2023年高等數(shù)學導數(shù)微分學習輔導及公式總結

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦高等數(shù)學導數(shù)微分學習輔導及公式總結高等數(shù)學（1）學習輔導（三）

第三章導數(shù)與微分

導數(shù)與微分這一章是我們課程的學習重點之一。在學習的時候要側重以下幾點：

⒈理解導數(shù)的概念；了解導數(shù)的幾何意義；會求曲線的切線和法線；會用定義計算容易函數(shù)的導數(shù)；知道可導與延續(xù)的關系。

)(xf在點0xx=處可導是指極限

x

xfxxfx?-?+→?)

()(lim

000

存在，且該點處的導數(shù)就是這個極限的值。導數(shù)的定義式還可寫成極限

0)

()(lim

xxxfxfxx--→

函數(shù))(xf在點0xx=處的導數(shù))(0xf'的幾何意義是曲線)(xfy=上點))(,(00xfx處切線的斜率。

曲線

)(xfy=在點))(,(00xfx處的切線方程為

)())((000xfxxxfy+-'=

函數(shù)

)(xfy=在0x點可導，則在0x點延續(xù)。反之則不然，函數(shù))(xfy=在0x點延續(xù)，在0x點

不一定可導。

⒉了解微分的概念；知道一階微分形式不變性。

⒊熟記導數(shù)基本公式，嫻熟把握下列求導辦法（1）導數(shù)的四則運算法則（2）復合函數(shù)求導法則（3）隱函數(shù)求導辦法（4）對數(shù)求導辦法

（5）參數(shù)表示的函數(shù)的求導法

正確的采納求導辦法有助于我們的導數(shù)計算，如

普通當函數(shù)表達式中有乘除關系或根式時，求導時采納取對數(shù)求導法，例如函數(shù)

x

xy2

)1(-=

，求

y'。

在求導時直接用導數(shù)的除法法則是可以的，但是計算時會棘手一些，而且簡單出錯。假如我們把函數(shù)先舉行變形，即

2

12

12322

21

2)1(-

+-=+-=

-=

x

xxx

xxx

xy

再用導數(shù)的加法法則計算其導數(shù)，于是有

23

21

21

2

123-

='xxxy

這樣計算不但容易而且不易出錯。

又例如函數(shù)

3

2

1

-+=

xxy，求

y'。

明顯直接求導比較棘手，可采納取對數(shù)求導法，將上式兩端取對數(shù)得

)2ln(3

1

)1ln(21ln--+=

xxy兩端求導得

)

2(31

)1(21--

+='xxyy收拾后便可得

)

2(68

21

2

3

?-+=

'xxxxxy

若函數(shù)由參數(shù)方程

?

?

?==)()

(tytx?ψ的形式給出，則有導數(shù)公式

)

()(ddttxy?ψ''=

能夠嫻熟地利用導數(shù)基本公式和導數(shù)的四則運算法則、復合函數(shù)的求導法則計算函數(shù)的導數(shù)，能夠利用隱函數(shù)求導法，取對數(shù)求導法，參數(shù)表示的函數(shù)的求函數(shù)的導數(shù)。

⒋嫻熟把握微分運算法則

微分四則運算法則與導數(shù)四則運算法則類似

vuvudd)(d±=±

vuuvvudd)(d+=?)0(dd)(d2

≠-=

vvv

uuvvu一階微分形式的不變性

uyxuyxyyuxuxdddd'='?'='=

微分的計算可以歸結為導數(shù)的計算，但要注重它們之間的不同之處，即函數(shù)的微分等于函數(shù)的導數(shù)與自變量微分的乘積。

⒍了解高階導數(shù)的概念；會求顯函數(shù)的二階導數(shù)。

函數(shù)的高階高數(shù)即為函數(shù)的導數(shù)的導數(shù)。由此要求函數(shù)的二階導數(shù)就要先求函數(shù)的一階導數(shù)。要求函數(shù)的n階導數(shù)就要先求函數(shù)的1-n階導數(shù)。

1高等數(shù)學公式

·平方關系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·積的關系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscα

secα=tanα*cscα

cscα=secα*cotα

·倒數(shù)關系：

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊,

余弦等于角A的鄰邊比斜邊

正切等于對邊比鄰邊,

·三角函數(shù)恒等變形公式

·兩角和與差的三角函數(shù)：

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

·三角和的三角函數(shù)：

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

·輔助角公式：

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

tant=B/A

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B

·倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

·三倍角公式：

sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)

cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα

·半角公式：

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

·降冪公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

·萬能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

·積化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

·和差化積公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

·推導公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos^2α

1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

·其他：

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

三角函數(shù)的角度換算

[編輯本段]

