2022屆中考數(shù)學(xué)壓軸題押題及答案解析

2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題1．如圖，已知，拋物線y＝ax2﹣2x過點A（﹣2，5），過A點作x軸的平行線，交拋物線與另一點C，交y軸與點Q，點D（m，5）為線段QC上一動點（不與Q、C重合），作點Q關(guān)于直線OD的對稱點P，連接PC，PD．（1）當(dāng)點P落在拋物線的對稱軸上時，求△OPD的面積；（2）若直線PD交x軸與點E．試探究四邊形OECD能否為平行四邊形？若能，求出m的值，若不能，請說明理由．（3）設(shè)點P（h，k）．①求PC取最小值時k的值；②當(dāng)0＜m≤5時，試探究h與m之間的關(guān)系．解：（1）把點A（﹣2，5）代入拋物線y＝ax2﹣2x，得5＝4a+4，∴a=1∴y=14x2∴對稱軸為x＝4，C（10，5），當(dāng)點P落在拋物線的對稱軸上時，如圖1，記作P'，∴OM＝4，OP'＝OQ＝5，DP'＝DQ＝m，∴P'M＝3，P'N＝5﹣3＝2，在Rt△DPN中，m2＝22+（4﹣m）2，解得m=5∴△OP'D的面積＝△OQD的面積=1（2）∵AC∥OE，∴當(dāng)DC＝OE時，四邊形OECD為平行四邊形，∵∠DOE＝∠ODQ＝∠ODP，∴DE＝OE＝CD＝10﹣m，∴E（10﹣m，0），∵D（m，5），∴ED2＝（10﹣2m）2+52＝（10﹣m）2，解得m=53或∴m的值53（3）①∵OP＝OQ＝5，OC＝55，∴當(dāng)O，P，C在一條直線上時，PC最小，如圖2，此時，點P記作P''此時PC＝P''C＝55-由△DPC''∽△EPO，得k5-k解得k=5②如圖3，連接QP，作PH⊥QC于H，則QP⊥OD，∴∠HQP＝90°﹣∠OQP＝∠QOD，∵OQ＝5，QD，∴OD邊上的高為5mm∴QP=∴cos∠HQP＝cos∠QOD，即h10m∴h與m之間的關(guān)系為h=50m2.如圖1，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝82，且點C與點A在x軸，點B在y軸上．（1）直接寫出直線AB和直線BC的解析式；（2）點P是線段AB上一點，過點P作PD⊥x軸于點D，作PE⊥x軸交BC于點E，交y軸于點G．當(dāng)PD+PE＝13時，在線段AB軸上有一動點Q，在線段OB軸上有一動點R，連接DR，RQ，求DR+RQ的最小值和此時點Q的坐標(biāo)；（3）如圖2，在（2）的結(jié)論下，將△PBG繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)45°至△P'BG′．將△P′BG′沿射線BC方向平移，設(shè)平移后的△P'BG'為△P″B″G″，連接P″C，當(dāng)△CB″P″是等腰三角形時，求△P'BG'的平移距離d．解：（1）OA＝ABcos45°＝8＝OB＝OC，即點A、B、C的坐標(biāo)分別為（﹣8，0）、（0，8）、（8，0），把A、B坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝kx+8得：y＝﹣8k+8，解得：k＝1，故：直線AB的表達(dá)式為：y＝x+8，同理可得直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+8；（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，m+8），則點E的坐標(biāo)為（﹣m，m+8），PD+PE＝m+8﹣2m＝13，解得：m＝﹣5，即點P（﹣5，3）、E（5，3）、D（﹣5，0），在x軸確定D點關(guān)于y軸的對稱點D′（5，0），過點D′作D′Q⊥AB交AB于點Q、交y軸于點R，則DR+RQ＝D′Q最小，DR+RQ＝D′Q＝AD′sin45°＝13×2點Q的坐標(biāo)為（-32，（3）設(shè)：△P'BG'為△P″B″G″在水平方向上平移的距離為m，則d=2m，B″P″交x軸于點H①當(dāng)P″B″＝B″C時，CH＝8﹣m，而P″G″＝5，S△P″B″C=12CB″×P″G″=12P″即：P″G″＝CH，8﹣m＝5，解得：m＝3，則d＝32；②當(dāng)P″C＝B″C時，同理可得：d＝82-③當(dāng)P″B″＝P″C時，∠P″CB″＝45°，∠B″P″C＝90°，同理可得：d＝82-5或132故：平移距離d為32、82-10、82-5、133．如圖1，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于點A（﹣3，0），B（2，0），交y軸于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，D點坐標(biāo)為（23，0），連結(jié)DC．若點H是線段DC上的一個動點，求OH+12（3）如圖3，連結(jié)AC，過點B作x軸的垂線l，在第三象限中的拋物線上取點P，過點P作直線AC的垂線交直線l于點E，過點E作x軸的平行線交AC于點F，已知PE＝CF．①求點P的坐標(biāo)；②在拋物線y＝x2+bx+c上是否存在一點Q，使得∠QPC＝∠BPE成立？