2022-2023學(xué)年蘇教版高一數(shù)學(xué)新教材同步講義3.3 從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式

文檔來源網(wǎng)絡(luò)侵權(quán)刪除3.3從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式【知識點梳理】知識點一：一元二次不等式的概念一般地，我們把只含有一個末知數(shù)，并且末知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式，即形如或（其中a，b，c均為常數(shù)，的不等式都是一元二次不等式．知識點二：二次函數(shù)的零點一般地，對于二次函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做二次函數(shù)的零點．知識點三：一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知數(shù)的值組成的集合叫做這個一元二次不等式的解集．知識點四：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系對于一元二次方程的兩根為且，設(shè)，它的解按照，，可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)的圖像與軸的位置關(guān)系也分為三種情況．因此我們分三種情況來討論一元二次不等式或的解集．二次函數(shù)（）的圖象有兩相異實根有兩相等實根無實根知識點詮釋：（1）一元二次方程的兩根是相應(yīng)的不等式的解集的端點的取值，是拋物線與軸的交點的橫坐標(biāo)；（2）表中不等式的二次系數(shù)均為正，如果不等式的二次項系數(shù)為負(fù)，應(yīng)先利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為正的形式，然后討論解決；（3）解集分三種情況，得到一元二次不等式與的解集．知識點五：利用不等式解決實際問題的一般步驟（1）選取合適的字母表示題中的未知數(shù)；（2）由題中給出的不等關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式（組）；（3）求解所列出的不等式（組）；（4）結(jié)合題目的實際意義確定答案．知識點六：一元二次不等式恒成立問題（1）轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解集為的情況，即恒成立恒成立（2）分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題．知識點七：簡單的分式不等式的解法系數(shù)化為正，大于取“兩端”，小于取“中間”【題型歸納目錄】題型一：解不含參數(shù)的一元二次不等式題型二：一元二次不等式與根與系數(shù)關(guān)系的交匯題型三：含有參數(shù)的一元二次不等式的解法題型四：一次分式不等式的解法題型五：實際問題中的一元二次不等式問題題型六：不等式的恒成立問題【典型例題】題型一：解不含參數(shù)的一元二次不等式例1．（2022·全國·高一課時練習(xí)）不等式的解集為（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟（1）通過對不等式的變形，使不等式右側(cè)為0，使二次項系數(shù)為正．（2）對不等式左側(cè)因式分解，若不易分解，則計算對應(yīng)方程的判別式．（3）求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實根．（4）根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應(yīng)的二次函數(shù)的草圖．（5）根據(jù)圖象寫出不等式的解集．例2．（多選題）（2022·湖南·株洲二中高一開學(xué)考試）與不等式的解集相同的不等式有（

）A． B．C． D．例3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）解下列不等式：(1)；(2)；(3).題型二：一元二次不等式與根與系數(shù)關(guān)系的交匯例4．（2022·全國·高一專題練習(xí)）若不等式的解集為，則（）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】三個“二次”之間的關(guān)系（1）三個“二次”中，一元二次函數(shù)是主體，討論一元二次函數(shù)主要是將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程和一元二次不等式的形式來研究．（2）討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應(yīng)的一元二次函數(shù)相聯(lián)系，通過一元二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)來解決問題，關(guān)系如下：例5．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集為,則______，______．例6．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）若不等式的解集為，則不等式的解集是（

