高中數(shù)學(xué)人教B版必修一學(xué)案第三單元疑難規(guī)律方法

1指數(shù)與指數(shù)運(yùn)算疑點(diǎn)透析一、如何理解n次方根的概念假設(shè)一個(gè)數(shù)x的n次方等于a，那么x怎么用a來(lái)表示呢？是x＝eq\r(n,a)嗎？這個(gè)答復(fù)是不完整的．正確表示應(yīng)如下：x＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(n,a)，n為奇數(shù)，,±\r(n,a)，n為偶數(shù)，a＞0，,不存在，n為偶數(shù)，a＜0，,0，a＝0，))主要性質(zhì)有：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝a；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a＜0.))二、如何理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪不行以理解為eq\f(m,n)個(gè)a相乘，它是根式的一種新的寫法．規(guī)定＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)，＝＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)，在這樣的規(guī)定下，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示相同意義的量，它們只是形式上的不同而已.0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無(wú)意義，負(fù)數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是否有意義，應(yīng)視m，n的詳細(xì)數(shù)而定．三、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和整數(shù)指數(shù)冪有什么異同相同：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與整數(shù)指數(shù)冪都是有理指數(shù)冪，都可以利用有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算．其運(yùn)算形式為ar·as＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝ar·br，式中a＞0，b＞0，r、s∈Q，對(duì)于這三條性質(zhì)，不要求證明，但需記準(zhǔn)．不同：整數(shù)指數(shù)冪表示的是相同因式的連乘積，而分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是根式的一種新的寫法，它表示的是根式．四、指數(shù)冪的運(yùn)算在這里要留意的是，對(duì)于計(jì)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)．例1化簡(jiǎn)解原式例2求的值．解原式＝＝(3)＝3＝3＝3eq\r(6,3).例1、例2兩道例題都既含有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪又有根式，應(yīng)當(dāng)把根式統(tǒng)一化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，便于計(jì)算.2解讀指數(shù)函數(shù)的四個(gè)難點(diǎn)在學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)后，下面來(lái)分析突破指數(shù)函數(shù)的幾大難點(diǎn)，供同學(xué)們學(xué)習(xí)把握．難點(diǎn)之一：概念指數(shù)函數(shù)y＝ax有三個(gè)特征：①指數(shù)：指數(shù)只能是自變量x，而不能是x的函數(shù)；②底數(shù)：底數(shù)為常數(shù)，大于0且不等于1；③系數(shù)：系數(shù)只能是1.例1給出五個(gè)函數(shù)：①y＝2×6x；②y＝(－6)x；③y＝πx；④y＝xx；⑤y＝22x＋1.以上是指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)是________．分析依據(jù)所給的函數(shù)對(duì)系數(shù)、底數(shù)、指數(shù)三個(gè)方面進(jìn)行考查，推斷是否滿意指數(shù)函數(shù)的定義．解析對(duì)于①，系數(shù)不是1；對(duì)于②，底數(shù)小于0；對(duì)于④，底數(shù)x不是常數(shù)；對(duì)于⑤，指數(shù)是x的一次函數(shù)，故①、②、④、⑤都不是指數(shù)函數(shù)．正確的選項(xiàng)是③，只有③符合指數(shù)函數(shù)的定義．答案1難點(diǎn)之二：爭(zhēng)論指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)，當(dāng)a＞1時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，是減函數(shù)．例2函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大eq\f(a,2)，求a的值．