新初三C專題(圓中的函數(shù)關(guān)系問題4星)

圓中的函數(shù)關(guān)系問題1.理解圓的基本性質(zhì)；2理解圓中：弦、弦心距、弧、圓心角之間的關(guān)系；3.培養(yǎng)學(xué)生利用圓的基本性質(zhì)建立相關(guān)函數(shù)關(guān)系式；4.培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。【備注】該部分引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)圓的基本性質(zhì)和垂徑定理，大概5分鐘左右。一．圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系：在同圓或等圓中，圓心角、弧、弦、弦心距四組量中，只要有一組量相等則其余三組量也相等，簡稱“買一送三”。二．垂徑定理：垂徑定理是圓與直線的位置關(guān)系中最重要的一個定理。如果說對于定理及推論理解實在有難度的話可以從其共性著手?？梢赃@么理解，針對半徑而言，“平分圓心角”、“平分弧”、“平分弦”、“垂直弦”四個特點(diǎn)“買一送三”。從推導(dǎo)過程理解垂徑定理本質(zhì)上就是將曾經(jīng)掌握的等腰三角形“三線合一”置入圓內(nèi)。因此題型中等腰三角形的性質(zhì)對于解題過程的幫助明顯要突出許多。在應(yīng)用這一定理的過程中要注意“弦長”“半徑”“弦心距”之間存在的關(guān)系往往都和勾股定理有關(guān)。勾股數(shù)的熟練掌握對于此類題型幫助很大。近年來的圓出題方向多偏向于這一定理，壓軸題型如果涉及到圓多和垂徑定理脫不了干系。故此定理是為圓一章內(nèi)容的重中之重。思路一：抓住圓內(nèi)存在的等腰三角形，利用勾股定理迅速確定可能出現(xiàn)的與題目有關(guān)的數(shù)據(jù)。思路二：圓內(nèi)出現(xiàn)“平分”，“垂直”等字眼時本題和垂直定理一般就會產(chǎn)生聯(lián)系，無論是證明還是求值都必須先掌握住定理提供的其他的幾個確定關(guān)系。注意：添加輔助線的技巧，就是將題目中的圖形和上圖對比，確什么補(bǔ)什么，大部分題目可以解決，但一定要利用好題目中的特殊條件?！緜渥ⅰ浚骸緜渥ⅰ浚阂韵旅款}教法建議，請老師根據(jù)學(xué)生實際情況參考；在講解時：不宜采用灌輸?shù)姆椒ǎ瑧?yīng)采用啟發(fā)、誘導(dǎo)的策略，并在讀題時引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一些題目中的條件（相等的量、不變的量、隱藏的量等等），使學(xué)生在復(fù)雜的背景下自己發(fā)現(xiàn)、領(lǐng)悟題目的意思；可以根據(jù)各題的“參考教法”引導(dǎo)學(xué)生逐步解題，并采用講練結(jié)合；注意邊講解邊讓學(xué)生計算，加強(qiáng)師生之間的互動性，讓學(xué)生參與到例題的分析中來；例題講解，可以根據(jù)“參考教法”中的問題引導(dǎo)學(xué)生分析題目，邊講邊讓學(xué)生書寫，每個問題后面有答案提示；引導(dǎo)的技巧：直接提醒，問題式引導(dǎo)，類比式引導(dǎo)等等；部分例題可以先讓學(xué)生自己試一試，之后再結(jié)合學(xué)生做的情況講評；每個題目的講解時間根據(jù)實際情況處理，建議每題6-8分鐘。例1.如圖，已知△ABC中，AB=AC=，BC=4，點(diǎn)O在BC邊上運(yùn)動，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與邊AB交于點(diǎn)D（點(diǎn)A除外），設(shè)OB，AD。（★★★★）（1）求的值；（2）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域。【參考教法】可參考以下教法引導(dǎo)學(xué)生分析問題、解決問題一．尋找題目中的已知量：1.哪些邊已知？哪些邊有特殊關(guān)系？提示：AB=AC=，BC=4。2.找找圓心的位置和半徑的大小？提示：圓心O在BC邊上動，半徑為OA。二．求解函數(shù)關(guān)系式：1.尋找一下和分別表示什么？提示：OB，AD2.圓中求解弦長關(guān)于半徑的函數(shù)關(guān)系式，一般情況下怎么求解？提示：過圓心畫弦的垂線，用“勾股定理”或“銳角三角比”求解。3.添加輔助線，計算求解。4.注意求解函數(shù)定義域?！緷M分解答】（1）過點(diǎn)A作AEBC，垂足為E，由AB=AC，得BE=BC=2在Rt△AEB中，∠AEB=，AE=∴.（2）過點(diǎn)O作OFAD，垂足為F，則AF=DF=BF=.∵∠OFB=∠AEB=，∠OBF=∠ABE，∴△OBF∽△ABE∴，即整理得（）。1.已知：如圖，△ABC為等邊三角形，，AH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，點(diǎn)D在線段HC上，且HD=2，點(diǎn)P為射線AH上任意一點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，線段PD的長為半徑作⊙P，設(shè)AP=x。（★★★★）（1）當(dāng)x=3時，求⊙P的半徑長；（2）如圖2，如果⊙P與線段AB相交于E、F兩點(diǎn)，且EF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域?！