控制理論(狀態(tài)空間表達(dá)式)

章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式2021/5/91§1-1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式§1-0概述§1-2狀態(tài)空間表達(dá)式的建立§1-3狀態(tài)向量的線性變換§1-4從狀態(tài)空間表達(dá)式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣§1-5離散時間系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式§1-6時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式§1-1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式§1-0概述2021/5/92§1-0概述

§1-1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式§1-2狀態(tài)空間表達(dá)式的建立§1-3狀態(tài)變量的線性變換§1-4從狀態(tài)空間表達(dá)式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)§1-5離散時間系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式§1-6時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式2021/5/93§1–0概述

在經(jīng)典控制理論中，對一個線形定常系統(tǒng)，可用常微分方程或傳遞函數(shù)加以描述，可將某個單變量作為輸出，直接和輸入聯(lián)系起來．實際上系統(tǒng)除了輸出量這個變量之外，還包含有其他獨(dú)立變量，而微分方程或傳遞函數(shù)對這些內(nèi)部的中間變量是不便描述的，因而不能包含系統(tǒng)的所有信息．

2021/5/94

在用狀態(tài)空間法分析系統(tǒng)時，系統(tǒng)的動態(tài)特性是用由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組來描述的．它能反映系統(tǒng)的全部獨(dú)立變量的變化，從而能同時確定系統(tǒng)的全部內(nèi)部運(yùn)動狀態(tài)，而且還可以方便地處理初始條件．這樣，在設(shè)計控制系統(tǒng)時，不再只局限于輸入量，輸出量，誤差量，為提高系統(tǒng)性能提供了有力的工具．2021/5/95§1-0概述§1-1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式

§1-2狀態(tài)空間表達(dá)式的建立§1-3狀態(tài)變量的線性變換§1-4從狀態(tài)空間表達(dá)式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)§1-5離散時間系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式§1-6時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式2021/5/96足以完全表征系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的最小個數(shù)的一組變量為狀態(tài)變量.一個用n階微分方程描述的系統(tǒng),就有n個獨(dú)立變量,當(dāng)n個獨(dú)立變量的時間響應(yīng)都求得時,系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)就被揭示無疑了.因此可以說該系統(tǒng)的狀態(tài)變量就是n階系統(tǒng)的n個獨(dú)立變量.一．狀態(tài)變量§１－１狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式2021/5/97同一系統(tǒng)中,究竟選取哪些變量作為獨(dú)立變量,這不是唯一的,重要的是這些變量應(yīng)該是相互獨(dú)立的,且其個數(shù)應(yīng)等于微分方程的階數(shù);又由于微分方程的階數(shù)唯一的取決于系統(tǒng)中獨(dú)立儲能元件的個數(shù),因此狀態(tài)變量的個數(shù)就應(yīng)等于系統(tǒng)獨(dú)立儲能元件的個數(shù).2021/5/98狀態(tài)變量是既足以完全確定系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)而個數(shù)又是最小的一組變量，當(dāng)其在t=to時刻的值已知，則在給定t≥to時間的輸入作用下，便能完全確定系統(tǒng)在任何t≥to時間的行為．眾所周知，n階微分方程式要有唯一的解，必須知道n個獨(dú)立的初始條件，很明顯，這個獨(dú)立的初始條件就是一組狀態(tài)變量在初始時刻的值．2021/5/99二．狀態(tài)矢量

如果n個狀態(tài)變量用X1(t),X2(t),…,Xn(t)表示，并把這些狀態(tài)變量看作是矢量X(t)的分量，則X(t)就稱為狀態(tài)矢量．2021/5/910三.狀態(tài)空間

以狀態(tài)變量為坐標(biāo)軸所構(gòu)成的n維空間，稱為狀態(tài)空間．四.

狀態(tài)方程

由系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程．2021/5/911五.

輸出方程

在指定系統(tǒng)輸出的情況下,該輸出與狀態(tài)變量間的函數(shù)關(guān)系式,稱為系統(tǒng)的輸出方程.