分析遇究竟數(shù)是參數(shù)時(shí)，應(yīng)優(yōu)先分類爭(zhēng)論，此題應(yīng)先對(duì)a進(jìn)行分類爭(zhēng)論，再列出方程并求出a.解當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y＝ax在[1,2]上的最大值是a2，最小值是a，依題意得a2－a＝eq\f(a,2)，即a2＝eq\f(3a,2)，所以a＝eq\f(3,2)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y＝ax在[1,2]上的最大值是a，最小值是a2，依題意得a－a2＝eq\f(a,2)，即a2＝eq\f(a,2)，所以a＝eq\f(1,2).綜上可知，a＝eq\f(3,2)或a＝eq\f(1,2).難點(diǎn)之三：復(fù)合指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)與一次函數(shù)、反比例函數(shù)及二次函數(shù)等進(jìn)行復(fù)合時(shí)，特殊是爭(zhēng)論單調(diào)性時(shí)，應(yīng)把握好“同增異減〞法那么．例3求函數(shù)y＝(eq\f(1,3))的單調(diào)遞減區(qū)間．分析指數(shù)函數(shù)與指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的區(qū)分在于，指數(shù)自變量是x還是x的函數(shù)．此題先求出函數(shù)的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)的“同增異減〞法那么求解．解由－x2＋x＋2≥0知，函數(shù)的定義域是[－1,2]．令u＝－x2＋x＋2＝－(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(9,4)，那么y＝(eq\f(1,3))eq\r(u)，當(dāng)x∈[－1，eq\f(1,2)]時(shí)，隨x的增大，u增大，y減小，故函數(shù)的遞減區(qū)間為[－1，eq\f(1,2)]．難點(diǎn)之四：圖象指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象特征是：當(dāng)a＞1時(shí)，在y軸的右側(cè)，a越大，圖象越往上排；在y軸左側(cè)，a越大，圖象越往下排．當(dāng)0＜a＜1時(shí)恰好相反．例4利用指數(shù)函數(shù)的圖象比擬－與－的大?。治隹稍谕蛔鴺?biāo)系中作出y＝x及y＝x的圖象，從圖象中得出結(jié)果．解如下圖，作出y＝x、y＝x及x＝－的圖象，易知－＜－.評(píng)注圖象應(yīng)記憶精確?????，在其次象限中靠近y軸的函數(shù)應(yīng)是y＝x，而不是y＝x，這一點(diǎn)應(yīng)留意．3對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算學(xué)習(xí)講解1．對(duì)數(shù)的定義一般地，假如ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．解讀：(1)由對(duì)數(shù)定義可以知道，當(dāng)a＞0，且a≠1時(shí)，ax＝N?x＝logaN，也就是說(shuō)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式實(shí)際上是表示a、N之間的同一種關(guān)系的兩種形式，因此可以相互轉(zhuǎn)化；(2)依據(jù)對(duì)數(shù)定義可以知道，alogaN＝N，即a的logaN次方等于N，對(duì)數(shù)恒等式也是化簡(jiǎn)或計(jì)算的重要公式．2．對(duì)數(shù)的性質(zhì)(1)零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)．由于在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，所以ax＝N(a＞0，且a≠1)中N總是正數(shù)；(2)1的對(duì)數(shù)為0.由于任何非零實(shí)數(shù)的零次冪都等于1，所以loga1＝0；(3)底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1.由于a1＝a對(duì)于任何非零實(shí)數(shù)都成立，所以logaa＝1.3．對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)假設(shè)a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN，即正數(shù)積的對(duì)數(shù)，等于同一底數(shù)的各個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)和；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN，即兩個(gè)正數(shù)商的對(duì)數(shù)，等于被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù)；(3)logaMn＝nlogaM，正數(shù)的冪的對(duì)數(shù)等于冪的底數(shù)的對(duì)數(shù)乘以冪指數(shù)．