窘夥c(diǎn)撥】可參考以下方法解答本題尋找題目中的已知量和特殊條件：1.邊：，2.角：3.特殊圖形：△ABC為等邊三角形4.圓心的位置回合半徑的大?。簣A心點(diǎn)P為射線AH上一動點(diǎn)，半徑為（在變化）求解函數(shù)關(guān)系式：1.尋找和分別表示什么：，，都表示邊的長度2.求解：觀察圖形，需連結(jié)、，并過點(diǎn)作垂線，則利用勾股定理即可求解。3.注意求解定義域?！緷M分解答】（1）∵△ABC為等邊三角形，∴，∠B=60o．又∵，AH⊥BC，∴．即得PH=AH–AP=6–x=3．在Rt△PHD中，HD=2，利用勾股定理，得．∴當(dāng)x=3時，⊙P的半徑長為．（2）過點(diǎn)P作PM⊥EF，垂足為點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)PE．在Rt△PHD中，HD=2，PH=6–x．利用勾股定理，得．∵△ABC為等邊三角形，AH⊥BC，∴∠BAH=30o．即得．在⊙P中，PE=PD．∵PM⊥EF，P為圓心，∴．于是，在Rt△PEM中，由勾股定理得．即得．∴所求函數(shù)的解析式為，定義域為．例2.在半徑為4的⊙O中，點(diǎn)C是以AB為直徑的半圓的中點(diǎn)，OD⊥AC，垂足為D，點(diǎn)E是射線AB上的任意一點(diǎn)，DF//AB，DF與CE相交于點(diǎn)F，設(shè)EF=，DF=。（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在射線OB上時，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在⊙O上時，求線段DF的長。（★★★★）【參考教法】可參考以下教法引導(dǎo)學(xué)生分析問題、解決問題一．尋找題目中的已知量：1.題目中哪些邊的大小已知？哪些邊有特殊關(guān)系？提示：，，。2.找找圓心的位置和半徑的大小？提示：圓心為線段中點(diǎn)，半徑為4二．求解函數(shù)關(guān)系式：1.尋找一下和分別表示什么？提示：EF=，DF=。2.怎么求解？從圖形中找找關(guān)系式。提示：連結(jié)，由是的中位線可求解。3.添加輔助線，計算求解。4.注意求解函數(shù)定義域。5.當(dāng)點(diǎn)F在⊙O上時，得到什么特殊情況？提示：連結(jié)，則得即，用函數(shù)關(guān)系求解的值。【滿分解答】（1）聯(lián)結(jié)OC，∵AC是⊙O的弦，OD⊥AC，∴OD=AD．∵DF//AB，∴CF=EF，∴DF==．∵點(diǎn)C是以AB為直徑的半圓的中點(diǎn)，∴CO⊥AB．∵EF=，AO=CO=4,∴CE=2,OE=.∴.定義域為（2）當(dāng)點(diǎn)F在⊙O上時，聯(lián)結(jié)OC、OF，EF=，∴OC=OB=AB=4．∴DF=2+=2+2．【備注】：本部分對前面例題中講到的解題方法進(jìn)行歸類總結(jié)，以引導(dǎo)式總結(jié)出，建議時間4分鐘左右。圓中的函數(shù)關(guān)系問題的解題方法和策略：圓中的函數(shù)關(guān)系問題的解題方法和策略：1.尋找一下和分別表示什么；2.觀察和是否存在直接關(guān)系；3.尋找相似基本圖形和特殊圖形，找比例關(guān)系式；4.用“比例關(guān)系”或“勾股定理”建立關(guān)系式；5.添加輔助線的策略是：過圓心畫弦的垂線，用好垂徑定理；6.注意求解定義域。【備注】該部分需要學(xué)生在10分鐘內(nèi)獨(dú)立完成，滿分10分，之后再評分并講評1.如圖，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，，P是邊AB上的一個動點(diǎn)，⊙P的半徑為定長．當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時，⊙P恰好與邊AC相切；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合，且⊙P與邊AC相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N時，設(shè)AP=x，MN=y。（★★★★）（10分）（1）求⊙P的半徑；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域?！窘夥c(diǎn)撥】可參考以下方法解答本題尋找題目中的已知量和特殊條件：1.邊：AB=15，AC=202.角：3.圓心的位置和半徑的大?。簣A心為邊上一動點(diǎn)，半徑為定值。求解⊙P的半徑的半徑，過點(diǎn)作垂線，用三角比即可求解。求解函數(shù)關(guān)系式：1.尋找和分別表示什么：AP=x，MN=y2.求解：過點(diǎn)作垂線，用“三角比”結(jié)合“勾股定理”即可求解。3.注意求解定義域【滿分解答】（1）作BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D．∵⊙P與邊AC相切，∴BD就是⊙P的半徑．∵，∴．……………………（1分）又∵，AB=15，………………（1分）∴．……（2分）（2）作PH⊥MN，垂足為點(diǎn)H．由垂徑定理，得MN=2MH．……………………（1分）而，，……………（2分）∴，