【2022高考數(shù)學一輪復習】1基本初等函數(shù)的導數(shù)

1第二課時基本初等函數(shù)的導數(shù)第十七章導數(shù)及其應(yīng)用1.基本初等函數(shù)的導數(shù)2原函數(shù)導函數(shù)f(x)=Cf(x)=xn（n∈Q*）f(x)=sinxf(x)=cosx0nxn-1cosx-sinx3原函數(shù)導函數(shù)f(x)=axf(x)=exf(x)=logaxf(x)=lnxaxlnaex2.導數(shù)運算法則(1)[f(x)±g(x)]′=_______________；(2)

[f(x)·g(x)]′=___________________；(3)

[Cf(x)]′=________；(4)

=__________________________4f′(x)±g′(x)f′(x)·g(x)+f(x)g′(x)Cf′(x)1.已知f（x）=x2+2xf

′（1），則f

′（0）=（）A.0B.-4C.-2D.2

由已知得f

′（x）=2x+2f

′（1）,所以f′（1）=2+2f′（1）.即f

′（1）=-2.所以f

′（x）=2x-4，所以f′（0）=-4.5B2.若函數(shù)f(x)滿足f′(x)=2f(x)，則f(x)是()因為若f(x)=e2x，則f′(x)=(e2x)′=2e2x=2f(x).6C3.已知直線y=kx與曲線y=lnx有公共點，則k的最大值為____.從函數(shù)圖象知直線y=kx與曲線y=lnx相切時，k取最大值.而所以所以切線的方程為又切線過原點（0，0），故得lnk=-1，所以74.設(shè)曲線y=aex在點（0,1）處的切線與直線x+2y+1=0垂直，則a=

.

由y′=aex|x=0=a，得a=2.825.函數(shù)f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),則f′(0)=____.僅剩對因式x求導時的項，當x=0時，該項不為0，所以f′(0)=-1×(-2)×(-3)×(-4)=24.9241.基本初等函數(shù)的導數(shù)（1）函數(shù)f（x）=2x3+5x+4在x=2處的導數(shù)為________.（2）曲線y=ln（x+1）+ex在點（0,1）處的切線方程為y=bx+a，則a的值為____；b的值為____.（3）已知函數(shù)f（x）=ax2+3sinx+πx，若則實數(shù)a=_____.10291222.導數(shù)的四則運算（1）設(shè)f（x）=lnx2的導數(shù)為y=g（x）,則g′（x）=_______.（2）已知函數(shù)則f′（1）=______.（3）過曲線y=xcosx上一點P（π,-π）的切線方程為_________.11x+y=012設(shè)函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d的圖象與y軸的交點為P，曲線在P點的切線方程是12x-y-4=0，又該函數(shù)在x=2處取得極值0，求此函數(shù)的解析式.題型1：基本初等函數(shù)的導數(shù)易知點P的坐標為(0,d).因為y′=3ax2+2bx+c|x=0=c，即P點處切線的斜率為c，所以過P點的切線方程為y-d=cx，即y=cx+d.又已知切線方程為y=12x-4，所以c=12,d=-4.13因為點(2,0)是此函數(shù)的極值點，所以y′=3ax2+2bx+c|x=2=12a+4b+12=0且8a+4b+20=0，得a=2,b=-9.所以此函數(shù)的解析式為y=2x3-9x2+12x-4.14【評注】利用導數(shù)的幾何意義，求出過P點的切線方程，與已知切線方程比較，確定參數(shù)的值是一個重要的思想方法.正確地寫出過曲線上某點的切線方程是這一思想方法應(yīng)用的基礎(chǔ).曲線上一點(x0,y0)是極值點有兩層含義，一是當x=x0時，函數(shù)值y0=f(x0)，二是當x=x0時，導函數(shù)在x0處的函數(shù)值為0，即f′(x0)=0.15確定拋物線y=x2+bx+c中的常數(shù)b、c,使拋物線和直線y=2x在x=2處相切.

因為y′=2x+b|x=2=4+b，在點(2,4+2b+c)處的切線方程為y-(4+2b+c)=(4+b)(x-2)，即y=(4+b)x+c-4.

4+b=2

c-4=016，得b=-2c=4.

求下列函數(shù)的導數(shù).（1）y=excosx；（2）y=x2+tanx.

（1）因為y=excosx,故y′=（ex）′cosx+ex（cosx）′=excosx-exsinx.（2）因為17【評注】牢記八個基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)運算法則是求導的基礎(chǔ).18求下列函數(shù)的導數(shù):(1)y=(2x2-5x+2)·lnx；(2)

(1)設(shè)u=2x2-5x+2，則u′=4x-5；又設(shè)v=lnx，則根據(jù)乘積的導數(shù)法則y′=u′v+v′u，所以原函數(shù)的導數(shù)是19(2)設(shè)u=x+cosx，則u′=1-sinx；又設(shè)v=x+sinx，則v′=1+cosx.根據(jù)商式的導數(shù)法則所以原函數(shù)的導數(shù)是20已知函數(shù)(a為常數(shù)).(1)求f′(3)的值；(2)當x=3時，曲線y=f(x)在點(3,y0)處的切線經(jīng)過點(-1,-1)，求a的值.(1)因為所以21題型3：導數(shù)的基本應(yīng)用(2)因為所以曲線在點(3,y0)的切線方程為即因為該切線經(jīng)過點(-1,-1)，所以解得22【評注】求曲線的切線的關(guān)鍵是找出切點，要注意區(qū)分切線所經(jīng)過的點是不是切點.本題切線經(jīng)過的點(-1,-1)不是切點，因此先要假設(shè)切點，再求出切線方程，然后由點(-1,-1)在曲線的切線上，求出a的值.23已知函數(shù)(a∈R)，在曲線y=f(x)的所有切線中，僅有一條切線l與直線y=x垂直.(1)求a的值和切線l的方程；(2)設(shè)曲線y=f(x)上任意點的切線的傾斜角為θ，求θ的取值范圍.24(1)設(shè)切點坐標為(x0,y0)，其中由于y′=x2-4x+a，故得x2-4x+a=-1.依題意，該方程有且只有一個實數(shù)根,于是Δ=16-4(a+1)=0，得a=3,從而x=2，即x0=2,故切線l的方程為即3x+3y-8=0.25(2)設(shè)曲線上任意一點(x,y)處的切線的斜率為k.因為y′=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1，所以k≥-1.由正切函數(shù)的單調(diào)性可得傾斜角θ的取值范圍為261.導數(shù)的運算法則加法運算：［u(x)+v(x)］′=u′(x)+v′(x),和的導數(shù)等于導數(shù)的和；減法運算：［u(x)-v(x)］′=u′(x)-v′(x),差的導數(shù)等于導數(shù)的差；乘法運算：［u(x)·v(x)］′=u′(x)·v(x)+v′(x)·u(x),積的導數(shù)等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘以第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導數(shù)；27除法運算：商的導數(shù)等于分子的導數(shù)乘以分母，減去分母的導數(shù)乘以分子，再除以分母的平方.牢記四則運算法則，將大大提高求函數(shù)導數(shù)的運算速度和準確性.282.借用lnx,ex的導數(shù)，求logax,ax的導數(shù)的方法設(shè)y=logax，則所以設(shè)y=ax，則lny=x·lna，所以則y′=y·lna=ax·lna.29如求函數(shù)的導數(shù)；先取對數(shù)所以則301.（2009·福建卷）若曲線f（x）=ax2+lnx存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是__________.2.（2