這些性質(zhì)一般運(yùn)用于對(duì)數(shù)的計(jì)算、化簡(jiǎn)或證明中．例1將以下對(duì)數(shù)式化成指數(shù)式、指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式：(1)log3eq\f(1,27)＝－3；(2)log232＝5；(3)63＝216；(4)10－3＝0.001.解(1)3－3＝eq\f(1,27)；(2)25＝32；(3)log6216＝3；(4)log10＝－3，也可寫成＝－3.評(píng)注此題考查了對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化．解題所用學(xué)問(wèn)都是依據(jù)對(duì)數(shù)的定義，要留意對(duì)數(shù)的真數(shù)是指數(shù)的冪，對(duì)數(shù)的值是指數(shù)式中的指數(shù)．例2求以下各式的值：(1)3log72－log79＋2log7eq\f(3,2\r(2))；(2)lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.解(1)原式＝log723－log79＋log7(eq\f(3,2\r(2)))2＝log7eq\f(23×\f(3,2\r(2))2,9)＝log71＝0；(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5·(lg5＋2lg2)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝2＋(lg5＋lg2)2＝3.評(píng)注利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求值和化簡(jiǎn)，是對(duì)數(shù)運(yùn)算常見(jiàn)的題型，對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的正向運(yùn)用可以把真數(shù)的乘、除、乘方、開(kāi)方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算，這樣就簡(jiǎn)化了計(jì)算，表達(dá)了利用對(duì)數(shù)運(yùn)算的優(yōu)越性．4換底公式的證明及其應(yīng)用換底公式是對(duì)數(shù)運(yùn)算、證明中重要的公式，但有些同學(xué)對(duì)其理解不深，應(yīng)用不好，故下面加以補(bǔ)充，盼望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)能有所關(guān)心．一、換底公式及證明換底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab).證明設(shè)logbN＝x，那么bx＝N.兩邊均取以a為底的對(duì)數(shù)，得logabx＝logaN，∴xlogab＝logaN.∴x＝eq\f(logaN,logab)，即logbN＝eq\f(logaN,logab).二、換底公式的應(yīng)用舉例1．乘積型例1(1)計(jì)算：log89·log2732；(2)求證：logab·logbc·logcd＝logad.分析先化為以10為底的常用對(duì)數(shù)，通過(guò)約分即可解決．解(1)換為常用對(duì)數(shù)，得log89·log2732＝eq\f(lg9,lg8)·eq\f(lg32,lg27)＝eq\f(2lg3,3lg2)·eq\f(5lg2,3lg3)＝eq\f(2,3)×eq\f(5,3)＝eq\f(10,9).(2)由換底公式，得logab·logbc·logcd＝eq\f(lgb,lga)·eq\f(lgc,lgb)·eq\f(lgd,lgc)＝logad.評(píng)注此類型題通常換成以10為底的常用對(duì)數(shù)，再通過(guò)約分及逆用換底公式，即可解決．2．知值求值型例2log1227＝a，求log616的值．分析此題可選擇以3為底進(jìn)行求解．解log1227＝eq\f(log327,log312)＝a，解得log32＝eq\f(3－a,2a).故log616＝eq\f(log316,log36)＝eq\f(4log32,1＋log32)＝eq\f(4×\f(3－a,2a),1＋\f(3－a,2a))＝eq\f(43－a,3＋a).評(píng)注這類問(wèn)題通常要選擇適當(dāng)?shù)牡讛?shù)，結(jié)合方程思想加以解決．3．綜合型例3設(shè)A＝eq\f(1,log519)＋eq\f(2,log319)＋eq\f(3,log219)，B＝eq\f(1,log2π)＋eq\f(1,log5π)，試比擬A與B的大?。治龃祟}可選擇以19及π為底進(jìn)行解題．解A換成以19為底，B換成以π為底，那么有A＝log195＋2log193＋3log192＝log19360＜2，B＝logπ2＋logπ5＝logπ10＞logππ2＝2.故A＜B.評(píng)注一般也有倒數(shù)關(guān)系式成立，即logab·logba＝1，logab＝eq\f(1,logba).5精析對(duì)數(shù)函數(shù)一、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)．