【2022屆高考數(shù)學一輪復習】《空間幾何體及其表面積和體積》

第1講空間幾何體及其表面積和體積1．認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征．2．了解球、柱體、錐體、臺體的表面積和體積的計算公式(不要求記憶公式)．-1-基礎自查1．多面體的結構特征

(1)棱柱、棱錐、棱臺的概念名稱概念圖形舉例結構特征棱柱由一個平面多邊形沿某一方向平移形成的空間幾何體叫做棱柱兩個底面是

的多邊形，且對應邊互相

．側面都是

．棱錐當棱柱的一個底面收縮為一個點時，得到的幾何體叫做棱錐底面是

．側面是有一個

的三角形．棱臺棱錐被平行于底面的一個平面所截后，截面和底面之間的部分，叫做棱臺上、下兩個底面是

多邊形且對應邊互相

．各側棱延長后

.全等平行平行四邊形多邊形公共頂點相似平行交于一點-1-(2)多面體的概念：由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做

．2．旋轉體的結構特征多面體名稱概念圖形表示符號表示圓柱圓柱是由矩形繞著它的

所在直線旋轉一周所形成的幾何體圓柱OO′圓錐圓錐是由直角三角形繞著它的一條

所在直線旋轉一周所形成的幾何體圓錐OO′邊直角邊-1-圓臺圓臺是由直角梯形繞著它的

所在直線旋轉一周所形成的幾何體圓臺OO′球半圓繞著它的

所在直線旋轉一周而形成的幾何體叫做球球O垂直于底邊的腰直徑-1-3.直棱柱、正棱錐、正棱臺的概念，側面展開圖及側面積平面展開圖：一些簡單的多面體可以沿著多面體的某些棱將它剪開而成平面圖形，這個平面圖形叫做該多面體的平面展開圖，展開圖的面積稱為多面體的表面積(或全面積).名稱概念展開圖舉例及說明側面積公式直棱柱側棱和底面垂直的棱柱叫

．底面為正多邊形的直棱柱叫做

.直棱柱的側面展開圖是矩形S直棱柱側＝

.直棱柱正棱柱ch-1-正棱錐正棱臺-1-4.旋轉體的表面積公式

(1)圓柱的側面積S＝

(其中r為底面半徑，l為母線長)．

(2)圓錐的側面積S＝

(其中r為底面半徑，l為母線長)．

(3)圓臺的側面積公式S＝

(其中r′，r為上、下底面半徑，l為母線長)．

(4)球的表面積公式S＝

(其中R為球半徑)．2πrlπrlπ(r＋r′)l4πR2Sh

-1-聯(lián)動思考想一想：對于不規(guī)則的幾何體應如何求其體積？答案：對于求一些不規(guī)則幾何體的體積常用割補的方法，轉化成已知體積公式的幾何體進行解決．雖說在某些情況下，割補法優(yōu)于整體法，但是一般情況下，還是應該先對問題進行整體思考．-1-聯(lián)動體驗1．下列命題中正確的序號有________．①有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱；②用一個平面去截一個圓錐，一定得到一個圓臺和一個圓錐；③有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；④將一直角三角形繞其一條直角邊旋轉一周，所得圓錐的母線長等于斜邊長．答案：④-1--1-4．一個圓臺的母線長為12cm，兩底面面積分別為4πcm2和25πcm2，則圓臺的高為________cm；截得此圓臺的圓錐的母線長為________cm.-1-考向一幾何體的表面積-1--1-反思感悟：善于總結，養(yǎng)成習慣1．多面體的表面積是各個面的面積之和．圓柱、圓錐、圓臺的側面是曲面，計算側面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側面積與底面圓的面積之和．2．組合體的表面積應注意重合部分的處理．-1-遷移發(fā)散-1--1-考向二幾何體的體積【例2】

三棱錐S－ABC中，一條棱長為a，其余棱長均為1，求a為何值時三棱錐的體積VS－ABC最大，并求最大值．-1-反思感悟：善于總結，養(yǎng)成習慣(1)計算多面體的體積，基礎仍是多面體中一些主要線段的關系，要求概念清楚，點、線、面的位置關系要明確，關鍵是正確地計算其底面面積和相應的高．(2)在計算多面體體積時要注意割補法和等積變換的應用．(3)計算旋轉體的體積關鍵是計算半徑和高度．-1-遷移發(fā)散-1-考向三幾何體的表面展開圖【例3】

如圖，已知圓柱的高為80cm，底面半徑為10cm，軸截面上有P、Q兩點，且PA＝40cm，B1Q＝30cm，若一只螞蟻沿著側面從P點爬到Q點，問螞蟻爬過的最短路徑是多少？-1-反思感悟：善于總結，養(yǎng)成習慣1．多面體的展開圖：(1)直棱柱的側面展開圖是矩形．(2)正棱錐的側面展開圖是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多邊形．(3)正棱臺的側面展開圖是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多邊形．2．旋轉體的展開圖：(1)圓柱的側面展開圖是矩形，矩形的長是底面圓周長，寬是圓柱的母線長．(2)圓錐的側面展開圖是扇形，扇形的半徑是圓錐的母線長，弧長是圓錐的底面周長．(3)圓臺的側面展開圖是扇環(huán)，扇環(huán)的上、下弧長分別為圓臺的上、下底面周長．-1-遷移發(fā)散3．如圖所示，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，BB1＝

c，并且a>b>c>0.求沿著長方體的表面自A到C1的最短線路的長．解：將長方體相鄰兩個面展開有下列三種可能，如下圖所示．-1-課堂總結感悟提升1．應注意各個公式的推導過程，不要死記硬背公式本身，要熟悉柱體中的矩形、錐體中的直角三角形、臺體中的直角梯形等特征圖形在公式推導中的作用．2．如果不是正棱柱、正棱錐、正棱臺，在求其側面積或全面積時，應對每一個側面的面積分別求解后再相加．3．圓柱的側面展開圖是矩形，兩邊為底面周長和母線；圓錐的側面展開圖是扇形，弧長為底面周長，半徑為母線長；圓臺的側面展開圖是扇環(huán)，兩弧長為兩底面周長，腰為母線長．4．常用的幾個思想方法

(1)還臺為錐的思想：這是處理臺體時常用的思想方法．

(2)割補法：求不規(guī)則圖形面積或幾何體體積時常用．