根式的運算技巧

根式的運算平方根與立方根一、知識要點1、平方根：⑴、定義：如果x2=a，則x叫做a的平方根，記作“”（a稱為被開方數）。⑵、性質：正數的平方根有兩個，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根。⑶、算術平方根：正數a的正的平方根叫做a的算術平方根，記作“”。2、立方根：⑴、定義：如果x3=a，則x叫做a的立方根，記作“”（a稱為被開方數）。⑵、性質：正數有一個正的立方根；0的立方根是0；負數有一個負的立方根。3、開平方（開立方）：求一個數的平方根（立方根）的運算叫開平方（開立方）。二、規(guī)律總結：1、平方根是其本身的數是0；算術平方根是其本身的數是0和1；立方根是其本身的數是0和±1。2、每一個正數都有兩個互為相反數的平方根，其中正的那個是算術平方根；任何一個數都有唯一一個立方根，這個立方根的符號與原數相同。3、本身為非負數，即≥0；有意義的條件是a≥0。4、公式：⑴()2=a（a≥0）；⑵=（a取任何數）。5、非負數的重要性質：若幾個非負數之和等于0，則每一個非負數都為0（此性質應用很廣，務必掌握）。例1求下列各數的平方根和算術平方根；（2）；（3）；⑷例2求下列各式的值（1）；（2）；（3）；（4）.（5），（6），（7）（8）例3、求下列各數的立方根：⑴343；⑵；⑶0.729二、巧用被開方數的非負性求值.大家知道，當a≥0時，a的平方根是±，即a是非負數.例4、若求yx的立方根.練習：已知求的值.三、巧用正數的兩平方根是互為相反數求值.我們知道，當a≥0時，a的平方根是±，而例5、已知：一個正數的平方根是2a-1與2-a，求a的平方的相反數的立方根.練習：若和是數的平方根，求的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36（2）27(x+1)3=64五、巧用算術平方根的最小值求值.我們已經知道,即a=0時其值最小,換句話說的最小值是零.例4、已知：y=,當a、b取不同的值時，y也有不同的值.當y最小時,求ba的非算術平方根.若，則x的取值范圍是。若是一個正整數，則正整數m的最小值是________．5、設m、n滿足，則=。6、若三角形的三邊a、b、c滿足=0，則第三邊c的取值范圍是7、若，且時，則（）A、B、 C、 D、二、利用二次根式的性質=|a|=(即一個數的平方的算術平方根等于這個數的絕對值)來解題【例題講解】例1：已知＝－x，則（）A.x≤0B.x≤－3Ｃ.x≥－3D.－3≤x≤0例2：化簡的結果為（）A、；B、；C、D、【基礎訓練】已知a<b，化簡二次根式的正確結果是（）A．B．C．D．若化簡|1-x|-的結果為2x-5則（）A、x為任意實數B、1≤x≤4C、x≥1D、x≤43、已知a，b，c為三角形的三邊，則=4、化簡的結果是（）A．B．C．D．已知：=1，則的取值范圍是（）。A、；B、；C、或1；D、二次根式的化簡與計算（主要依據是二次根式的性質：（）2=a（a≥0），即以及混合運算法則）【例題講解】（一）化簡與求值例1：把下列各式化成最簡二次根式：（2）（3）（4）例二：計算：2【基礎訓練】1、下列哪些是同類二次根式：（1），，，，，，；（2），，a2、計算下列各題：（1）6（2）；（3）（4）（5）－已知，則x等于（）A．4B．±2C．2D．±44、＋＋＋…＋（二）先化簡，后求值：1.直接代入法：已知求(1)(2)2.變形代入法：（1）變條件：①已知：，求的值。②.已知:x=，求3x2－5xy+3y2的值（2）變結論：1、設EQ\R(,3)=a，EQ\R(,30)=b，則EQ\R(,0.9)=。2、已知，求。3、已知，，（1）求的值（2）求的值四、關于求二次根式的整數部分與小數部分的問題1.估算eq\r(31)－2的值在哪兩個數之間（）A．1～2B.2～3C.3～4D.4～52．若的整數部分是a，小數部分是b，則3.已知9+的小數部分分別是a和b，求ab－3a+4b+8的值4.若a，b為有理數，且++=a+b，則b=.五、二次根式的比較大?。?）（2）－5（3）設a=,,,則（）A.B.C.D.六、實數范圍內因式分解：9x2－5y24x4－4x2＋1x4+x2－6練習：1、若，則xy的值為（）A．B．C．D．2、若，則．3、計算：（1）（2（3）．（4）．4、先將÷化簡，然后自選一個合適的x值，代入化簡后的式子求值。5、如圖，實數、在數軸上的位置，化簡：6、若，則的取值范圍是A． B． C． D．7、如圖，數軸上兩點表示的數分別為1和，點關于點的對稱點為點，則點所表示的數是A． B． C． D．8、已知：，求的值。9、已知：為實數，且，化簡：。