高中數(shù)學(xué)人教B版一學(xué)案：第二單元 2.1.1 第1課時　變量與函數(shù)的概念 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2．1.1函數(shù)第1課時變量與函數(shù)的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)的概念。2。了解構(gòu)成函數(shù)的三要素。3。能正確使用函數(shù)、區(qū)間符號．知識點(diǎn)一函數(shù)的概念思考1在一個變化過程中,有兩個變量x和y，如果給定一個x值,相應(yīng)地就確定唯一的一個y值，那么變量x、y分別稱為什么量?思考2初中時用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)定義函數(shù)，用這種觀點(diǎn)能否判斷只有一個點(diǎn)（0,1)，算不算是函數(shù)圖象？梳理函數(shù)的概念（1)函數(shù)的定義設(shè)集合A是一個________的數(shù)集，對A中的__________，按照確定的法則f,都有__________的數(shù)y與它對應(yīng)，則這種對應(yīng)關(guān)系叫做集合A上的一個函數(shù)，記作________．（2)函數(shù)的定義域與值域在函數(shù)y＝f(x）,x∈A中，____叫做自變量，自變量取值的范圍(數(shù)集A）叫做這個函數(shù)的定義域．如果自變量取值a，則由法則f確定的值y稱為函數(shù)在a處的______，記作________________．所有函數(shù)值構(gòu)成的集合________________叫做這個函數(shù)的值域．知識點(diǎn)二函數(shù)相等思考函數(shù)f(x)＝x2，x∈R與g（t）＝t2，t∈R是不是同一個函數(shù)？梳理一般地，函數(shù)有三個要素：定義域,對應(yīng)法則與值域．如果兩個函數(shù)的________相同，并且____________完全一致,我們就稱這兩個函數(shù)相等．特別提醒：兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則相同就決定了這兩個函數(shù)的值域也相同．知識點(diǎn)三區(qū)間1．區(qū)間的定義、名稱、符號及數(shù)軸表示如下表：定義名稱符號數(shù)軸表示{x｜a≤x≤b}閉區(qū)間[a，b］｛x｜a<x<b｝開區(qū)間（a,b）{x｜a≤x〈b｝半閉半開區(qū)間[a，b)｛x|a〈x≤b}半開半閉區(qū)間（a，b］2。無窮大區(qū)間的表示：定義名稱符號數(shù)軸表示｛x｜x≥a}[a，＋∞）{x｜x〉a}(a，＋∞）｛x|x≤a}（－∞，a]{x｜x<a｝(－∞，a)R(－∞，＋∞）取遍數(shù)軸上所有的值3。注意:①“∞”讀作無窮大，是一個符號，不是數(shù)，以－∞或＋∞作為區(qū)間一端時，這一端必須是小括號．②區(qū)間是數(shù)集的另一種表示方法，區(qū)間的兩個端點(diǎn)必須保證左小、右大．類型一函數(shù)關(guān)系的判斷例1(1)給出下列四個圖形:其中，能表示函數(shù)關(guān)系的個數(shù)是（)A．0B．1C．2D．3（2)下列各題的對應(yīng)關(guān)系是否給出了實(shí)數(shù)集R上的一個函數(shù)？為什么？①f：把x對應(yīng)到3x＋1;②g：把x對應(yīng)到｜x｜＋1；③h：把x對應(yīng)到eq\f(1,x)；④r：把x對應(yīng)到eq\r(x)。反思與感悟檢驗(yàn)給定兩個變量之間是否具有函數(shù)關(guān)系的方法(1)定義域和對應(yīng)法則是否給出;（2）根據(jù)給出的對應(yīng)法則,自變量x在其定義域中的每一個值，是否都能確定唯一的函數(shù)值y.跟蹤訓(xùn)練1(1)下列四個圖象中，表示函數(shù)圖象的序號是________．（2)下列給出的對應(yīng)關(guān)系是不是函數(shù)關(guān)系？若是函數(shù)關(guān)系,其定義域是什么?①f：把x對應(yīng)到eq\r(x＋1）；②g：把x對應(yīng)到eq\f（1，x2＋1)；③h：把x對應(yīng)到常數(shù)1。類型二已知函數(shù)的解析式,求其定義域例2求下列函數(shù)的定義域．（1)y＝3－eq\f（1,2)x；(2)y＝2eq\r（x)－eq\r(1－7x)；（3)y＝eq\f（x＋10,\r（x＋2))；(4）y＝eq\r(2x＋3)－eq\f(1，\r(2－x））＋eq\f(1,x)。