高中數(shù)學人教B版三學案：3．3.1　幾何概型

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精3.3隨機數(shù)的含義與應用3．3.1幾何概型[學習目標]1．了解幾何概型與古典概型的區(qū)別．2．理解幾何概型的定義及其特點．3．會用幾何概型的概率計算公式求幾何概型的概率．［預習導引］1．三角形的面積S＝eq\f（1,2)ah(其中底為a，高為h)；圓的面積S＝πr2.2．棱錐的體積V＝eq\f（1,3)Sh,棱柱的體積V＝Sh,球的體積V＝eq\f（4，3）πr3.[知識鏈接］1。幾何概型的概念事件A理解為區(qū)域Ω的某一子區(qū)域A，如圖，A的概率只與子區(qū)域A的幾何度量（長度、面積或體積)成正比，而與A的位置和形狀無關(guān)．滿足以上條件的試驗稱為幾何概型．2.幾何概型的概率計算公式在幾何概型中,事件A的概率定義為：P（A)＝eq\f(μA,μΩ），其中，μΩ表示區(qū)域Ω的幾何度量，μA表示子區(qū)域A的幾何度量．要點一與長度有關(guān)的幾何概型例1取一根長為5m的繩子，拉直后在任意位置剪斷,那么剪得兩段的長都不小于2m的概率有多大？解如圖所示．記“剪得兩段繩長都不小于2m”為事件A。把繩子五等分，于是當剪斷位置處在中間一段上時,事件A發(fā)生．由于中間一段的長度等于繩長的eq\f（1,5），所以事件A發(fā)生的概率P(A)＝eq\f（1，5）.規(guī)律方法1。解答本題的關(guān)鍵是將基本事件的全部及其事件A包含的基本事件轉(zhuǎn)化為相應的長度，進而求解．2．在求解與長度有關(guān)的幾何概型時，首先找到試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域D，這時區(qū)域D可能是一條線段或幾條線段或曲線段，然后找到事件A發(fā)生對應的區(qū)域d，在找d的過程中，確定邊界點是問題的關(guān)鍵,但邊界點是否取到卻不影響事件A的概率．跟蹤演練1兩根相距6m的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，求燈與兩端距離都大于2m的概率．解記“燈與兩端距離都大于2m”為事件A，則P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f（1，3）。要點二與面積有關(guān)的幾何概型例2一只海豚在水池中自由游弋，水池為長30m,寬20m的長方形，求此刻海豚嘴尖離岸邊不超過2m的概率．解如圖所示，區(qū)域Ω是長30m、寬20m的長方形．圖中陰影部分表示事件A:“海豚嘴尖離岸邊不超過2m"，問題可以理解為求海豚嘴尖出現(xiàn)在圖中陰影部分的概率．由于區(qū)域Ω的面積為30×20＝600(m2）,陰影部分的面積為30×20－26×16＝184(m2)．所以P（A）＝eq\f(184，600）＝eq\f(23，75）≈0.31。即海豚嘴尖離岸邊不超過2m的概率約為0.31。規(guī)律方法解此類幾何概型問題的關(guān)鍵是：（1)根據(jù)題意確認是否是與面積有關(guān)的幾何概型問題．(2)找出或構(gòu)造出隨機事件對應的幾何圖形，利用圖形的幾何特征計算相關(guān)面積,套用公式從而求得隨機事件的概率．跟蹤演練2（2013·陜西高考)如圖,在矩形區(qū)域ABCD的A，C兩點處各有一個通信基站，假設(shè)其信號覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源，基站工作正常）．若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機地選一地點，則該地點無信號的概率是()A．1－eq\f（π,4)B.eq\f（π，2)－1C．2－eq\f(π，2）D.eq\f(π，4)答案A解析由幾何概型知所求的概率P＝eq\f（S圖形DEBF，S矩形ABCD）＝eq\f(2×1－π×12×\f(1，4）×2,2×1)＝1－eq\f（π,4）.要點三與體積有關(guān)的幾何概型例3一只小蜜蜂在一個棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”,求蜜蜂“安全飛行"的概率．