六.狀態(tài)空間表達(dá)式

狀態(tài)方程和輸出方程總和起來,構(gòu)成對一個系統(tǒng)完整的動態(tài)描述，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式.2021/5/912

根據(jù)函數(shù)向量的不同情況，一般控制系統(tǒng)可以分為如下四種：線性定常(時不變)系統(tǒng)線性時變系統(tǒng)；

非線性定常系統(tǒng)；

非線性時變系統(tǒng)。

在本課程中，我們主要考慮線性定常系統(tǒng)(LTI)。這時，系統(tǒng)的動態(tài)方程可以表示如下:2021/5/913單輸入－單輸出定常系統(tǒng)，其狀態(tài)變量為則狀態(tài)方程的一般形式為：輸出方程：2021/5/914用向量矩陣表示狀態(tài)空間表達(dá)式則為：對于一個復(fù)雜系統(tǒng)，具有r個輸入，m個輸出，此時狀態(tài)方程和輸出方程變?yōu)椋?021/5/9152021/5/916寫成矢量矩陣形式:2021/5/917

上式中，Anxn稱為系統(tǒng)矩陣，Bnxr稱為輸入(或控制)矩陣。A由系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)及其參數(shù)決定，體現(xiàn)了系統(tǒng)內(nèi)部的特性，而B則主要體現(xiàn)了系統(tǒng)輸入的施加情況。

Cmxn矩陣稱為輸出矩陣，它表達(dá)了輸出變量與狀態(tài)變量之間的關(guān)系，Dmxr矩陣稱為直接傳遞矩陣，表示了控制向量U直接轉(zhuǎn)移到輸出變量Y的轉(zhuǎn)移關(guān)系。2021/5/918將狀態(tài)方程表示的系統(tǒng)動態(tài)方程用方塊圖表示為如圖所示。系統(tǒng)有兩個前向通道和一個狀態(tài)反饋回路組成，其中D通道表示控制輸入U到系統(tǒng)輸出Y的直接轉(zhuǎn)移。和經(jīng)典控制理論類似，可以用方塊圖表示系統(tǒng)信號的傳遞關(guān)系．2021/5/919§1-0概述§1-1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式§1-2狀態(tài)空間表達(dá)式的建立§1-3狀態(tài)變量的線性變換§1-4從狀態(tài)空間表達(dá)式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)§1-5離散時間系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式§1-6時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式2021/5/920§１－２狀態(tài)空間表達(dá)式的建立

用狀態(tài)空間法分析系統(tǒng)時，首先要建立給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式．這個表達(dá)式一般可以從三個途徑求得：一是由系統(tǒng)方塊圖來建立，即根據(jù)系統(tǒng)各個環(huán)節(jié)的實際連接，寫出相應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式；二是從系統(tǒng)的物理或化學(xué)的機(jī)理出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)；三是由描述系統(tǒng)運(yùn)動過程的高階微分方程或傳遞函數(shù)予以演化而得．2021/5/921一．從系統(tǒng)方塊圖出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式三個步驟：

第一步：在系統(tǒng)方塊圖的基礎(chǔ)上，將各環(huán)節(jié)通過等效變換分解，使得整個系統(tǒng)只有標(biāo)準(zhǔn)積分器（1/s）、比例器（k）及其綜合器（加法器）組成，這三種基本器件通過串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種形式組成整個控制系統(tǒng)。2021/5/922

第二步：將上述變換過的方塊圖中的每個標(biāo)準(zhǔn)積分器（1/s）的輸出作為一個獨(dú)立的狀態(tài)變量xi，積分器的輸入端就是狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)。

第三步：根據(jù)變換過的方塊圖中各信號的關(guān)系，可以寫出每個狀態(tài)變量的一階微分方程，從而寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程。根據(jù)需要指定輸出變量，即可以從方塊圖寫出系統(tǒng)的輸出方程。2021/5/923【例1-1】某控制系統(tǒng)的方塊圖如下圖所示，試求出其動態(tài)方程。解：該系統(tǒng)主要有一個一階慣性環(huán)節(jié)和一個積分器組成。對于一階慣性環(huán)節(jié)，我們可以通過等效變換，轉(zhuǎn)化為一個前向通道為一標(biāo)準(zhǔn)積分器的反饋系統(tǒng)。2021/5/924上圖所示方塊圖經(jīng)等效變換后如下圖所示：我們?nèi)∶總€積分器的輸出端信號為狀態(tài)變量積分器的輸入端即2021/5/925從圖可得系統(tǒng)狀態(tài)方程：取y為系統(tǒng)輸出，輸出方程為：寫成矢量矩陣形式，我們得到系統(tǒng)動態(tài)方程：2021/5/926二