反思與感悟求函數(shù)定義域的常用依據(jù)（1）若f(x）是分式，則應(yīng)考慮使分母不為零；(2）若f（x）是偶次根式，則被開方數(shù)大于或等于零；(3)若f(x)是指數(shù)冪，則函數(shù)的定義域是使指數(shù)冪運(yùn)算有意義的實(shí)數(shù)集合；(4）若f(x)是由幾個式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域要使各個式子都有意義；（5）若f(x）是實(shí)際問題的解析式，則應(yīng)符合實(shí)際問題,使實(shí)際問題有意義．跟蹤訓(xùn)練2函數(shù)f（x）＝eq\f（\r(x）,x－1)的定義域?yàn)開_______．類型三求函數(shù)的值域例3求下列函數(shù)的值域．(1）y＝x＋1；(2)y＝x2－2x＋3,x∈[0，3)；(3)y＝eq\f(3x－1,x＋1)；（4）y＝2x－eq\r(x－1).反思與感悟求函數(shù)值域的常用方法(1)觀察法:對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到．(2）配方法：當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)處理的函數(shù)時,可利用配方法求其值域．（3）分離常數(shù)法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值域．（4）換元法：即運(yùn)用新元代換，將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域．對于f（x）＝ax＋b＋eq\r(cx＋d）(其中a，b，c，d為常數(shù)，且a≠0）型的函數(shù)常用換元法．跟蹤訓(xùn)練3求下列函數(shù)的值域．（1)y＝eq\r(2x＋1）＋1;(2）y＝eq\f(1－x2，1＋x2)。類型四對于f(x)，f(a）的理解例4（1）已知函數(shù)f（x）＝eq\r（x＋2），若f（a)＝4，則實(shí)數(shù)a＝________.（2)已知f(x)＝eq\f（1，1＋x)（x∈R且x≠－1），g(x）＝x2＋2(x∈R)．①求f（2），g（2）的值；②求f（g(2））的值;③求f（a＋1），g（a－1)．反思與感悟f(x)中的x可以是一個具體的數(shù),也可以是一個字母或者是一個表達(dá)式，不管是什么,只需把相應(yīng)的x都換成對應(yīng)的數(shù)或式子即可．跟蹤訓(xùn)練4已知f（x）＝eq\f（1－x，1＋x)(x≠－1)．（1)求f(0）及f（f(eq\f（1,2)))的值；(2)求f（1－x）及f（f(x）)．1．對于函數(shù)y＝f（x)，以下說法正確的有(）①y是x的函數(shù)；②對于不同的x,y的值也不同；③f（a)表示當(dāng)x＝a時函數(shù)f(x)的值,是一個常量；④f（x）一定可以用一個具體的式子表示出來．A．1個B．2個C．3個D．4個2．區(qū)間(0，1）等于()A．｛0，1} B．｛（0，1）}C．｛x｜0〈x〈1} D．｛x|0≤x≤1}3．函數(shù)y＝eq\f（1，\r（x＋1))的定義域是（)A．［－1，＋∞) B．[－1,0)C．(－1，＋∞） D．（－1，0)4．設(shè)f（x）＝eq\f（x2－1，x2＋1）,則eq\f（f2，f\f(1，2))等于（）A．1B．－1C.eq\f(3,5)D．－eq\f(3，5）5．下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（)①f（x）＝eq\r（－2x3)與g(x）＝xeq\r(－2x）；②f(x）＝x與g（x）＝eq\r（x2)；③f（x）＝x0與g（x)＝eq\f(1，x0)；④f（x)＝x2－2x－1與g（t）＝t2－2t－1.A．①②B．①③C．③④D．①④1．函數(shù)的本質(zhì)：兩個非空數(shù)集間的一種確定的對應(yīng)法則．由于函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則一旦確定，值域隨之確定，所以判斷兩個函數(shù)是否相等只需兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則分別相同即可．2．定義域是一個集合，所以需要寫成集合的形式，在已知函數(shù)解析式又對x沒有其他限制時，定義域就是使函數(shù)式有意義的x的集合．