）A． B．或C． D．例7．（2022·浙江·磐安縣第二中學(xué)高一開學(xué)考試）已知不等式的解集為，則的解集為（

）A． B．C． D．例8．（2022·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)集合，，若，則m的值為_________.例9．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）已知不等式的解集是，，則不等式的解集是____________.例10．（2022·全國·高一單元測試）已知關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，則的解集是___________.題型三：含有參數(shù)的一元二次不等式的解法例11．（2022·全國·高一課時練習(xí)）不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟（1）討論二次項系數(shù)：二次項若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為正的形式．（2）判斷方程根的個數(shù)：討論判別式Δ與0的關(guān)系．（3）寫出解集：確定無根時可直接寫出解集；確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式．例12．（2022·江蘇·鹽城市田家炳中學(xué)高一期中）已知不等式的解集為．(1)求實數(shù)，的值；(2)解關(guān)于的不等式（其中為實數(shù)）．例13．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式ax2﹣x+1﹣a＜0．(1)當(dāng)a＝2時，解關(guān)于x的不等式；(2)當(dāng)a＞0時，解關(guān)于x的不等式．例14．（2022·全國·高一專題練習(xí)）解關(guān)于的不等式．例15．（2022·全國·高一專題練習(xí)）解關(guān)于的不等式．例16．（2022·全國·高一專題練習(xí)）若，解關(guān)于的不等式．例17．（2022·全國·高一專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集中恰有個正整數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.例18．（2022·陜西·長安一中高一期中）已知關(guān)于x的不等式的解集為．(1)寫出a和b滿足的關(guān)系；(2)解關(guān)于x的不等式．題型四：一次分式不等式的解法例19．（2022·全國·高一課時練習(xí)）不等式的解集為（

）A．[－1，2] B．[－2，1]C．[－2，1)∪(1，3] D．[－1，1)∪(1，2]【方法技巧與總結(jié)】分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式的基本類型有哪些？（1）（2）（3）且（4）且例20．（2022·湖南·株洲二中高一開學(xué)考試）已知不等式的解集為，求不等式的解集.例21．（2022·陜西·長安一中高一期末）不等式的解集為__________．例22．（2022·全國·高一課時練習(xí)）不等式的解集為______________．例23．（2022·寧夏·靈武市第一中學(xué)高一期末）不等式的解集為___________.例24．（2022·全國·高一課時練習(xí)）不等式的解集是____________.例25．（2022·全國·高一課時練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集為或，(1)求關(guān)于的不等式的解集(2)求關(guān)于的不等式的解集．題型五：實際問題中的一元二次不等式問題例26．（2022·貴州黔東南·高一期末）黔東南某地有一座水庫，設(shè)計最大容量為128000m3．根據(jù)預(yù)測，汛期時水庫的進(jìn)水量（單位：m3）與天數(shù)的關(guān)系是，水庫原有水量為80000m3，若水閘開閘泄水，則每天可泄水4000m3；水庫水量差最大容量23000m3時系統(tǒng)就會自動報警提醒，水庫水量超過最大容量時，堤壩就會發(fā)生危險；如果汛期來臨水庫不泄洪，1天后就會出現(xiàn)系統(tǒng)自動報警．(1)求的值；(2)當(dāng)汛期來臨第一天，水庫就開始泄洪，估計汛期將持續(xù)10天，問：此期間堤壩會發(fā)生危險嗎？請說明理由．【方法技巧與總結(jié)】利用不等式解決實際問題需注意以下四點（1）閱讀理解材料：應(yīng)用題所用語言多為文字語言，而且不少應(yīng)用題文字?jǐn)⑹銎^長．閱讀理解材料要達(dá)到的目的是將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，這就要求解題者領(lǐng)悟問題的實際背景，確定問題中量與量之間的關(guān)系，初步形成用怎樣的模型能夠解決問題的思路，明確解題方向．（2）建立數(shù)學(xué)模型：根據(jù)（1）中的分析，把實際問題用“符號語言”“圖形語言”抽象成數(shù)學(xué)模型，并且，建立所得數(shù)學(xué)模型與已知數(shù)學(xué)模型的對應(yīng)關(guān)系，以便確立下一步的努力方向．（3）討論不等關(guān)系：根據(jù)（2）中建立起來的數(shù)學(xué)模型和題目要求，討論與結(jié)論有關(guān)的不等關(guān)系，得到有關(guān)理論參數(shù)的值．（4）作出問題結(jié)論：根據(jù)（3）中得到的理論參數(shù)的值，結(jié)合題目要求作出問題的結(jié)論．例27．（2022·全國·高一課時練習(xí)）某旅店有200張床位．若每張床位一晚上的租金為50元，則可全部租出；若將出租收費標(biāo)準(zhǔn)每晚提高元（為正整數(shù)），則租出的床位會相應(yīng)減少張．若要使該旅店某晚的收入超過12600元，則每張床位的出租價格可定在什么范圍內(nèi)？例28．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）汽車在行駛中，由于慣性的作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，這段距離稱為“剎車距離”．剎車距離是分析交通事故的一個重要指標(biāo)．在一個限速為40km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時剎車，但還是相碰了．事后現(xiàn)場勘查測得甲車的剎車距離略超過12m，乙車的剎車距離略超過10m，又知甲、乙兩種車型的剎車距離與車速分別有如下關(guān)系式：，．問：甲、乙兩輛汽車是否有超速現(xiàn)象？例29．（2022·湖北十堰·高一期中）某學(xué)校欲在廣場旁的一塊矩形空地上進(jìn)行綠化.如圖所示，兩塊完全相同的長方形種植綠草坪，草坪周圍（斜線部分）均種滿寬度相同的鮮花.已知兩塊綠草坪的面積均為200平方米.(1)若矩形草坪的長比寬至少多10米，求草坪寬的最大值；(2)若草坪四周及中間的寬度均為2米，求整個綠化面積的最小值.題型六：不等式的恒成立問題例30．（2022·全國·高一單元測試）對任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】不等式對一切實數(shù)恒成立，即不等式的解集為R，要解決這個問題還需要討論二次項的系數(shù)．例31．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若，且關(guān)于x的不等式在R上有解，求實數(shù)a的取值范圍．例32．（2022·湖南·雅禮中學(xué)高一開學(xué)考試）不等式的解集是全體實數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍________．例33．（2022·江蘇·鹽城市田家炳中學(xué)高一期中）已知命題：，，若命題是假命題，則實數(shù)的取值范圍為_________．例34．（2022·全國·高一專題練習(xí)）不等式的解集為R，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．例35．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知對任意，恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是（

