湖南省岳陽市華容縣2020-2021學年高一下學期期末數(shù)學試題（解析版）

華容縣2020－2021學年度第二學期期末考試試卷高一數(shù)學注意事項：1、本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁．時量120分鐘，滿分150分．答題前，考生要將自己的姓名、考號填寫在答題卡上，并且用2B鉛筆在答題卡信息碼上，將自己的考號對應的數(shù)字涂黑．2、回答選擇題時，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷和草稿紙上無效．3、回答非選擇題時，用0.5毫米黑色墨水簽字筆將答案按題號寫在答題卡上．寫在本試卷和草稿紙上無效．4、考試結(jié)束時，將答題卡交回．一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．）1.若為虛數(shù)單位，且，則A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復數(shù)乘法的運算法則化簡原式，利用復數(shù)相等的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】因為，即，因為為虛數(shù)單位，所以，故選C.【點睛】本題主要考查復數(shù)的乘法運算以及復數(shù)相等的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.2.某中學有老年教師20人，中年教師65人，青年教師95人，為了調(diào)查他們的健康狀況，需從他們中抽取一個容量為36的樣本，則合適的抽樣方法是（）A.抽簽法 B.隨機數(shù)法 C.分層隨機抽樣 D.其他抽樣方法【答案】C【解析】【分析】根據(jù)樣本的年齡特性確定抽樣方法．【詳解】由于樣本中年齡分為三個層次：老年，中年，青年，因此采取分層抽樣方法．故選：C．3.已知向量，，則等于（）A.（7，－2） B.（1，－2）C.（1，－3） D.（7，2）【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標運算可解得結(jié)果.【詳解】因為，，所以.故選：A.4.已知等邊三角形ABC的邊長為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出正的實際圖形和直觀圖，計算出直觀圖的底邊上的高，由此可求得的面積.【詳解】如圖①②所示的實際圖形和直觀圖.由斜二測畫法可知，，，在圖②中作于，則.所以.故選：D.5.在中,若，，，則A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】依題意，由正弦定理即可求得得值.【詳解】由正弦定理得，.故選B.【點睛】本題主要考查正弦定理的應用，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．6.如圖是一個正方體的展開圖，則在原正方體中A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將展開圖還原成正方體，標出各點的位置，再進行判斷．【詳解】把正方體的展開圖還原成正方體，得到如圖所示的正方體，由正方體性質(zhì)得：AB與CD相交，AD與EF異面，CD與GH平行，AB與GH異面，故選：C．【點睛】本題考查正方體的展開圖的應用，是基礎(chǔ)題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．7.袋子中有四個小球，分別寫有“美、麗、中、國”四個字，有放回地從中任取一個小球，直到“中”“國”兩個字都取到就停止，用隨機模擬方法估計恰好在第三次停止的概率．利用電腦隨機產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，分別用0，1，2，3代表“中、國、美、麗”這四個字，以每三個隨機數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下18組隨機數(shù)：232321230023123021132220001231130133231031320122103233由此可以估計，恰好第三次就停止的概率為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由古典概型的概率計算方法求解即可.【詳解】由隨機產(chǎn)生的隨機數(shù)可知，恰好第三次就停止的有：共4個基本事件，根據(jù)古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率為，故選：C.8.若是以為直角頂點的三角形，且面積為，設(shè)向量，，，則關(guān)于下列說法正確的是（）A.有最大值為 B.有最小值為C.有最大值為 D.有最小值為【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)出點坐標，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標運算公式和基本不等式求解即可.【詳解】因為是以為直角頂點的三角形，所以如下圖所示，不妨設(shè)，

因為面積為，所以，即，因為向量，，，所以，即，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，所以有最大值為.故選：A二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.下列四式可以化簡為的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由向量加減法法則計算各選項，即可得結(jié)論．【詳解】A項中，；B項中，；C項中，；D項中，.故選：ABC10.（多選題）某學校為了調(diào)查學生在一周生活方面的支出情況，抽出了一個容量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在元的學生有60人，則下列說法正確的是（）A.樣本中支出在元的頻率為0.03B.樣本中支出不少于40元的人數(shù)為132C.n的值為200D.若該校有2000名學生，則定有600人支出在元【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖求出每組的頻率，補齊第四組的頻率，結(jié)合頻數(shù)與頻率和樣本容量的關(guān)系即可判定.【詳解】樣本中支出在元的頻率為，故A錯誤；樣本中支出不少于40元的人數(shù)為，故B正確；，故n的值為200，故C正確；若該校有2000名學生，則可能有600人支出在[50，60）元，故D錯誤.故選：BC.【點睛】此題考查根據(jù)頻率分布直方圖求每組的頻率，補齊頻率分布直方圖，用數(shù)據(jù)特征估計總體的特征.11.設(shè)是復數(shù)，則下列說法中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若|z1|＝|z2|，則 D.若|z1|＝|z2|，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)共軛復數(shù)、復數(shù)運算等知識對選項進行分析，從而確定正確選項.【詳解】對于A選項，設(shè)，滿足，但不滿足，A選項錯誤.對于D選項，設(shè)，滿足，但，D選項錯誤.對于B選項，由于，故可設(shè)，則，則，B選項正確.對于C選項，由于，且，所以，C選項正確.故選：BC12.如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.平面C.三棱錐的體積為定值D.的面積與的面積相等【答案】BC【解析】【分析】證明平面，可判斷A選項的正誤；利用面面平行的性質(zhì)可判斷B選項的正誤；利用錐體的體積公式可判斷C選項的正誤；利用三角形的面積公式可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，連接、，