.從系統(tǒng)的機(jī)理

出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式

一般控制系統(tǒng)可分為電氣、機(jī)械、機(jī)電、氣壓、熱力等等。要研究它們，一般先要建立其運(yùn)動的數(shù)學(xué)模型（微分方程、傳遞函數(shù)、動態(tài)方程等）。根據(jù)具體系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其研究目的，選擇一定的物理量作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量和輸出變量，并利用各種物理定律，如牛頓定律、基爾霍夫電壓電流定律、能量守恒定律等，即可建立系統(tǒng)的動態(tài)方程模型。2021/5/927【例1-2】RLC電路如下圖所示.以ei作為系統(tǒng)的控制輸入u(t)，eo作為系統(tǒng)輸出y(t)。建立系統(tǒng)的動態(tài)方程。2021/5/928解:該R-L-C電路有兩個獨(dú)立的儲能元件L和C，可以取電容C兩端電壓和流過電感L的電流

作為系統(tǒng)的兩個狀態(tài)變量，分別記作x1和x2。根據(jù)基爾霍夫電壓定律和R、L、C元件的電壓電流關(guān)系，可得到下列方程：2021/5/929整理得：

2021/5/930寫成矢量形式為：這就是如圖2-3所示RLC電網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)方程。2021/5/931【例1-3】多輸入多輸出系統(tǒng)（MIMO）如圖2-5所示機(jī)械系統(tǒng),質(zhì)量各受到的作用，其相對靜平衡位置的位移分別為。解:根據(jù)牛頓定律，分別對進(jìn)行受力分析，我們有：2021/5/932取為系統(tǒng)四個狀態(tài)變量，為系統(tǒng)兩個控制輸入，則有狀態(tài)方程：2021/5/933如果取為系統(tǒng)的兩個輸出，即：寫成矢量矩陣形式，得系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式：2021/5/934【例1-4】下圖是直流電動機(jī)的示意圖.圖中R和L分別為電樞回路的電阻和電感,J為機(jī)械旋轉(zhuǎn)部分的轉(zhuǎn)動慣量,B為旋轉(zhuǎn)部分的粘性摩擦系數(shù).列寫該圖在電樞電壓作為控制作用時的狀態(tài)空間表達(dá)式.MJ。。2021/5/935解：電感Ｌ和轉(zhuǎn)動慣量Ｊ是儲能元件，相應(yīng)的物理變量電流i和旋轉(zhuǎn)速度w是相互獨(dú)立的，可選擇為狀態(tài)變量．即則2021/5/936由電樞回路的電路方程，有由動力學(xué)方程有由電磁感應(yīng)關(guān)系有式中為反電動勢；轉(zhuǎn)矩常數(shù)和反電動勢常數(shù)．2021/5/937整理得：把代入，有2021/5/938若指定角速度為輸出，則若指定電動機(jī)的轉(zhuǎn)角為輸出，則上述兩個狀態(tài)變量不足以對系統(tǒng)的時域行為加以全面描述，必須增添一個狀態(tài)變量則2021/5/939于是，狀態(tài)方程為輸出方程為2021/5/940三.由描述系統(tǒng)運(yùn)動過程的高階微分方程或傳遞函數(shù)

出發(fā)建立狀態(tài)空間表達(dá)式從經(jīng)典控制理論中知道，任何一個線性系統(tǒng)都可以用下列線性微分方程表示：2021/5/941

其傳遞函數(shù)就是輸出信號y(t)的Laplace變換Y(S)與輸入信號u(t)的Laplace變換U(S)之比，其形式為如下S的有理分式：2021/5/942