）A． B．C． D．例36．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知關(guān)于的不等式．(1)若對任意實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若對于，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．例37．（2022·全國·高一課時練習(xí)）在，，存在集合，非空集合，使得這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．問題：求解實數(shù)，使得命題，，命題：______都是真命題．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·全國·高一課時練習(xí)）不等式的解集為（

）A．或 B．C．或 D．2．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集是（

）A． B．或 C． D．或3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)（）的最小值為0，若關(guān)于x的不等式的解集為，則實數(shù)c的值為（

）A．9 B．8 C．6 D．44．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若使不等式成立的任意一個x都滿足不等式，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，且是方程的兩實數(shù)根，則，，m，n的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．6．（2022·湖南·長沙一中高一開學(xué)考試）關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，且，那么的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．（2022·全國·高一單元測試）已知且，若恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．} C． D．8．（2022·全國·高一課時練習(xí)）在R上定義運算.若不等式對任意實數(shù)x都成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2022·全國·高一課時練習(xí)）不等式對任意的R恒成立，則（

）A． B． C． D．10．（2022·江蘇·高一）已知關(guān)于的一元二次不等式，其中，則該不等式的解集可能是（

）A． B． C． D．11．（2022·福建省龍巖第一中學(xué)高一開學(xué)考試）已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是（

）A． B．不等式的解集為C．不等式的解集為或 D．12．（2022·湖南·株洲二中高一開學(xué)考試）已知關(guān)于x的不等式組僅有一個整數(shù)解，則k的值可能為（

）A． B． C． D．5三、填空題13．（2022·全國·高一專題練習(xí)）若不等式的解集是，則的解集為__________.14．（2022·陜西·千陽縣中學(xué)高一開學(xué)考試）不等式的解集為__________.15．（2022·全國·高一專題練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集中恰有1個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是_________.16．（2022·全國·高一課時練習(xí)）知關(guān)于x的不等式的解集為，其中，則的最小值為______．四、解答題17．（2022·全國·高一專題練習(xí)）解下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4)．18．（2022·遼寧·營口市第二高級中學(xué)高一期末）已知關(guān)于的不等式.(