【2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)】平面向量應(yīng)用舉例

1第三課時(shí)平面向量應(yīng)用舉例第七章平面向量1.用平面向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”：(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將①__________轉(zhuǎn)化為②_________)_；(2)通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；2幾何問(wèn)題向量問(wèn)題(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.2.平面向量在物理中的應(yīng)用如果一物體在力F的作用下產(chǎn)生的位移為s，且力F與位移s的夾角為θ，那么力F所做的功W=③____________.3.向量形式的三角不等式：________④≤|a·b|≤⑤_________.3F·s·cosθ-|a||b||a||b|4

1.O為平面上的定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn).若(

-

)·(

+

-2

)=0,則△ABC是(

)

A.以AB為底邊的等腰三角形

B.以BC為底邊的等腰三角形

C.以AB為斜邊的直角三角形

D.以BC為斜邊的直角三角形B5

.設(shè)M為的中點(diǎn)，則有所以所以△ABC中，

邊上的中線AM也是CB邊上的高，所以△ABC是以BC為底邊的等腰三角形.6

2.以原點(diǎn)O及點(diǎn)A(5,2)為頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB,使∠A=90°,則的坐標(biāo)為(

)

A.(2,-5)

B.(-2,5)或(2,-5)

C.(-2,5)

D.(7,-3)或(3,7)設(shè)=(x,y).則由|

|=|

|,得.①而又由⊥，得5x+2y=0.②由①②聯(lián)立得x=2,y=-5或x=-2,y=5.所以=(2,-5)或(-2,5).B7

3.已知|p|=2

,|q|=3,p、q的夾角為45°，則以a=5p+2q,b=p-3q為鄰邊的平行四邊形中過(guò)a、b起點(diǎn)的對(duì)角線長(zhǎng)為(

)

A.14

B.

C.15

D.16C8

如圖，設(shè)

=a=5p+2q,

=b=p-3q,

則

=

+

=a+b=6p-q.

所以|

|2=(6p-q)2

=36p2-12p·q+q2

=36×(2

)2-12×22×3×cos45°+9

=225,

所以|

|=15,故選C.

9

4.設(shè)i、j分別是與x軸、y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量,

=4i-2j,

=7i+4j,

=3i+6j,則四邊形ABCD的面積是______.

因?yàn)?/p>

=(4,-2),

=(7,4),

=(3,6),所以

+

=

，所以四邊形ABCD是平行四邊形，如圖.30

10

又cos∠CAB=

=

=

,

所以sin∠CAB=

,

所以SABCD=2S△ABC=2×

|

||

|

sin∠CAB=30.11

5.一條河寬為400m，一船從A出發(fā)垂直航行到達(dá)河正對(duì)岸的B處，船速為20km/h，水速為12km/h，則船到達(dá)B處所需時(shí)間為

min.船、河水流速的合速度是船的實(shí)際航行速度，如圖.則|v1|=20,|v2|=12.根據(jù)勾股定理，得|v|=

=16(km/h)

=

(m/min).所以t=400÷

=1.5(min).1.512

平面向量的應(yīng)用

(1)一架飛機(jī)向北飛行300km后，改變航向向西飛行300km,則飛行的路程為①

,兩次位移的和的方向?yàn)棰?/p>

,大小為③

.

(2)一個(gè)質(zhì)量為50g的小球從2m的高處落到一個(gè)水平板上又彈回到1.5m的高度，那么在整個(gè)過(guò)程中重力做的功是④

.(g取10m/s2)600km西北方向(北偏西45°)0.25J300km13

(3)如圖，用兩條成120°角的等長(zhǎng)的繩子懸掛一個(gè)箱子，已知箱子的重量為10N，則每根繩子的拉力大小是⑤

.

(4)兩個(gè)粒子a、b從同一源發(fā)射出來(lái)，在某一時(shí)刻，它們的位移分別為va=(4,3),

vb=(2,10)，則此時(shí)粒子b對(duì)粒子a的位移v為⑥

.(-2，7)10N14

題型1：平面向量與三角函數(shù)已知θ是△ABC的最大的內(nèi)角，設(shè)a=（cosθ,sinθ），b=（sin2θ，1-cos2θ），c=（0，-1）.（1）問(wèn)向量b與向量a是否共線？并說(shuō)明理由；（2）定義f（θ）=（a+b）·c+|b|,求f（θ）的最大值.15（1）向量b與向量a共線.因?yàn)棣仁恰鰽BC中最大的內(nèi)角，所以所以b=（sin2θ，1-cos2θ）=2sinθ（cosθ,sinθ）=2sinθ·a.因?yàn)?sinθ∈R，所以向量b與向量a共線.（2）因?yàn)?sinθ＞0，所以|b|=2sinθ，所以f（θ）=（a+b）·c+|b|=（cosθ+sin2θ，sinθ+1-cos2θ）·（0，-1）+2sinθ=cos2θ-sinθ-1+2sinθ=-2sin2θ+sinθ因?yàn)?/p>

所以0＜sinθ≤1，所以,當(dāng)sinθ=時(shí),f（θ）取得最大值.1617

【評(píng)注】本題是以平面向量的知識(shí)為平臺(tái)，考查了三角函數(shù)的恒等變換及相關(guān)運(yùn)算.向量與三角函數(shù)結(jié)合，題目新穎而又精巧，既符合在知識(shí)的“交匯處”命題，又加強(qiáng)了對(duì)雙基的考查.18

已知A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),O為原點(diǎn).