由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)求其狀態(tài)方程的過程稱為系統(tǒng)的實現(xiàn)問題，因為傳遞函數(shù)只是表達(dá)了系統(tǒng)輸出與輸入的關(guān)系，卻沒有表明系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)，而狀態(tài)空間表達(dá)式卻可以完整的表明系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)，有了系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，就可以唯一地模擬實現(xiàn)該系統(tǒng)。2021/5/943考慮一個單變量線性定常系統(tǒng)，它的運(yùn)動方程是一個n階線性常系數(shù)微分方程相應(yīng)的傳遞函數(shù)為2021/5/944所謂實現(xiàn)問題，就是根據(jù)以上兩式尋求如下狀態(tài)空間表達(dá)式并非任意的微分方程或傳遞函數(shù)都能求得其實現(xiàn)，實現(xiàn)的存在條件是，當(dāng)時，，而當(dāng)時．在這種情況下，傳遞函數(shù)可寫成如下形式：2021/5/945這意味著輸出含有與輸入直接關(guān)聯(lián)的項．應(yīng)該指出：從傳遞函數(shù)求得的狀態(tài)空間表達(dá)式并不是唯一的一．傳遞函數(shù)中沒有零點(diǎn)時的實現(xiàn)此時，系統(tǒng)的微分方程為2021/5/946相應(yīng)的傳遞函數(shù)為上式的實現(xiàn)，可以有多種結(jié)構(gòu)，常用的簡便形式可由相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖導(dǎo)出．2021/5/947∫∫∫∫＋＋＋＋＋＋＋－將圖中每個積分器的輸出取作狀態(tài)變量，有時稱為相變量，它是輸出的各階導(dǎo)數(shù)．至于積分器的輸入，顯然就是個狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)．2021/5/948通過系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖，我們可以列出系統(tǒng)的狀態(tài)方程：輸出方程為2021/5/949表示成矩陣形式為式１－２－１2021/5/950【例1-4】系統(tǒng)的輸入輸出微分方程為列寫其狀態(tài)方程和輸出方程.解:選為狀態(tài)變量即2021/5/951可得:2021/5/952寫成矩陣方程:2021/5/953二．傳遞函數(shù)中有零點(diǎn)時的實現(xiàn)此時，系統(tǒng)微分方程為系統(tǒng)傳遞函數(shù)為2021/5/954從三階微分方程出發(fā)，找出其實現(xiàn)規(guī)律，然后推廣到n階．設(shè)待實現(xiàn)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為因為上式可變換為１-２-２2021/5/955令則對上式進(jìn)行拉氏變換，可得2021/5/956我們可以得到系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖∫∫∫圖1－－－2021/5/957每個積分器的輸出為一個狀態(tài)變量，可得系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式：2021/5/958表示成矩陣形式為2021/5/959推廣到n階系統(tǒng)，系統(tǒng)的實現(xiàn)可以為：式１-２-32021/5/960前面已經(jīng)提到，實現(xiàn)是非唯一的，仍以式1-2-3的傳遞函數(shù)為例．系統(tǒng)另一種模擬結(jié)構(gòu)圖如下∫∫∫從輸入、輸出關(guān)系看，二者是等效的，輸入函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)作適當(dāng)?shù)牡刃б苿?，就可以用下圖表示：圖2－－－2021/5/961∫∫∫圖3－－－2021/5/962∫∫∫圖4－－－2021/5/963容易求得其對應(yīng)的傳遞函數(shù)為:通過對多項式系數(shù)的比較,得:2021/5/964所以或記為2021/5/965將圖3中的每個積分器輸出選作狀態(tài)變量,得狀態(tài)空間表達(dá)式:2021/5/966擴(kuò)展到n階系統(tǒng),其狀態(tài)空間表達(dá)式為:2021/5/967或記為：也可以用長除法求系數(shù)。2021/5/968三．多輸入－多輸出系統(tǒng)微分方程的實現(xiàn)以雙輸入－雙輸出的三階系統(tǒng)為例，設(shè)系統(tǒng)微分方程為：采用模擬結(jié)構(gòu)圖的方法，按高階導(dǎo)數(shù)項求解2021/5/969對每個方程積分2021/5/970系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖為∫∫∫－－－2021/5/971取每個積分器的輸出為一個狀態(tài)變量，則一種實現(xiàn)為2021/5/972或表示為2021/5/973§1-0概述§1-1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式§1-2狀態(tài)空間表達(dá)式的建立§1-3狀態(tài)變量的線性變換