由對(duì)數(shù)的定義簡(jiǎn)潔知道對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)是指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數(shù)．在對(duì)數(shù)函數(shù)中自變量是對(duì)數(shù)式中的真數(shù)，函數(shù)值為對(duì)數(shù)，這一點(diǎn)在運(yùn)用對(duì)數(shù)時(shí)要謹(jǐn)記．假設(shè)對(duì)數(shù)式中的底數(shù)為自變量時(shí)，此函數(shù)不是對(duì)數(shù)函數(shù)．二、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)1．對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的記憶與運(yùn)用的考前須知(1)數(shù)形結(jié)合——利用圖象記憶性質(zhì)．x＝1是“分水嶺〞；(2)函數(shù)的單調(diào)性打算于底數(shù)a大于1還是大于0小于1；(3)指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(其中a＞0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的概念、圖象、性質(zhì)，既有親密的聯(lián)系又有本質(zhì)的區(qū)分．2．對(duì)數(shù)函數(shù)圖象分布規(guī)律如下圖，在同一坐標(biāo)系中多個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)底數(shù)的變化規(guī)律是：在直線x＝1的右邊區(qū)域，在x軸上方，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象越靠近x軸，底數(shù)越大，且底數(shù)均大于1；在x軸下方，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象越靠近x軸，底數(shù)越小，且底數(shù)均在(0,1)之間．圖中的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)a，b，c，d的大小關(guān)系是0＜a＜b＜1＜c＜d.在詳細(xì)解題時(shí)，還可利用特殊值法．例1函數(shù)y＝log(x－1)(4－x)的定義域是________．解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＞0，,x－1≠1，,4－x＞0，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞1，,x≠2，,x＜4，))所以函數(shù)的定義域是{x|1＜x＜4，且x≠2}．答案{x|1＜x＜4，且x≠2}評(píng)注函數(shù)定義域就是使函數(shù)解析式有意義的自變量x的集合，假設(shè)消失對(duì)數(shù)，要使其真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不等于1.例2函數(shù)y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的圖象如下圖，那么a、b、c、d與正整數(shù)1的大小挨次是()A．1＜d＜c＜a＜b B．c＜d＜1＜a＜bC．c＜d＜1＜b＜a D．d＜c＜1＜a＜b解析作出直線y＝1，可知其與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別就是該對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)a、b、c、d，于是c＜d＜1＜a＜b.答案B評(píng)注利用特殊值的方法解決有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象問(wèn)題，可減輕記憶的負(fù)擔(dān)，使問(wèn)題得到快速的解決．

6對(duì)數(shù)函數(shù)中化難為易三策略對(duì)數(shù)函數(shù)是最重要的一類初等函數(shù)，解對(duì)數(shù)函數(shù)問(wèn)題時(shí)常因方法不當(dāng)或沒(méi)有充分挖掘隱含條件而導(dǎo)致錯(cuò)誤．這主要是由于對(duì)數(shù)函數(shù)的制約條件簡(jiǎn)單，參變量的潛在約束比擬隱晦，因此在解題時(shí)，不易理清思路，抓不住關(guān)鍵，往往半途而廢．下面從三個(gè)方面談?wù)剬?duì)數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)中化難為易的求解策略，盼望能對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所關(guān)心．一、數(shù)形結(jié)合策略例1假設(shè)不等式2x－logax＜0在x∈(0，eq\f(1,2))時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解要使不等式2x＜logax在x∈(0，eq\f(1,2))時(shí)恒成立，即函數(shù)y＝logax的圖象在(0，eq\f(1,2))內(nèi)恒在函數(shù)y＝2x的圖象上方，如下圖．