解依題意，在棱長為3的正方體內(nèi)任意取一點,這個點到各面的距離均大于1。則滿足題意的點區(qū)域為：位于該正方體中心的一個棱長為1的小正方體．由幾何概型的概率公式，可得滿足題意的概率為P＝eq\f（13，33)＝eq\f(1,27).規(guī)律方法如果試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域可用體積來度量,我們要結(jié)合問題的背景，選擇好觀察角度，準確找出基本事件所占的區(qū)域體積及事件A所占的區(qū)域體積．其概率的計算公式為P(A）＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域體積,試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域體積）.跟蹤演練3本例條件不變，求這個蜜蜂飛到正方體某一頂點A的距離小于eq\f（1,3）的概率．解到A點的距離小于eq\f（1,3）的點,在以A為球心，半徑為eq\f(1,3）的球內(nèi)部,而點又必須在已知正方體內(nèi)，則滿足題意的A點的區(qū)域體積為eq\f（4,3）π×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,3))）3×eq\f(1，8）?！郟＝eq\f(\f（4,3）π×\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，3))）3×\f(1,8)，33）＝eq\f(π,2×37）。1．下列關(guān)于幾何概型的說法錯誤的是（）A．幾何概型也是古典概型中的一種B．幾何概型中事件發(fā)生的概率與位置、形狀無關(guān)C．幾何概型中每一個結(jié)果的發(fā)生具有等可能性D．幾何概型在一次試驗中能出現(xiàn)的結(jié)果有無限個答案A解析幾何概型與古典概型是兩種不同的概型．2．(2013·南昌高一檢測）面積為S的△ABC,D是BC的中點，向△ABC內(nèi)部投一點,那么點落在△ABD內(nèi)的概率為（）A。eq\f（1,3)B.eq\f（1，2）C.eq\f（1，4)D.eq\f（1,6)答案B解析向△ABC內(nèi)部投一點的結(jié)果有無限個，屬于幾何概型．設(shè)點落在△ABD內(nèi)為事件M，則P（M）＝eq\f(△ABD的面積,△ABC的面積)＝eq\f（1,2）。3．如圖，邊長為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在正方形中隨機撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為eq\f（2，3)，則陰影區(qū)域的面積為（)A。eq\f(4,3)B.eq\f（8,3)C.eq\f(2,3) D．無法計算答案B解析由幾何概型的概率公式知eq\f（S陰，S正）＝eq\f（2,3)，所以S陰＝eq\f（2，3）·S正＝eq\f（8,3）.4．當你到一個紅綠燈路口時，紅燈的時間為30秒,黃燈的時間為5秒，綠燈的時間為45秒，那么你看到黃燈的概率是（）A.eq\f（1,12）B。eq\f(3,8）C。eq\f(1，16）D。eq\f(5,6）答案C解析由題意可知在80秒內(nèi)路口的紅、黃、綠燈是隨機出現(xiàn)的，可以認為是無限次等可能出現(xiàn)的，符合幾何概型的條件．事件“看到黃燈”的時間長度為5秒,而整個燈的變換時間長度為80秒，據(jù)幾何概型概率計算公式，得看到黃燈的概率為P＝eq\f(5,80)＝eq\f(1，16)。5．在1000mL水中有一個草履蟲，現(xiàn)從中隨機取出3mL水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率是________．答案eq\f（3,1000)解析由幾何概型知，P＝eq\f（3，1000).1．幾何概型適用于試驗結(jié)果是無窮多且事件是等可能發(fā)生的概率模型．2．幾何概型主要用于解決與長度、面積、體積有關(guān)的題目．3．注意理解幾何概型與古典概型的區(qū)別．4．理解如何將實際問題轉(zhuǎn)化為幾何