10、已知11、先閱讀下列的解答過程，然后作答：有這樣一類題目：將化簡，若你能找到兩個數和，使且，則可變?yōu)?，即變成開方，從而使得化簡。例如：==，∴請仿照上例解下列問題：；（2）二次根式運算的技巧二次根式的運算通常是根據其運算法則進行計算的，但在計算過程中若能巧妙地運用一些數學思想方法，可使問題化繁為簡，易于計算。下面舉例說明二次根式的運算技巧：巧移因式法計算分析：將根號外的因式移到根號內，然后用平方差公式計算比較簡便，或先把化簡，然后利用平方差公式計算解：原式===18-48=-30巧提公因數法例2、計算分析：∵2=∴中有公因數，提出公因數后，可用平方差公式計算解：原式====（25-6）=19公式法例3、計算分析：巧分組，出奇制勝，整式的乘法公式對二次根式的乘法也適用，本題用平方差公式來計算很簡便解：原式====因式分解法例4、計算分析：本題若直接按乘除法則計算，顯然很麻煩，若適當分解因式約去公因式，則運算很簡便解：原式===拆項法例5、化簡分析：本題若直接計算顯然很麻煩，若仔細觀察將分子拆項，則計算會很簡便解：原式====配方法例6、計算分析：此題是雙二次根式的加減，必須把復合二次根式化為一般二次根式，可將根號里的式子化成完全平方式，使問題便于計算解：原式===-5七、整體代入，別開生面例5.已知，求下列各式的值。（1）（2）分析：根據x、y值的特點，可以求得，如果能將所求的值的式子變形為關于或xy的式子，再代入求值要比直接代入求值簡單得多。解：因為所以（1）（2）（也可以將變?yōu)閬砬螅┌?、巧換元，干凈利索例6.計算分析：此算式中的兩個公式互為倒數，若設，則原式而原式解：設則所以原式例7.計算分析：有兩種方法，一種換元，一種配方。解法1：設兩邊平方因為所以即解法2：原式所以遇到二次根式運算一定認真審題、仔細琢磨，能否找到運算技巧，達到事半功倍效果二次根式的運算測試題姓名班級學號一．選擇題（本題30分，每小題3分）：1．化簡eq\r(3)－eq\r(3)(1－eq\r(3))的結果是 ()A．3 B．－3 C.eq\r(3) D．－eq\r(3)2．計算(eq\r(28)－2eq\r(3)＋eq\r(7))×eq\r(7)＋eq\r(84)的結果是 ()A．11eq\r(7) B．15eq\r(3) C．21 D．243．計算(3eq\r(2)＋5eq\r(3))×(3eq\r(2)－5eq\r(3))的結果是 ()A．－57 B．57 C．－53 D．534．計算eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a)＋\f(1,\r(a))))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a)－\f(1,\r(a))))eq\s\up12(2)的結果是 ()A．2 B．4 C．2eq\r(a) D．4eq\r(a)eq\r(2)×(eq\r(2)－eq\r(3))＋eq\r(6)的值是________；化簡：eq\r(3)×(eq\r(2)－eq\r(3))－eq\r(24)－|eq\r(6)－3|＝________．7．計算eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(50)－\r(8)))÷eq\r(2)的結果是________．8、計算：eq\f(\r(40)＋\r(5),\r(5))＝________．9、有下列計算：①(m2)3＝m6；②eq\r(4a2－4a＋1)＝2a－1；③m6÷m2＝m3；④eq\r(27)×eq\r(50)÷eq\r(6)＝15；⑤2eq\r(12)－2eq\r(3)＋3eq\r(48)＝14eq\r(3).其中正確的運算有________．10、計算：(eq\r(2)＋1)(eq\r(2)－1)＝________．二、計算題（本題30分，每小題5分）：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(8,27))－5\r(3)))×eq\r(6)；(2)(5＋eq\r(6))×(5eq\r(2)－2eq\r(3))；(3)9eq\r(45)÷3eq\r(\f(1,5))×eq\f(3,2)eq\r(2\f(2,3))；(4)eq\f(1,\r(3)＋\r(2))＋eq\f(1,\r(2)＋1)－eq\f(1,\r(3)－1).(5)3eq\r(8)×(eq\r(54)－5eq\r(2)－2eq\r(6))；(6)eq\r(a)(eq\r(a)＋2)－eq\f(\r(a2b),\r(b))；二、解答題（本