而y＝2x的圖象過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(2)))，即需logaeq\f(1,2)≥eq\r(2)，明顯這里0＜a＜1，那么函數(shù)y＝logax遞減．又由于logaeq\f(1,2)≥eq\r(2)＝logaaeq\r(2)，所以aeq\r(2)≥eq\f(1,2)，即a≥(eq\f(1,2)).故所求a的取值范圍為評(píng)注數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合，通過(guò)對(duì)圖形的熟識(shí)、數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化，可以培育思維的敏捷性、形象性，使問(wèn)題化難為易．二、合理?yè)Q元策略例2設(shè)y＝log[a2x＋2(ab)x－b2x＋1]，a，b∈(0，＋∞)，求使y為負(fù)值的x的取值范圍．解∵0＜eq\f(1,2)＜1，y＜0，∴由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知a2x＋2(ab)x－b2x＋1＞1，即a2x＋2(ab)x－b2x＞0.①把①式兩邊同時(shí)除以b2x，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))2x＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))x－1＞0，②令eq\f(a,b)＝t，那么②式可化為t2x＋2tx－1＞0，解得tx＞eq\r(2)－1或tx＜－eq\r(2)－1(舍去)，再給兩邊取以t為底的對(duì)數(shù)，但需分t＞1，t＝1,0＜t＜1三種狀況進(jìn)行爭(zhēng)論．當(dāng)t＞1，即a＞b＞0時(shí)，x＞log(eq\r(2)－1)；當(dāng)t＝1，即a＝b＞0時(shí)，x∈R；當(dāng)0＜t＜1，即0＜a＜b時(shí)，x＜log(eq\r(2)－1)．評(píng)注對(duì)某些對(duì)數(shù)函數(shù)問(wèn)題，奇妙地進(jìn)行變量代換，可使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一次或二次函數(shù)等常規(guī)函數(shù)問(wèn)題來(lái)解，往往能化難為易．三、別離參數(shù)策略例3設(shè)f(x)＝lgeq\f(1＋2x＋…＋n－1x＋nxa,n)，其中a∈R，n是任意給定的自然數(shù)，且n≥2，假如f(x)在(－∞，1]上有意義，求a的取值范圍．解由f(x)有意義，得1＋2x＋…＋(n－1)x＋nxa＞0，x∈(－∞，1]，n≥2，把上式看作關(guān)于a的不等式，解得a＞－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))x＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n)))x＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,n)))x))，令g(x)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))x＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n)))x＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,n)))x))，∵y＝－(eq\f(m,n))x(m＝1,2，…，n－1)在(－∞，1]上是增函數(shù)，∴g(x)在(－∞，1]上也是增函數(shù)，故有g(shù)(x)≤g(1)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)＋\f(2,n)＋…＋\f(n－1,n)))＝－eq\f(n－1,2)，即[g(x)]max＝－eq\f(n－1,2)，故a＞eq\f(1－n,2)，∴a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－n,2)，＋∞)).評(píng)注有些數(shù)學(xué)問(wèn)題構(gòu)思新奇，同時(shí)有其實(shí)際背景，按固有的思維習(xí)慣，把留意力集中在某些醒目的“主元〞上，往往陷入逆境．假如打破思維定勢(shì)，反“客〞為“主〞，把原來(lái)處于相對(duì)次要地位的“客元〞突顯出來(lái)，經(jīng)常能收到出人意料的效果．當(dāng)一個(gè)題目中有多個(gè)變量時(shí)，要敢于把其中的一個(gè)變量作為自變量，其余的變量作為參數(shù)處理，逐步削減參數(shù)，使問(wèn)題獲解．7巧解指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)綜合題指數(shù)函數(shù)y＝ax和對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)，它們有共同的底數(shù)，且底數(shù)起了核心作用，其變化規(guī)律是：當(dāng)a＞1時(shí)，它們?cè)诟髯缘亩x域內(nèi)都是增函數(shù)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，它們?cè)诟髯缘亩x域內(nèi)都是減函數(shù)，因此在解決指、對(duì)函數(shù)型問(wèn)題時(shí)，以底數(shù)為突破口，往往能夠快速解題．