【2022人教數(shù)學A版選修】《利用向量知識求距離》

-1--1-理解空間有關(guān)距離的概念，會用向量法求距離．-1--1-重點：距離的基本概念，用向量法求兩點間的距離和點到平面的距離．難點：點到平面的距離．-1--1-1．在幾何學中，我們經(jīng)常遇到要計算兩個圖形之間的距離．一般地，我們把一個圖形內(nèi)的任一點與另一圖形內(nèi)的任一點的距離中的最小值，叫做圖形與圖形的距離．計算兩點之間的距離和線段的長度是幾何度量最基本的課題．計算任何圖形之間的距離都可以轉(zhuǎn)化為求兩點之間的距離．2．新教材提倡在立體幾何中使用向量方法，而向量法求距離能有效地簡化運算，下面說明如何用向量法求距離．-1-注：新課程標準中，對距離問題沒有提到，可見要求很低，但有關(guān)體積的運算要求會求，且在教材105頁涉及距離的討論問題．高考也有距離問題，故加上這一節(jié)討論，供學生學習參考，重點放在點面距、兩點距上，只了解向量法求距離的基本思路即可．-1--1--1--1--1--1--1-[例1]已知平行六面體ABCD－A′B′C′D′，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.求AC′的長．-1-已知平行六面體ABCD－A′B′C′D′的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱AA′的長為2，∠BAA′＝∠DAA′＝120°，則對角線AC′＝________，BD′＝________.-1--1--1-[點評]求線段的長或兩點間的距離，將線段表達為向量p的模，只須將該向量用基向量或坐標表示，然后利用|p|2＝p·p求解.-1-

[例2]如圖：在四面體ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD＝1，E、F分別是AB、CD的中點．(1)證明：EF所在直線是異面直線AB、CD的公垂線；(2)求異面直線AB、CD間的距離．-1--1--1--1-已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1.則異面直線DA1與AC的距離為________．-1--1--1--1-[例3]已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是邊AB、AD的中點，GC垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求點B到平面EFG的距離．-1--1--1-已知A(1,1,0)，B(1,2,1)，C(0,0,2)，則原點O到平面ABC的距離為________．-1--1--1--1--1--1--1-[點評]當直線l∥平面α時，l上任一點到平面α的距離都相等，故求線面距的一個基本思路就是轉(zhuǎn)化為點面距．-1-已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E、F分別為AB、BC的中點．求(1)點D到平面PEF的距離；(2)直線AC到平面PEF的距離．-1--1--1--1--1--1-[例5]如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面邊長為2，側(cè)棱長為4，E、F分別為棱AB、BC的中點．(1)求證：平面B1EF⊥平面BDD1B1；(2)求點D1到平面B1EF的距離d.-1--1--1-[辨析]

(1)求點到平面的距離主要有三種方法：直接法，等積法和向量法，直接法的關(guān)鍵是確定點在平面上射影的位置．等積法的關(guān)鍵是構(gòu)造出相應的四面體，向量法的關(guān)鍵是求出平面的法向量，如果能建系的話，一般用第三種方法較好，但要計算準確；(2)直線與平面平行時，線到面距離轉(zhuǎn)化為線上某點到面的距離．-1--1--1-解法二：以D為原點，DA、DC、DD1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，-1--1--1--1-一、選擇題1．已知點A、B和平面α的距離分別是40和70，P為AB上一點，且APPB＝37，則P到平面α的距離是(

)A．49

B．9

C．49或7

D．7[答案]

C[解析]

A、B兩點在平面同側(cè)或異側(cè)時，P點到平面α的距離不同，故選C.-1-2．已知平面α∥平面β，直線l?α，α與β之間的距離為d，有下列四個命題：①β內(nèi)有且僅有一條直線與l的距離為d；②β

內(nèi)所有的直線與l的距離都等于d；③β內(nèi)有無數(shù)條直線與l的距離為d；④β內(nèi)所有直線與α的距離都等于d.其中真命題是 (

)A．①

B．②

C．①與④

D．③與④[答案]

D-1-[解析]

在直線l上任取一點O，過O作OA⊥β于A，在平面β內(nèi)，過A點的所有直線與l距離都是d，否則大于d.∴①②錯誤，故選D.-1-3．平面α內(nèi)不共線的三點到平面β的距離相等且不為0，則α與β的位置關(guān)系為 (

)A．相交B．平行C．重合 D．平行或相交[答案]

D[解析]

兩平面α，β平行或相交時都存在這樣的三點，故選D.-1-二、填空題4．棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是BC、CD的中點，則BD到平面EFD1B1的距離為______．-1-5．設(shè)平面α外兩點A和B到平面α的距離分別為4cm