(1)若

∥

，求tanα的值；

(2)若|

+

|=13，且α∈(0,π)，求

與

的夾角大小.

(1)

=(cosα,sinα),

=(0,3)-(3,0)=(-3,3).

因?yàn)?/p>

∥

,所以3cosα+3sinα=0,所以tanα=-1.19

(2)因?yàn)?/p>

+

=(3+cosα,sinα),

所以(3+cosα)2+sin2α=13,所以cosα=

.

又α∈(0,π),所以α=

,則sinα=

,所以C(

,

).

所以

·

=(0,3)·(

,

)=

.

設(shè)

、

的夾角為θ，則cosθ=

=

=

.

又θ∈［0,π］,所以θ=

.20

題型2：平面向量在幾何中的應(yīng)用

如圖，四邊形ABCD是正方形，P是對(duì)角線DB上的一點(diǎn)，四邊形PECF是矩形.證明：

(1)PA=EF；(2)PA⊥EF.證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC所在的直線為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，|

|=λ，

則A(0,1),P(

λ,

λ),E(1,

λ),F(

λ,0),于是PA=(-

λ,1-

λ),EF=(

λ-1,-

λ).21

(1)因?yàn)?/p>

,

,

所以|

|=|

|,所以PA=EF.

(2)因?yàn)椤?/p>

=(-

λ)·(

λ-1)+(1-

λ)·(-λ)

=-

λ·(

λ-1+1-

λ)

=-

λ·0=0,所以

⊥

，所以PA⊥EF.22

【評(píng)注】向量是解決圖形問(wèn)題的有力工具，而向量的坐標(biāo)運(yùn)算又是為圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題創(chuàng)造了條件，實(shí)現(xiàn)了形向數(shù)的轉(zhuǎn)化.本題中，由于四邊形ABCD是正方形，因此可以用坐標(biāo)法解題.用平面向量證明平面幾何問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)題目的條件選擇用基向量法還是用坐標(biāo)法.23已知平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC與BD相交于E，O是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，求證：

因?yàn)镋為BD的中點(diǎn)，所以同理，所以24

題型3:平面向量在物理中的應(yīng)用如圖，用兩根繩子把重10N的物體W吊在水平桿子AB上，∠ACW=150°,∠BCW=120°，求A和B處所受力的大小(忽略繩子的重量).25

設(shè)A、B處所受力分別為f1、f2，10N的重力用f表示，則f1+f2=f.

以重力作用點(diǎn)C為f1、f2的始點(diǎn)，作平行四邊形CFWE，使CW為對(duì)角線,則26

因?yàn)椤螮CW=180°-150°=30°,

∠FCW=180°-120°=60°,

所以∠FCE=90°.

所以平行四邊形CFWE為矩形.

所以

所以A處受力為5

N，B處受力為5N.27

【評(píng)注】利用向量的理論和方法可以有效地解決物理學(xué)中的合力、分力、運(yùn)動(dòng)學(xué)等許多問(wèn)題，也為數(shù)學(xué)練習(xí)實(shí)際開辟了新的途徑.28設(shè)作用于同一點(diǎn)O的三個(gè)力F1、F2、F3處于平衡狀態(tài).若|F1|=1，|F2|=2，F(xiàn)1和F2的夾角為

（如圖所示）.求：（1）F3的大??；（2）∠F3OF2的大小.29

（1）因?yàn)镕1、F2、F3三個(gè)力處于平衡狀態(tài)，故F1+F2+F3=0，即F3=-（F1+F2），30（2）如圖，以F2所在直線為x軸，合力作用點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系.將向量F1、F3正交分解，且設(shè)∠MOF3=θ.由受力平衡知31

(3)求夾角問(wèn)題，往往利用向量的夾角公式cosθ=

.32

1.向量在幾何中的應(yīng)用

(1)證明線段平行問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用向量平行(共線)的充要條件：a∥ba=λb(λ∈R，且λ≠0)(或x1y2-x2y1=0).

(2)證明垂直問(wèn)題，如證明四邊形是矩形、正方形等，常用向量垂直的充要條件：a⊥b

a·b=0(或x1x2+y1y2=0).（4）求線段的長(zhǎng)度或證明線段相等，可以用向量的模，向量的線性運(yùn)算.2.向量在物理中的應(yīng)用向量有著豐富的物理背景，如物理中的重力、浮力、彈力、速度、加速度等都是既有大小又有方向的量.力的做功是向量數(shù)量積的物理背景.向量的加法運(yùn)算、平面向量的正交分解、平面向量的數(shù)量積等與相應(yīng)的物理問(wèn)題建立聯(lián)系；向量加法的三角形法則和平行四邊形法則與位移的合成、力的合成、速度的合成相聯(lián)系.向量在解決相關(guān)物理問(wèn)題中有重要作用.33注意兩個(gè)方面的問(wèn)題，一方面是如何把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題,也就是將物理量之間的關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)模型;另一方面是如何利用建立起來(lái)的數(shù)學(xué)模型解釋和回答相關(guān)的物理現(xiàn)象.341.（2009·寧夏/海南卷）已知點(diǎn)O,N,P在△ABC所在的平面內(nèi)，且則點(diǎn)O,N,P依次是△ABC的（）A.重心、外心、垂心B.重