3．在y＝f（x)中,x是自變量，f代表對應(yīng)法則，不要因?yàn)楹瘮?shù)的定義而認(rèn)為自變量只能用x表示，其實(shí)用什么字母表示自變量都可以,關(guān)鍵是符合定義，x只是一個較為常用的習(xí)慣性符號，也可以用t等表示自變量．關(guān)于對應(yīng)法則f，它是函數(shù)的本質(zhì)特征，好比是計算機(jī)中的某個“程序”，當(dāng)在f（）中的括號內(nèi)輸入一個值時，在此“程序”作用下便可輸出某個數(shù)據(jù)，即函數(shù)值．如f（x）＝3x＋5，f表示“自變量的3倍加上5”，如f（4）＝3×4＋5＝17.我們也可以將“f”比喻為一個“數(shù)值加工器”(如圖），當(dāng)投入x的一個值后，經(jīng)過“數(shù)值加工器f”的“加工"就得到一個對應(yīng)值．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一思考1x是自變量、y是因變量．思考2因?yàn)橹挥幸粋€點(diǎn),用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)判斷就顯得牽強(qiáng),因此有必要引入用集合和對應(yīng)來定義的函數(shù)概念．梳理(1)非空任意數(shù)x唯一確定y＝f(x），x∈A（2)x函數(shù)值y＝f(a)或y｜x＝a{y|y＝f(x)，x∈A｝知識點(diǎn)二思考兩個函數(shù)都是描述的同一集合R中任一元素，按同一對應(yīng)關(guān)系“平方”對應(yīng)B中唯一確定的元素，故是同一個函數(shù)．梳理定義域?qū)?yīng)法則題型探究例1（1）D（2)解①②是實(shí)數(shù)集R上的一個函數(shù)，因?yàn)榻o定一個x值都有唯一確定的值與之對應(yīng)．③④不是,對于③，當(dāng)x＝0時，沒有值與之對應(yīng)，對于④當(dāng)x＜0時,沒有值與之對應(yīng)．跟蹤訓(xùn)練1(1)①③④(2）解①是函數(shù)關(guān)系，定義域?yàn)閧x|x≥－1}．②是函數(shù)關(guān)系，定義域?yàn)镽.③是函數(shù)關(guān)系，定義域?yàn)镽.例2解(1)定義域?yàn)镽。(2）定義域?yàn)椋?，eq\f（1，7）］．(3）定義域?yàn)閧x｜x〉－2且x≠－1}．（4）定義域?yàn)閧x|－eq\f(3，2)≤x＜2，且x≠0}．跟蹤訓(xùn)練2{x|x≥0且x≠1｝例3解（1)∵y＝x＋1的定義域?yàn)镽，∴y＝x＋1的值域?yàn)镽。(2）∵y＝x2－2x＋3＝（x－1)2＋2，又x∈[0，3),∴2≤y＜6，∴y＝x2－2x＋3的值域?yàn)椋?，6）．(3）∵y＝eq\f(3x－1，x＋1）＝eq\f（3x＋1－4,x＋1）＝3－eq\f（4，x＋1)，又∵eq\f(4,x＋1)≠0，∴y≠3,∴y＝eq\f（3x－1,x＋1）的值域?yàn)閧y|y∈R且y≠3｝．(4）y＝2x－eq\r（x－1）的定義域?yàn)閇1，＋∞)．令eq\r(x－1)＝t，則x＝t2＋1且t≥0，∴y＝2t2－t＋2＝2(t－eq\f（1，4)）2＋eq\f(15,8)≥eq\f(15，8），∴y＝2x－eq\r（x－1)的值域?yàn)椋踖q\f(15，8）,＋∞）．跟蹤訓(xùn)練3解（1)因?yàn)閑q\r（2x＋1）≥0，所以eq\r（2x＋1)＋1≥1，即所求函數(shù)的值域?yàn)閇1，＋∞）．（2)因?yàn)閥＝eq\f（1－x2,1＋x2）＝－1＋eq\f(2,1＋x2)，又函數(shù)的定義域?yàn)镽，所以x2＋1≥1，所以0＜eq\f(2，1＋x2)≤2，則y∈(－1,1]．所以所求函數(shù)的值域?yàn)?－1，1］．例4(1)14(2)解①因?yàn)閒(x)＝eq\f(1,1＋x)，所以f（2）＝eq\f（1，1＋2)＝eq\f(1，3）。又因?yàn)間（x）＝x2＋2，所以g（2)＝22＋2＝6。②f（g（2））＝f（6）＝eq\f（1，1＋6）＝eq\f（1，7）.③f（a＋1)＝eq\f（1，1＋a＋1）＝eq\f（1,a＋2）。g(a－1)＝(a－1）2＋2＝a2－2a＋3.跟蹤訓(xùn)練4解（1）f（0)＝eq\f(1－0,1＋0)＝1.∵f(eq\f（1,2））＝eq\f（1－\f(1，2)，1＋\f(1，2））＝eq\f(1,3），∴f（f(eq\f(1，2)）)＝f(eq\f（1,3））＝eq\f(1－\f(1,3)，1＋\f（1,