公式一：

設α為隨意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：

設α為隨意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關系：

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

公式三：

隨意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關系：

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關系：

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關系：

sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關系：

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα

cos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（3π/2－α）＝－cosα

cos（3π/2－α）＝－sinα

tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanα

(以上k∈Z)

部分高等內容

[編輯本段]

·高等代數(shù)中三角函數(shù)的指數(shù)表示(由泰勒級數(shù)易得)：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

泰勒綻開有無窮級數(shù)，e^z=exp(z)＝1＋z/1?。珃^2/2！＋z^3/3?。珃^4/4！＋…＋z^n/n?。?/p>

此時三角函數(shù)定義域已推廣至囫圇復數(shù)集。

·三角函數(shù)作為微分方程的解：

對于微分方程組y=-y'';y=y''''，有通解Q,可證實

Q=Asinx+Bcosx，因此也可以從今動身定義三角函數(shù)。

補充：由相應的指數(shù)表示我們可以定義一種類似的函數(shù)——雙曲函數(shù)，其擁有無數(shù)與三角函數(shù)的類似的性質，二者相映成趣。

特別三角函數(shù)值

a0`30`45`60`90`

sina01/2√2/2√3/21cosa1√3/2√2/21/20tana0√3/31√3NonecotaNone√31√3/30導數(shù)公式：

基本積分表：

a

xxa

aactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1

)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22

=

'='?-='?='-='='2

2

22

11

)(11

)(11

)(arccos11

)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxx+-

='+=

'--

='-=

'?

?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C

axxaxdxCshxchxdxCchxshxdxC

aadxaC

xctgxdxxC

xdxtgxxC

ctgxxdxxdxCtgxxdxxdxx

x

)ln(lncsccscsecseccscsinseccos222

22

22

2Ca

x

xadxCxax

aaxadxCaxa

xaaxdxCax

arctgaxadxC

ctgxxxdxCtgxxxdxC

xctgxdxCxtgxdx+=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln2

2222222?

????++-=-+-+--=-+++++=+-=

==-C

a

xaxaxdxxaC

axxaaxxdxaxC

axxaaxxdxaxIn

nxdxxdxInnn

narcsin22ln22)ln(221

cossin22

2222222

2222222

22

2

22

2

π

π

三角函數(shù)的有理式積分：

2

22212211cos12sinudu

dxxtguuuxuux+=

=+-=+=，，，

一些初等函數(shù)：兩個重要極限：

三角函數(shù)公式：·誘導公式：

x

x

arthxxxarchxxxarshxeeeechxshxthxeechxeeshxxxx

xx

xx

x-+=-+±=++=+-=

=+=

-=

11ln

21)

1ln(1ln(:2

:2:22）雙曲正切雙曲余弦雙曲正弦...590457182818284.2)1

1(lim1

sinlim

0==+=∞→→ex

x

x

xxx

·和差角公式：·和差化積公式：

2

sin

2sin2coscos2cos

2cos2coscos2sin

2cos2sinsin2cos

2sin

2sinsinβ

αβαβαβ

αβαβαβ

αβαβαβ

αβ

αβα-+=--+=+-+=--+=+α

ββαβαβαβαβαβαβαβαβ

αβαβαctgctgctgctgctgtgtgtgtgtg±?=

±?±=

±=±±=±1

)(1)(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(

·倍角公式：

·半角公式：

α

α

αααααααααααα

α

ααα

cos1sinsincos1cos1cos12cos1sinsincos1cos1cos12

2

cos12cos2cos12

sin-=

+=-+±=+=-=+-±

=+±=-±=ctgtg

·正弦定理：RC

c

BbAa2sinsinsin===·余弦定理：

Cabbaccos2222-+=

·反三角函數(shù)性質：arcctgx

arctgxxx-=

-=

2

arccos2

arcsinπ

π

高階導數(shù)公式——萊布尼茲（Leibniz）公式：

)

()

()()2()1()(0

)

()()

(!

