________（將你認(rèn)為是假命題的序號(hào)都填上）答案①8.函數(shù)的最小值是．9.已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足關(guān)系式,則的最大值是_____________.10.已知，則的最大值是11.若正數(shù)滿足，則的取值范圍是12.（08廣東文17）某單位用2160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層，每層2000平方米的樓層.經(jīng)測(cè)算，如果將樓層建為（）層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為（單位：元）.（1）為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？（2）若時(shí)，為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？（注：平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用＋平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用）解：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為元，依題意得則，令，即，解得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)時(shí)，取得最小值，元.答：為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為15層。13.（2005北京）經(jīng)過長(zhǎng)期觀測(cè)得到：在交通繁忙的時(shí)段內(nèi)，某公路段汽車的車流量（千輛/小時(shí)）與汽車的平均速度（千米/小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為：。（1）在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度為多少時(shí)，車流量最大？最大車流量為多少？（精確到千輛/小時(shí)）（2）若要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過10千輛/小時(shí)，則汽車站的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？解：（Ⅰ）依題意，（Ⅱ）由條件得整理得v2－89v+1600<0,即（v－25）（v－64）<0,解得25<v<64.答：當(dāng)v=40千米/小時(shí)，車流量最大，最大車流量約為11.1千輛/小時(shí).如果要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過10千輛/小時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)大于25千米/小時(shí)且小于64千米14.設(shè)計(jì)一幅宣傳畫，要求畫面面積為，畫面的寬與高的比為，畫面的上、下各留空白，左、右各留空白。（1）怎樣確定畫面的高與寬的尺寸，能使宣傳畫所用紙張面積最小？（2）如果要求，那么為何值時(shí)，能使宣傳畫所用紙張面積最小？解：設(shè)畫面高為xcm，寬為λxcm，則λx2=4840．設(shè)紙張面積為S，有S=(x＋16)(λx＋10)=λx2＋(16λ＋10)x＋160，將代入上式，得．當(dāng)時(shí)，即時(shí)，S取得最小值．此時(shí)，高：，寬：．答：畫面高為88cm，寬為55cm補(bǔ)充題3、(四川省成都市新都一中高2008級(jí)一診適應(yīng)性測(cè)試)若且，則下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．

答案D5、在下列函數(shù)中，最小值是4的是（）（A）（B）（C）（D）2.（2004湖南理）設(shè)a＞0,b＞0，則以下不等式中不恒成立的是（）（A）≥4（B）≥（C）≥（D）≥2、(2008江西省五校2008屆高三開學(xué)聯(lián)考)已知正整數(shù)滿足，使得取最小值時(shí)，則實(shí)數(shù)對(duì)（是（）A．(5，10） B．（6，6） C．（10，5） D．（7，2）答案A5．（2005福建文）下列結(jié)論正