§1-4從狀態(tài)空間表達(dá)式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)§1-5離散時間系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式§1-6時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式2021/5/974§1-3狀態(tài)向量的線性變換系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性對于一個給定的定常系統(tǒng),可以選取多種變量,對應(yīng)地有許多種狀態(tài)空間表達(dá)式描述同一系統(tǒng),也就是說系統(tǒng)可以有多種結(jié)構(gòu)形式.所選取的狀態(tài)矢量之間,實際上是一種矢量的線性變換.2021/5/975設(shè)給定系統(tǒng)為

我們總可以找到任意一個非奇異矩陣T,將原狀態(tài)向量x作線性變換，得到另一狀態(tài)矢量z設(shè)變換關(guān)系為2021/5/976我們可以得到新的狀態(tài)空間表達(dá)式很明顯，由于Ｔ為任意非奇異陣，故狀態(tài)空間表達(dá)式為非唯一的．通常稱Ｔ為變換矩陣.2021/5/977二．系統(tǒng)特征值的不變性及系統(tǒng)的不變量１．系統(tǒng)特征值

系統(tǒng)特征值就是系統(tǒng)矩陣Ａ的特征值，即特征方程的根．n×n方陣Ａ有n個特征值2021/5/978２．系統(tǒng)的不變量與特征值不變性同一系統(tǒng)，經(jīng)非奇異變換后，得其特征方程為2021/5/979上式的系數(shù)就是系統(tǒng)不變量。2021/5/9803.特征矢量