)1()1(!2)1()

(nkknnnnn

kkknknnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv+++--++''-+

'+===-∑

中值定理與導數(shù)應用：

拉格朗日中值定理。

時，柯西中值定理就是當柯西中值定理：拉格朗日中值定理：xxFfaFbFafbfabfafbf=''=

'=-)(F)

()

()()()()())(()()(ξξξ

曲率：

.

1

;0.)

1(limMsMM:.,13202a

KaKyydsdsKMMs

Ktgydxydss=='+''==??='?'???=

=''+=→?的圓：半徑為直線：點的曲率：弧長。：化量；點，切線斜率的傾角變點到從平均曲率：其中弧微分公式：α

ααα

α

α

ααααααααα23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtgtgtg--=

-=-=α

α

αααααααααα

αα22222212221

2sincossin211cos22coscossin22sintgtgtgctgctgctg-=

-=

-=-=-==

定積分的近似計算：

???+++++++++-≈

++++-≈

+++-≈

b

a

nnnb

a

nnb

anyyyyyyyyn

a

bxfyyyynabxfyyyn

a

bxf)](4)(2)[(3)(])(2

1

[)()()(1312420220110拋物線法：梯形法：矩形法：

定積分應用相關公式：

??--==?=?=b

a

badttfabdx

xfabykr

m

mkFA

pFs

FW)(1)(1

,2

221均方根：函數(shù)的平均值：為引力系數(shù)引力：水壓力：功：

空間解析幾何和向量代數(shù)：

。

代表平行六面體的體積為銳角時，

向量的混合積：例：線速度：兩向量之間的夾角：是一個數(shù)量軸的夾角。

與是向量在軸上的投影：點的距離：空間ααθθθ??,cos)(][..sin,cos,,cosPrPr)(Pr,cosPr)()()(22

2

2

2

2

2

212121*********cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaak

ji

ba

cbbbaaababababababababaajajaajujzzyyxxMM

dz

y

xzyx

z

yx

z

y

x

zyx

z

yxzyxz

zyyxxzzyyxxuu

??==??=?=?==?=++?++++=++=?=?+=+=-+-+-==

（馬鞍面）雙葉雙曲面：單葉雙曲面：、雙曲面：

同號）

（、拋物面：、橢球面：二次曲面：

參數(shù)方程：其中空間直線的方程：面的距離：平面外隨意一點到該平、截距世方程：、普通方程：，其中、點法式：平面的方程：

1

1

3,,2221

1};,,{,1

30

2),,(},,,{0)()()(122

222222

22222

222

22220000002

220000000000=+-=-+=+=++???

??+=+=+===-=-=-+++++=

=++=+++==-+-+-c

zbyaxczbyaxqpzqypxczbyaxpt

zznt

yymt

xxpnmstpzznyymxxCBAD

CzByAxdcz

byaxDCzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxA

多元函數(shù)微分法及應用

z

yzxyxyxyxyxFFyz

FFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyy

v

dxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuux

v

vzxuuzxzyxvyxufzt

v

vztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzz

u

dyyudxxududyyzdxxzdz-

=??-=??=?

-??

-??=-==??+??=??+??=

==???

??+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??=

，，隱函數(shù)＋，，隱函數(shù)隱函數(shù)的求導公式：

時，，當

：

多元復合函數(shù)的求導法全微分的近似計算：全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22

)

,(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFv

Gu

GvF

u

F

vuGFJvuyxGvuyxFv

uvu???-=?????-=?????-=?????-=??=????????=??=?

??==隱函數(shù)方程組：

微分法在幾何上的應用：

)

,,(),,(),,(30

))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()

()()

(000000000000000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxy

xy

xxzxzzyzy-=

-=-=-+-+-==??

??

?====-'+-'+-''-=

'-='-??

?

??===、過此點的法線方程：：、過此點的切平面方程、過此點的法向量：，則：

上一點曲面則切向量若空間曲線方程為：處的法平面方程：在點處的切線方程：在點空間曲線

ωψ?ωψ?ωψ?方向導數(shù)與梯度：

上的投影。在是單位向量。方向上的

，為，其中：它與方向導數(shù)的關系是的梯度：在一點函數(shù)的轉角。

軸到方向為其中的方向導數(shù)為：沿任一方向在一點函數(shù)lyxflf

ljieeyxfl

fjy

fixfyxfyxpyxfzlxyf

xflflyxpyxfz),(gradsincos),(grad),(grad),(),(sincos),(),(??∴?+?=?=????+??=

=??+??=??=

????