若存在，求出Q點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+x﹣6…①，（2）作點O關(guān)于直線DC的對稱點O′交CD于點M，過點O′作O′G⊥y軸交DC與點H、交y軸與點G，∵OD＝23，OC＝6，則∠OCD＝30°，∴GH=12在圖示的位置時，OH+12HC＝GH+OH，此時為最小值，長度為∵O′O⊥DC，∴∠OO′H＝∠OCD＝30°，∴OM=12OC＝3=在Rt△OO′G中，GO′＝OO′cos∠OO′G＝6cos30°＝33，即：OH+12HC的最小值為3（3）①設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，n），n＝m2+m﹣6，直線AC表達(dá)式的k值為﹣2，則直線PE表達(dá)式的k值為12設(shè)直線PE的表達(dá)式為：y=12x+將點P坐標(biāo)代入上式并解得：b＝n-12則點E的坐標(biāo)為（2，1+n-12m），點F的坐標(biāo)為（14m-12n-過點P作x軸的平行線交直線l于點M，過點F作y軸平行線交過C點作x軸的平行線于點S，∵AC⊥PE，∴∠EPM＝∠SFC＝β，∵PE＝CF，則PEcosβ＝CFcosβ，即：PM＝FS，∴1+n-12m+6＝2﹣m，即：2m2+3解得：m=12或﹣2（舍去故點P坐標(biāo)為（﹣2，﹣4），點E坐標(biāo)為（2，﹣2）；②過點P作x軸的平行線交直線l于點M、交y軸于點R，作EN⊥PB于點N，則：PM＝4＝BM＝4，EM＝BE＝2，則PE=20，EN＝BEsin∠NBE＝2×sin45°=設(shè)：∠QPC＝∠BPE＝α，則sin∠BPE=ENPE=110=過點P作y軸的平行線交過C點與x軸的平行線于點L，延長PQ交CL于點H，過點H作HG⊥PC，則：PL＝PR＝RC＝CL＝2，即四邊形PRCL為正方形，∴∠PCH＝45°，設(shè)：GH＝GC＝m，PG=GHtan∠CPQ=3m，PC＝PG+GC＝4m＝22，則CH=2m＝1，即點H則HP所在的直線表達(dá)式為：y＝﹣2x﹣8…②，①②聯(lián)立并解得：x＝﹣1或﹣2（x＝﹣2和點P重合，舍去），故點Q的坐標(biāo)為（﹣1，﹣6），同理當(dāng)點Q在第四象限時，點Q（12，-綜上，點Q（﹣1，﹣6）或（12，-4．已知：⊙O是△ABC的外接圓，AD為⊙O的直徑，AD⊥BC，垂足為E，連接BO，延長BO交AC于點F．（1）如圖1，求證：∠BFC＝3∠CAD；（2）如圖2，過點D作DG∥BF交⊙O于點G，點H為DG的中點，連接OH，求證：BE＝OH；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接CG，若DG＝DE，△AOF的面積為925，求線段證明：（1）∵AD為⊙O的直徑，AD⊥BC，∴BE＝EC，∴AB＝AC，又∵AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OB，∴∠BAD＝∠ABO，∴∠BAD＝∠ABO＝∠CAD，∵∠BFC＝∠BAC+∠ABO，∴∠BFC＝∠BAD+∠EAD+∠ABO＝3∠CAD；（2）如圖2，連接AG，∵AD是直徑，∴∠AGD＝90°，∵點H是DG中點，∴DH＝HG，又∵AO＝DO，∴OH∥AG，AG＝2OH，∴∠AGD＝∠OHD＝90°，∵DG∥BF，∴∠BOE＝∠ODH，又∵∠OEB＝∠OHD＝90°，BO＝DO，∴△BOE≌△ODH（AAS），∴BE＝OH；（3）如圖3，過點F作FN⊥AD，交AD于N，設(shè)DG＝DE＝2x，∴DH＝HG＝x，∵△BOE≌△ODH，∴OE＝DH＝x，∴OD＝3x＝OA＝OB，∴BE=OB2-OE2∵∠BAE＝∠CAE，∴tan∠BAE＝tan∠CAE=BE∴22∴AN=2NF∵∠BOE＝∠NOF，∴tan∠BOE＝tan∠NOF=BE∴22∴ON=24∴AO＝AN+ON=52∵△AOF的面積為92∴12×AO×NF=12∴NF=6∴AO=524NF∴x＝1，∴BE＝22=OH，AE＝4，DG＝DE∴AC=AE2+CE如圖3，連接AG，過點A作AM⊥CG，交GC的延長線于M，由（2）可知：AG＝2OH＝42，∵四邊形ADGC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ACM＝∠ADG，又∵∠AMC＝∠AGD＝90°，∴△ACM∽△ADG，∴ADAC∴62∴CM=263，∴GM=AG∴CG＝GM﹣CM=25．定義：有一組對角互余的四邊形叫做對余四邊形．理解：（1）若四邊形ABCD是對余四邊形，則∠A與∠C的度數(shù)之和為90°或270°；證明：（2）如圖1，MN是⊙O的直徑，點A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于點D．求證：四邊形ABCD是對余四邊形；探究：（3）如圖2，在對余四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究線段AD，CD和BD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并說明理由．（1）解：∵四邊形ABCD是對余四邊形，∴∠A+∠C＝90°或∠A+∠C＝360°﹣90°＝270°，故答案為：90°或270°；（2）證明：∵M(jìn)N是⊙O的直徑，點A，B，C在⊙O上，∴∠BAM+∠BCN＝90°，即∠BAD+∠BCD＝90°，∴四邊形ABCD是對余四邊形；（3）解：線段AD，CD和BD之間數(shù)量關(guān)系為：AD2+CD2＝BD2，理由如下：∵對余四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝30°，∵AB＝BC，∴將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAF，連接FD，如圖3所示：