一個n維矢量經(jīng)過以A作為變換陣的變換,得到一個新的矢量,即若則我們稱為Ａ的對應(yīng)于的特征矢量，此時有⑴特征矢量的定義2021/5/981⑵特征矢量的求法①根據(jù)定義求特征矢量;②代數(shù)余子式法求特征矢量.按某一行展開的代數(shù)余子式構(gòu)成矢量P,相應(yīng)地將代入分別得.2021/5/982三．狀態(tài)空間表達(dá)式變換為約旦標(biāo)準(zhǔn)型這里的問題是通過一個非奇異矩陣Ｔ，x的線性變換x=Tz，從而將變換為根據(jù)系統(tǒng)矩陣Ａ，求其特征值，可以直接寫出系統(tǒng)的約旦標(biāo)準(zhǔn)型矩陣Ｊ2021/5/983無重根時有q重根時2021/5/984要求控制矩陣和輸出矩陣，則必須求出變換矩陣Ｔ，下面根據(jù)Ａ陣形式及有無重根的情況，分別介紹幾種求Ｔ的方法．１．Ａ為任意形式⑴．特征值無重根時設(shè)是Ａ的n個互異特征根，求出的特征矢量，則變換矩陣由Ａ的特征矢量構(gòu)成，即2021/5/985【例1-５】試求的特征矢量．2021/5/986解：Ａ的特征方程為方法一：定義法2021/5/987１）對應(yīng)于的特征矢量2021/5/988取得對應(yīng)的特征向量m1為：解之有:為簡便起見2021/5/989同理可得：所以：2021/5/990方法二:按某一行展開的代數(shù)余子式構(gòu)成矢量P,相應(yīng)地將代入分別得.代數(shù)余子式法2021/5/991按第一行展開得將代入得,取2021/5/992將代入得,取將代入得,取2021/5/993按第二行展開得將代入得,取2021/5/994將代入得,將代入得,取取2021/5/995按第三行展開得將代入得,取2021/5/996將代入得,取將代入得,取2021/5/997當(dāng)A的特征根互異時,所求出的特征矢量不唯一,但是所求出的所有特征矢量都成比例,若取它們的最簡形式,則所有特征矢量都相同.小結(jié):2021/5/998⑵．Ａ陣的特征根有重根時設(shè)Ａ的特征根有q個的重根，其余（n–q）個根互異，則Ｔ的計算公式為：其中，上對應(yīng)與（n–q）個單根的特征矢量，對應(yīng)于q個重根的個向量的求得，應(yīng)根據(jù)下式計算2021/5/999顯然,仍為對應(yīng)的特征矢量,其余則稱為廣義特征矢量.2021/5/9100例:已知求特征矢量.2021/5/9101解:當(dāng)時,方法一定義法2021/5/91022021/5/9103根據(jù)所以2021/5/9104同理可得2021/5/9105方法二:代數(shù)余子式法按第三行展開新的余子式構(gòu)成向量2021/5/9106當(dāng)時,對應(yīng)特征向量為當(dāng)時,對應(yīng)特征向量為2021/5/9107規(guī)律:當(dāng)時,對應(yīng)特征向量為2021/5/9108同理,按第一行展開分別求得對應(yīng)特征向量為2021/5/9109取同理,按第二行展開2021/5/9110分別求得對應(yīng)特征向量為取2021/5/9111小結(jié):當(dāng)特征根有重根時,利用代數(shù)余子式方法求出的T值可能不完全相同,即所謂的特征矢量不唯一,但是約旦陣都相同,不同的僅僅是和2021/5/91122.A陣為標(biāo)準(zhǔn)型,即2021/5/9113⑴.A的特征值無重根時,其變換矩陣是一個范德蒙德矩陣,為2021/5/9114⑵.A的特征值有重根時,以有的三重根為例;2021/5/9115⑶.有共軛復(fù)根時,以四階系統(tǒng)其中有一對公軛復(fù)根為例,即2021/5/9116此時,2021/5/91173.系統(tǒng)的并聯(lián)型實現(xiàn)已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)將上式展開成部分分式.由于系統(tǒng)特征根有兩種情況:一是所有根均是互異的,一是有重根;現(xiàn)分別討論:1-3-12021/5/9118⑴.具有互異根的情況式1-3-1可寫成將其展開成部分分式2021/5/9119∫∫∫＋＋＋＋＋＋＋＋＋…2021/5/9120取每個積分器的輸出作為一個狀態(tài)變量，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：2021/5/9121∫∫∫＋＋＋＋＋＋＋＋＋…＋＋或2021/5/9122系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為2021/5/9123⑵.具有重根的情況設(shè)有一個q重的主根其余是互異根．這時的部分分式展開式為2021/5/9124模擬結(jié)構(gòu)圖如下2021/5/9125列出狀態(tài)空間表達(dá)式2021/5/9126寫成矩陣形式:2021/5/91272021/5/9128【例1-6】將下列（A,B,C,D）組成的動態(tài)方程轉(zhuǎn)換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。解：先求特征根：2021/5/9129對于λ1=-1，m1=2，我們有：對于λ2=-2，m2=1，我們有：所以：2021/5/9130系統(tǒng)的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為：

2021/5/9131§1-0概述§1-1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式§1-2狀態(tài)空間表達(dá)式的建立§1-3狀態(tài)變量的線性變換§1-4從狀態(tài)空間表達(dá)式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)

§1-5離散時間系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式§1-6時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式2021/5/9132§1－4從狀態(tài)空間表達(dá)式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣一.傳遞函數(shù)陣1.單輸入—單輸出系統(tǒng)已知系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為2021/5/9133式中x—n維狀態(tài)矢量；y和u—輸出和輸入；Ａ－n×n方陣；b－n×1列陣；－１×n行陣；d—標(biāo)量，一般為零．對其進(jìn)行拉氏變換，并假定初始條件為零，則有：2021/5/9134故Ｕ－Ｘ間的傳遞函數(shù)為U－Ｙ間的傳遞函數(shù)為2021/5/9135２．多輸入－多輸出系統(tǒng)已知系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：其中，X、Y、U分別為n×1、m×1、r×1的列向量，A、B、C、D分別為n×n、n×r、m×n、m×r的矩陣。2021/5/9136作拉氏變換，并設(shè)系統(tǒng)初態(tài)為零，則有：故Ｕ－Ｘ間的傳遞函數(shù)為而Ｕ－Ｙ間的傳遞函數(shù)為2021/5/9137§1-0概述§1-1狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式§1-2狀態(tài)空間表達(dá)式的建立§1-3狀態(tài)變量的線性變換§1-4從狀態(tài)空間表達(dá)式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)§1-5離散時間系統(tǒng)狀態(tài)空間表