因為四邊形為正方形，則，平面，平面，，，所以，平面，因為平面，平面,平面平面因此，不垂直，A選項錯誤；對于B選項，因為平面平面，平面，故平面，B選項正確；對于C選項，因為的面積為，點到平面的距離為定值，故三棱錐的體積為定值，C選項正確；對于D選項，設(shè)，取的中點，連接、，由A選項可知，平面，即平面，平面，則，因為且，故四邊形為平行四邊形，則且，因為、分別為、的中點，故且，所以，四邊形為平行四邊形，平面，平面，所以，，故四邊形為矩形，所以，，，所以，平面，平面，，，所以，，D選項錯誤.故選：BC.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知隨機事件A發(fā)生的頻率是0.02，事件A出現(xiàn)了10次，那么可能共進行了________次試驗．【答案】500【解析】【詳解】設(shè)共進行了n次試驗，則＝0.02，解得n＝500.考點：隨機事件的試驗次數(shù).14.若三點，，，（）共線，則的值等于___________.【答案】##0.5【解析】【分析】由三點共線，利用斜率的公式可得，進而可求目標式的值.【詳解】由題意知，直線的斜率存在，則.由得：，即，又，∴.故答案為：15.設(shè)的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，則的形狀為______.【答案】等腰三角形或直角三角形【解析】【分析】由正弦定理統(tǒng)一為三角函數(shù)，化簡即可求解.【詳解】由及正弦定理，得，所以或，故是等腰三角形或直角三角形.故答案為：等腰三角形或直角三角形【點睛】本題主要考查了正弦定理，二倍角公式，屬于中檔題.16.三棱錐A－BCD的四個面都是直角三角形，且側(cè)棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且，則該三棱錐A－BCD外接球的體積為________．【答案】【解析】【分析】將三棱錐A－BCD放入長方體內(nèi)分析，結(jié)合可得，再根據(jù)長方體的體對角線等于外接球直徑求解即可.【詳解】由題意，在長方體中畫出三棱錐A－BCD，由有，即，解得.易得該三棱錐A－BCD外接球即此長方體的外接球，直徑，故半徑，故體積為.故答案為：四、解答題（本大題共6小題，滿分70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知向量＝（cosx，sinx），，x∈[0，π]，若f(x)＝，求f(x)的最值．【答案】最大值3；最小值．【解析】【分析】由數(shù)量積的坐標表示求得，并利用兩角和的余弦公式化簡后，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)得最值．【詳解】，因為x∈[0，π]，所以，從而．于是，當，即x＝0時，f(x)取得最大值3，當，即時，f(x)取得最小值．18.已知||=1，||=.（1）若，求·；（2）若，的夾角為60°，求|+|；（3）若-與垂直，求與的夾角.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)若,則·的夾角為或，由平面向量數(shù)量積的定義即可得出答案.(2)|+|，，的夾角為60°，||=1，||=.，化簡代入即可得出答案.(3)-與垂直，則，設(shè)·的夾角為，化簡代入即可得出答案.【小問1詳解】若，則·的夾角為或，所以·或·.所以·=.【小問2詳解】|+|【小問3詳解】若-與垂直，則，所以，設(shè)·的夾角為，所以，則，，所以.19.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是菱形，且PB＝PD．（1）求證：BD⊥PC；（2）若平面PBC與平面PAD的交線為l，求證：BC∥l．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）連接AC，交BD于點O，連接PO．根據(jù)線面垂直的判定證明BD⊥平面PAC即可；（2）先根據(jù)線面平行的判定證明BC∥平面PAD，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)證明即可；【小問1詳解】連接AC，交BD于點O，連接PO．因為四邊形ABCD為菱形，所以BD⊥AC．又因為PB＝PD，O為BD中點，所以BD⊥PO．因為PO∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC，因為PC?平面PAC，所以BD⊥PC．【小問2詳解】因為四邊形ABCD為菱形，所以BC∥AD．因為BC?平面PAD，AD?平面PAD．所以BC∥平面PAD．又因為BC?平面PBC，平面PBC與平面PAD的交線為l．所以BC∥l20.在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，已知，（1）若，求b；（2）求△ABC面積的最大值．【答案】（1）2；（2）3【解析】【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理可求b的值；（2）由余弦定理和基本不等式可求bc的最大值，進而可求△ABC面積的最大值．【詳解】解：（1），，由正弦定理，可得．（2），由余弦定理知，，當且僅當取“”；面積的最大值為．【點睛】本題考查了正弦、余弦定理的應用問題，也考查了基本不等式與三角形面積的計算問題，屬于基礎(chǔ)題．21.某同學在解題中發(fā)現(xiàn)，以下三個式子的值都等于同一個常數(shù).①②③（是虛數(shù)單位）（Ⅰ）從三個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；（Ⅱ）根據(jù)三個式子的結(jié)構(gòu)特征及（Ⅰ）的計算結(jié)果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為一個復數(shù)恒等式，并證明你的結(jié)論.【答案】（I）（II）結(jié)論為（且不同時為零），證明見解析【解析】【分析】（Ⅰ）將三個式子化簡答案都為.（II）觀察結(jié)構(gòu)歸納結(jié)論為，再利用復數(shù)的計算證明結(jié)論.【詳解】（I）（II）根據(jù)三個式子的結(jié)構(gòu)特征及（I）的計算結(jié)果，可以得到：（且不同時為零）下面進行證明：要證明只需證只需證因為上式成立，所以成立.（或直接利用復數(shù)的乘除運算得出結(jié)果）【點睛】本題考查了復數(shù)的計算和證明，意在考查學生的歸納能力.22.如圖，在三棱錐中，.（1）證明：平面