考點(diǎn)02常用邏輯用語（3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）解析版

考點(diǎn)02常用邏輯用語（3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）【考試提醒】理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質(zhì)定理與必要條件、數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.2.理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對兩種命題進(jìn)行否定．【知識點(diǎn)】1．充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且q?pp是q的必要不充分條件p?q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p?q且q?p2．全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“?”表示．(2)存在量詞：短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“?”表示．3．全稱量詞命題和存在量詞命題名稱全稱量詞命題存在量詞命題結(jié)構(gòu)對M中任意一個(gè)x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立簡記?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)否定?x∈M，﹁p(x)?x∈M，﹁p(x)常用結(jié)論1．充分、必要條件與對應(yīng)集合之間的關(guān)系若以集合的形式出現(xiàn)，以集合的形式出現(xiàn)，即：，：，則（1）若，則是的充分條件；（2）若，則是的必要條件；（3）若，則是的充分不必要條件；（4）若，則是的必要不充分條件；（5）若，則是的充要條件；（6）若且，則是的既不充分也不必要條件.2．含有一個(gè)量詞命題的否定規(guī)律是“改變量詞，否定結(jié)論”．3．命題p與p的否定的真假性相反.【核心題型】題型一充分、必要條件的判定充分條件、必要條件的兩種判定方法(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問題．(2)集合法：根據(jù)p，q對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問題．【例題1】（2024·陜西·模擬預(yù)測）給出下列三個(gè)命題：①命題，使得，則，使得；②“或”是“”的充要條件；③若為真命題，則為真命題.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】運(yùn)用含有一個(gè)量詞的命題的否定可判斷①，解一元二次不等式并結(jié)合充分條件、必要條件的定義可判斷②，運(yùn)用復(fù)合命題的真假關(guān)系可判斷③.【詳解】對于①，命題，使得，則，使得，故①正確；對于②，因?yàn)榈慕饧癁榛颍浴盎颉笔恰啊钡某湟獥l件，故②正確；對于③，若為真命題，則、中至少有一個(gè)為真命題，當(dāng)真假或假真時(shí)，則為假，當(dāng)真真時(shí)，則為真，故③錯(cuò)誤.故正確的命題是①②，即正確命題的個(gè)數(shù)為2.故選：C.【變式1】（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）直線與圓有公共點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出當(dāng)直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)的取值范圍，利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】圓的圓心為，半徑為，若直線與圓有公共點(diǎn)，則，解得，因?yàn)?，，，所以，直線與圓有公共點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件是為.故選：B.【變式2】（2024·全國·模擬預(yù)測）“”是“”成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的性質(zhì)、充分條件、必要條件的定義即可判斷.【詳解】取，則，但，故不充分，取，則，但，故不必要．故選：D．【變式3】（2024·安徽淮北·一模）記是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則“是遞增數(shù)列”是“是遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得，即可充要條件的定義求解.【詳解】若是遞增數(shù)列，則公差，所以，故，所以為遞增數(shù)列，若為遞增數(shù)列，則，則，故，所以是遞增數(shù)列，故“是遞增數(shù)列”是“是遞增數(shù)列”的充要條件，故選：C題型二充分、必要條件的應(yīng)用求參數(shù)問題的解題策略(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解．(2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)．【例題2】（23-24高三上·浙江寧波·期末）命題“，”為假命題的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先轉(zhuǎn)化為存在量詞命題的否定，求參數(shù)的取值范圍，再求其真子集，即可判斷選項(xiàng).【詳解】若命題“，”為假命題，則命題的否定“，”為真命題，即，恒成立，，，當(dāng)，取得最大值，所以，選項(xiàng)中只有是的真子集，所以命題“，”為假命題的一個(gè)充分不必要條件為.故選：D【變式1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知不等式m－1<x<m＋1成立的充分條件是則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【答案】【詳解】解析：由題意得（，）?（m－1，m＋1），所以且等號不能同時(shí)成立，解得－≤m≤.【考查意圖】已知充要關(guān)系求參數(shù)的取值范圍．【變式2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）若“”是“”的一個(gè)充分條件，則的一個(gè)可能取值是.（寫出一個(gè)符合要求的答案即可）【答案】（答案不唯一）【分析】解不等式，可得出滿足條件的一個(gè)的值.【詳解】由可得，則，所以，解得.因?yàn)椤啊笔恰啊钡囊粋€(gè)充分條件，所以的一個(gè)可能取值為（答案不唯一，均滿足題意）．故答案為：（答案不唯一，均滿足題意）.【變式3】（2023·海南?？凇つM預(yù)測）已知集合，則的充要條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解一元二次不等式求集合P，解根式不等式求集合Q，根據(jù)集合并集結(jié)果有即可求參數(shù)a的范圍，最后由充分、必要性定義可得答案.【詳解】由題設(shè)，，，若，則，故，可得.所以是的充要條件.故選：B題型三全稱量詞與存在量詞含量詞命題的解題策略(1)判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個(gè)成立即可．當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判定時(shí)，可以先判斷其否定的真假．(2)由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的真假求參數(shù)的范圍；二是可利用等價(jià)命題求參數(shù)的范圍．命題點(diǎn)1含量詞命題的否定【例題3】（2024·四川成都·二模）命題“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)全稱命題的否定即可得到答案.【詳解】根據(jù)全稱命題的否定為存在命題，任意變存在，范圍不變，結(jié)論相反，則命題“”的否定是“”，故選：B.【變式1】（2024·四川宜賓·二模）命題“”的否定是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】全稱量詞命題的否定為存在量詞命題.【詳解】根據(jù)全稱量詞命題的否定有：命題“”的否定是：.故選：C【變式2】（2024·山西·模擬預(yù)測）命題“，”的否定是（