一、共享底數(shù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式互化，其底數(shù)全都，即logaN＝b，ab＝N.利用它可以解決指、對(duì)數(shù)方程及互化等問(wèn)題．例1方程log3(1－2·3x)＝2x＋1的解x＝________.解析將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，得32x＋1＝1－2·3x，即3·(3x)2＋2·3x－1＝0，得3x＝eq\f(1,3)，故x＝－1.答案－1二、亮出底數(shù)在有些指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)問(wèn)題，特殊是圖象問(wèn)題中，只要突出底數(shù)作用，即亮出底數(shù)，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，就可解決．例2當(dāng)a＞1時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，能表示函數(shù)y＝a－x與y＝logax的圖象的是()解析由a＞1時(shí)，有0＜eq\f(1,a)＜1，那么指數(shù)函數(shù)y＝a－x＝(eq\f(1,a))x在R上是減函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)，故排解B、C、D.答案A三、變換底數(shù)對(duì)數(shù)或指數(shù)運(yùn)算最怕是不同底，這時(shí)可利用換底公式等手段變換底數(shù)．例3假設(shè)loga2＜logb2＜0，那么()A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1C．a(chǎn)＞b＞1 D．b＞a＞1解析化為同底，有eq\f(1,log2a)＜eq\f(1,log2b)＜0，從而log2b＜log2a＜0，即log2b＜log2a＜log21.∵對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x在(0，＋∞)上是增函數(shù)．∴0＜b＜a＜1.答案B四、爭(zhēng)論底數(shù)當(dāng)?shù)讛?shù)不定時(shí)，常分0＜a＜1與a＞1兩種狀況進(jìn)行爭(zhēng)論．例4函數(shù)y＝ax在[0,1]上的最大值與最小值的差為5，那么a＝________.解析由題意知，a＞0，且a≠1.①當(dāng)a＞1時(shí)，有a1－a0＝5，即a＝6；②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，有a0－a1＝5，即a＝－4(舍去)．綜上知，a＝6.答案6五、消去底數(shù)有時(shí)候指數(shù)及對(duì)數(shù)問(wèn)題的底數(shù)存在，會(huì)給解題帶來(lái)肯定的麻煩，我們還可利用轉(zhuǎn)化的思想(如用同底法、換底法等)消去底數(shù)，使問(wèn)題簡(jiǎn)化．例5設(shè)0＜x＜1，a＞0且a≠1.試比擬loga(1－x)與loga(1＋x)的大?。庾魃蘣q\f(loga1－x,loga1＋x)＝|log(1＋x)(1－x)|，∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1,1＜1＋x＜2,0＜1－x2＜1，∴|log(1＋x)(1－x)|＝－log(1＋x)(1－x)＝log(1＋x)eq\f(1,1－x)＝log(1＋x)eq\f(1＋x,1－x2)＞log(1＋x)(1＋x)＝1.∴l(xiāng)oga(1－x)＞loga(1＋x).8三種數(shù)學(xué)思想在冪函數(shù)中的應(yīng)用一、分類爭(zhēng)論的思想例1假設(shè)(a＋1)－eq\f(1,3)<(3－2a)－eq\f(1,3)，試求a的取值范圍．分析利用函數(shù)y＝x－eq\f(1,3)的圖象及單調(diào)性解題，留意依據(jù)a＋1,3－2a是否在同一單調(diào)區(qū)間去分類．解分類爭(zhēng)論eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1>0，,3－2a>0，,a＋1>3－2a))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1<0，,3－2a<0，,a＋1>3－2a))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2a>0，,a＋1<0，))解得a<－1或eq\f(2,3)<a<eq\f(3,2).評(píng)注考慮問(wèn)題要全面，謹(jǐn)防考慮不周導(dǎo)致錯(cuò)誤，此題是依據(jù)a＋1,3－2a是否在同一單調(diào)區(qū)間去分類．用分類爭(zhēng)論的思想解題時(shí)應(yīng)做到標(biāo)準(zhǔn)明確，不重不漏．二、數(shù)形結(jié)合的思想例2x2>xeq\f(1,3)，求x的取值范圍．解x2與xeq\f(1,3)有相同的底數(shù)，不同的指數(shù)，因此其模型應(yīng)為冪函數(shù)y＝xα(其中α＝2，eq\f(1,3))，所以同一坐標(biāo)系內(nèi)作出它們的圖象比擬函數(shù)值的大小，確定自變量的范圍，即為x的取值范圍，如下圖，可得x的取值范圍是x<0或x>1.