?

多元函數(shù)的極值及其求法：

????

?????=--=====不確定時值時，無極為微小值為極大值時，

則：，令：設,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22

00002

0000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx

重積分及其應用：

??????

??????????????

????++-=++=++==>===

=

==

???

?????+???????+==='

D

zD

yD

xzyxD

yD

xD

D

yD

xD

DD

ayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzxoydyxxIydyxyIxdyxdyxyM

MydyxdyxxM

MxdxdyyzxzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf2

3

22

2

2

3

22

2

2

3

22

2

22D

2

2

)

(),()

(),()

(),(},,{)0(),,0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin,cos(),(σ

ρσ

ρσ

ρσρσρσ

ρσ

ρσ

ρσ

ρθ

θθ，，，其中：的引力：軸上質點平面）對平面薄片（位于軸對于軸對于平面薄片的轉動慣量：平面薄片的重心：的面積曲面

柱面坐標和球面坐標：

????????????????????????????????????Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

ΩΩ+=+=+====

=

=

===???=??

???=====???

??===dv

yxIdvzxIdvzyIdv

xMdvzM

zdvyM

ydvxM

xdr

r

rFddddrdr

rFdxdydzzyxfddrdrdrdrrddvrzryrxzrrfzrFdzrdrdzrFdxdydzzyxfz

zryrxzyxrρρρρρρρ?θ??

θθ??θ?θ

??θ???θ?θ?θθθθθθθπ

πθ?)()()(1,1,1sin),,(sin),,(),,(sinsincossinsincossin)

,sin,cos(),,(,),,(),,(,sincos22222220

)

,(0

2

2

2

，，轉動慣量：，其中重心：，球面坐標：其中：柱面坐標：

曲線積分：

??

?==+-+-+-+-nnnnnnnnurrusuuuuuuuuuuu

肯定收斂與條件收斂：

∑∑∑∑>≤-+++++++++時收斂

１時發(fā)散ｐ級數(shù)：收斂；

級數(shù)：收斂；

發(fā)散，而調和級數(shù)：為條件收斂級數(shù)。收斂，則稱發(fā)散，而假如收斂級數(shù)；絕對收斂，且稱為肯定收斂，則假如為隨意實數(shù)；，其中11

1

)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121pnpnnnuuuuuuuupn

nnn

冪級數(shù)：

01

0)3(lim

)3(111

1111

221032=+∞=+∞

===

≠==><+++++≥-<++++++++∞→RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnn

nnnnn時，時，時，的系數(shù)，則是，，其中求收斂半徑的辦法：設稱為收斂半徑。

，其中時不定

時發(fā)散時收斂

，使在數(shù)軸上都收斂，則必存收斂，也不是在全

，假如它不是僅在原點對于級數(shù)時，發(fā)散

時，收斂于

ρρρ

ρρ

函數(shù)綻開成冪級數(shù)：

+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n

nnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!

)0(!2)0()0()0()(00

lim)(,)()!1()

()(!

)()(!2)())(()()(2022)1(00)(2

0000時即為麥克勞林公式：充要條件是：可以綻開成泰勒級數(shù)的余項：函數(shù)綻開成泰勒級數(shù)：ξ

一些函數(shù)綻開成冪級數(shù)：

)

()!12()1(!5!3sin)11(!

)1()1(!2)1(1)1(1

21532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+

+=+--xnx

xxxxxxnnmmmxmmmxxnnn

m歐拉公式：

???

????-=+=+=--2sin2

cossincosix

ixix

ixixeexeexxixe或

三角級數(shù)：

。

上的積分＝在隨意兩個不同項的乘積正交性：。

，，，其中，0],[cos,sin2cos,2sin,cos,sin,1cossin)

sincos(2)sin()(00101

0ππω???ω-====++=++=∑∑∞

=∞

=nxnxxxxxxtAbAaaAanxbnxaatnAAtfnnnnnnnnnnnn

傅立葉級數(shù)：

是偶函數(shù)，余弦級數(shù)：是奇函數(shù)

，正弦級數(shù)：（相減）

（相加）

其中，周期∑?

∑???∑+=

==

======+-+-=++++=

+++=

+++???

?

???=====++=--∞

=nxaaxfnnxdxxfabnxbxfnxdxxfbannxdxxfbnnxdxxfanxbnxaaxfnnnn