）A．“，” B．“，”C．“，” D．“，”【答案】C【分析】全稱量詞命題的否定為存在量詞命題.【詳解】依題意全稱量詞命題“，”的否定為：存在量詞命題“，”.故選：C【變式3】（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）命題“，使得”的否定是（

）A．，使得 B．，使得C．，恒成立 D．，恒成立【答案】C【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題即可得解.【詳解】因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定為全稱量詞命題，所以命題“，使得”的否定是“，恒成立”.故選：C.命題點(diǎn)2含量詞命題真假的判斷【例題4】（2023·四川瀘州·一模）已知命題，，命題，，則下列命題是真命題的為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】判斷兩個(gè)命題的真假后逐項(xiàng)分析即可【詳解】時(shí)，故假時(shí)，故真故為真故選：A【變式1】（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）下列命題中，真命題是（

）A．“”是“”的必要條件B．C．D．的充要條件是【答案】B【分析】舉反例來判斷ACD，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷B.【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，滿足，但不滿足，故“”不是“”的必要條件，故錯(cuò)誤；對于B，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，對于，即，故正確；對于C，當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)，滿足，但不成立，故錯(cuò)誤.故選：B.【變式2】（2023·四川綿陽·一模）下列5個(gè)命題：①“，”的否定；②是的必要條件；③“若，都是偶數(shù)，則是偶數(shù)”的逆命題；④“若，則”的否命題；⑤是無理數(shù)，是無理數(shù).其中假命題的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不對【答案】B【分析】寫出命題的否定即可判斷①，根據(jù)必要條件的定義判斷②，寫出逆命題判斷③，寫出否命題判斷④，利用特殊值判斷⑤.【詳解】對于①“，”的否定為“，”，顯然為真命題；對于②：由能推得出，故是的充分條件，是的必要條件，故②為真命題，對于③：“若，都是偶數(shù)，則是偶數(shù)”的逆命題為：若是偶數(shù)，則，都是偶數(shù)，當(dāng)，時(shí)滿足是偶數(shù)，但是，都是奇數(shù)，故③是假命題；對于④：“若，則”的否命題為“若，則”，由則且，故④為真命題；對于⑤：是無理數(shù)，是無理數(shù)，為假命題，如為無理數(shù)，但是為有理數(shù)，故⑤為假命題.故選：B【變式3】（2023·河北·模擬預(yù)測）命題：，，命題：，，則（