評(píng)注數(shù)形結(jié)合是一類重要的數(shù)學(xué)思想方法，它把抽象的關(guān)系與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，使簡(jiǎn)單的問(wèn)題一目了然．三、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想例3指出函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋4x＋5,x2＋4x＋4)的單調(diào)區(qū)間，并比擬f(－π)與f(－eq\f(\r(2),2))的大?。庥捎趂(x)＝eq\f(x2＋4x＋4＋1,x2＋4x＋4)＝1＋eq\f(1,x＋22)＝1＋(x＋2)－2，所以其圖象可由冪函數(shù)y＝x－2向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到，如下圖．所以f(x)在(－2，＋∞)上是減函數(shù)，在(－∞，－2)上是增函數(shù)，且圖象關(guān)于直線x＝－2對(duì)稱．又由于－2－(－π)＝π－2，－eq\f(\r(2),2)－(－2)＝2－eq\f(\r(2),2)，所以π－2<2－eq\f(\r(2),2)，故－π距離對(duì)稱軸更近，所以f(－π)>f(－eq\f(\r(2),2))．評(píng)注通過(guò)化簡(jiǎn)、變形等，可將簡(jiǎn)單的、不熟識(shí)的函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)潔的、熟識(shí)的函數(shù)形式，進(jìn)而運(yùn)用其性質(zhì)來(lái)解題．9函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題“講〞與“練〞講解一求函數(shù)模型例1某地方政府為愛(ài)護(hù)地方電子工業(yè)開(kāi)展，打算對(duì)某一進(jìn)口電子產(chǎn)品征收附加稅．這種電子產(chǎn)品國(guó)內(nèi)市場(chǎng)零售價(jià)為每件250元，每年可銷售40萬(wàn)件，假設(shè)政府增加附加稅率為每百元收t元時(shí)，那么每年銷售量將削減eq\f(8,5)t(t＞0)萬(wàn)件．請(qǐng)將稅金收入表示為征收附加稅的函數(shù)．解設(shè)每年銷售量為x萬(wàn)件，那么每年銷售收入為250x萬(wàn)元，征收附加稅為y＝250x·eq\f(t,100)＝eq\f(5,2)tx.依題意，知x＝40－eq\f(8,5)t＞0，即t＜25.故所求的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq\f(5,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(40－\f(8,5)t))t＝－4t2＋100t(0＜t＜25)．評(píng)注在引入自變量建立目標(biāo)函數(shù)解決函數(shù)應(yīng)用題時(shí)，一要留意自變量的取值范圍，二要檢驗(yàn)所得結(jié)果，必要時(shí)運(yùn)用估算和近似計(jì)算，以使結(jié)果符合實(shí)際問(wèn)題的要求．練習(xí)1將進(jìn)貨單價(jià)為70元的商品按100元一個(gè)售出時(shí)，能賣出500個(gè)，這種商品每個(gè)漲價(jià)1元時(shí)，其銷售量就削減15個(gè)，求利潤(rùn)y與每個(gè)商品漲價(jià)x元之間的函數(shù)關(guān)系式．答案y＝－15x2＋50x＋15000eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(100,3)))講解二函數(shù)模型的選用例2某蔬菜基地種植青瓜，由歷年市場(chǎng)行情得知，從4月1日起的300天內(nèi)，青瓜的種植本錢Q(萬(wàn)元)與上市時(shí)間t(天)的關(guān)系如下表所示：種植本錢Q(萬(wàn)元)150100上市時(shí)間t(天)50150模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)Q＝a(t－150)2＋b(a，b為常數(shù)，且a≠0)，或一次函數(shù)Q＝kt＋m(k，m為常數(shù)，且k≠0)．種植本錢Q＝萬(wàn)元時(shí)，上市時(shí)間t＝200天，那么用以上哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？并說(shuō)明理由．分析依據(jù)題目給定的兩組Q，t的值，可分別求出模擬函數(shù)中的未知量a，b，k，m.解設(shè)f(t)＝a(t－150)2＋b(其中a，b為常數(shù)，a≠0)，g(t)＝kt＋m(k≠0)．由，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f50＝150，,f150＝100，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g50＝150，,g150＝100.))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a50－1502＋b＝150，,a150－1502＋b＝100，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(50k＋m＝150，,150k＋m＝100.)