）A．真真 B．假假 C．假真 D．真假【答案】D【分析】對于命題：根據(jù)特稱命題結(jié)合二次函數(shù)分析判斷；對于命題：根據(jù)存在命題結(jié)合二次函數(shù)的判別式分析判斷.【詳解】對于命題：令，則開口向上，對稱軸為，且，則，所以，，即命題為真命題；對于命題：因?yàn)椋苑匠虩o解，即命題為假命題；故選：D.命題點(diǎn)3含量詞命題的應(yīng)用【例題5】（2024·四川涼山·二模）已知命題“，”是假命題，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】寫出原命題的否定，即為真命題，然后將有解問題轉(zhuǎn)化為最值問題求解即可.【詳解】命題“，”是假命題，則“，”是真命題，所以有解，所以，又，因?yàn)椋?，?故選：B.【變式1】（2024·陜西寶雞·一模）命題“任意，”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】首先求命題為真命題時(shí)的取值范圍，再求其補(bǔ)集，即可求解.【詳解】若命題“任意，”為真命題，則，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，等號成立，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，，，所以，即，所以命題“任意，”為假命題，則的取值范圍為.故答案為：【變式2】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）設(shè)命題，若是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)原命題為真結(jié)合基本不等式可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)槭羌倜}，故為真命題，因?yàn)?，故，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故.故答案為：.【變式3】（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）若，為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可知，只需即可.【詳解】若，為真命題，則.因?yàn)樵谏系淖钚≈禐?，所以，故選：D.【課后強(qiáng)化】【基礎(chǔ)保分練】一、單選題1．（23-24高三上·山東菏澤·階段練習(xí)）“函數(shù)的圖象關(guān)于對稱”是“，”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用正切函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合集合間的基本關(guān)系判定充分、必要條件即可.【詳解】當(dāng)函數(shù)的圖象關(guān)于對稱時(shí)，有，，得，，易知，所以“函數(shù)的圖象關(guān)于對稱”是“，”的必要不充分條件．故選：B．2．（23-24高三上·全國·階段練習(xí)）“或”是“圓與圓存在公切線”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】先求兩圓內(nèi)含時(shí)a的取值范圍，然后可得兩圓有公切線時(shí)a的取值范圍，即可得答案.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，所以兩圓的圓心距為，兩圓內(nèi)含時(shí)，即，解得，所以當(dāng)兩圓有公切線時(shí)，或，所以“或”是“圓與圓存在公切線”的充要條件．故選：C．3．（2024·廣東·一模）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用齊次式法求值及充分條件、必要條件的定義判斷得解.【詳解】由，得，由，得，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件，A正確.故選：A4．（2023·河南·二模）設(shè)橢圓的離心率為，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分、必要性定義，結(jié)合橢圓方程，討論判斷充分性，由離心率定義判斷必要性，即可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；所以推不出，充分性不成立；當(dāng)時(shí)，則，必要性成立；綜上，“”是“”的必要不充分條件.故選：B5．（23-24高三上·浙江寧波·期末）若數(shù)列為等比數(shù)列，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件 D．必要不充分條件【答案】C【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)，結(jié)合基本不等式及不等式性質(zhì)，由充分、必要性定義判斷充分、必要性.【詳解】若數(shù)列的公比為，由，故，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，故充分性成立；由，故，若，則，故必要性不成立；故選：C二、多選題6．（2024·山西呂梁·一模）下列說法正確的是（

）A．命題“”的否定是“”B．“”是“”的充分不必要條件C．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)镈．記為函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)，則【答案】BCD【分析】根據(jù)全稱存在量詞命題的否定形式，判斷A，根據(jù)充分，必要條件的定義，判斷B，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的定義域公式，判斷C，利用作差法判斷D.【詳解】對于A選項(xiàng)，“，”的否定為“”，故A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，由，得，故或，因此是的充分不必要條件，故B正確；對于C選項(xiàng)，中，，中，，即，故C正確；對于D選項(xiàng)，，,，，故D正確.故選：BCD7．（2024·廣東梅州·一模）已知直線，和平面，，且，則下列條件中，是的充分不必要條件的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】BCD【分析】結(jié)合命題的充分不必要條件：由線面關(guān)系可得到A錯(cuò)誤；由線面垂直的性質(zhì)和判定可推出B正確；由線面平行的性質(zhì)和判定可推出C正確；由面面垂直的性質(zhì)和判定可推出D正確.【詳解】A：若，，則直線，可能平行或異面，所以不能推出，故A錯(cuò)誤；B：若，則直線m垂直于平面的每一條直線，又，所以成立，但若成立，根據(jù)線面垂直的判定，還需在平面找一條與n相交的直線，且m不在平面內(nèi)，故q不能推出p，故B正確；C：若，且，由面面平行的性質(zhì)可知，成立；反之，由線面平行的判定可知當(dāng)，不能推出，故C正確；D：若，且，由面面垂直的判定定理可知成立；反之，若，且，則直線n與平面可能成任意角度，故D正確.故選：BCD.三、填空題8．（2024·四川成都·一模）命題“，”的否定為．【答案】，【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題，即可得解.【詳解】命題“，”為全稱量詞命題，其否定為：，.故答案為：，9．（23-24高三上·河北張家口·階段練習(xí)）已知函數(shù)（且），若，是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】或【分析】對進(jìn)行分類討論，由函數(shù)的單調(diào)性、分離參數(shù)法、存在量詞命題的真假性等知識求得正確答案.【詳解】因?yàn)?，若，由于單調(diào)遞減，則在R上單調(diào)遞增；若，由于單調(diào)遞增，則在R上單調(diào)遞減，又，故，因?yàn)?，是假命題，故，恒成立為真命題，即不等式對恒成立，當(dāng)時(shí)，，即在恒成立，設(shè)，即在恒成立．由于對勾函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因?yàn)?，因此；?dāng)時(shí)，，即在恒成立，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，即，又因?yàn)?，故．綜上可知：或．故答案為：或【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：存在量詞命題是假命題，則其否定是真命題.當(dāng)命題正面求解困難時(shí)，可利用命題的否定來進(jìn)行求解.含參數(shù)的不等式恒成立問題，可以利用分離常數(shù)法進(jìn)行求解，分離參數(shù)時(shí)，要注意不等式的符號.四、解答題10．（2024·上?！ひ荒＃?）在用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)的大致圖象的過程中，第一步需要將五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表，請完成下表：001（2）設(shè)實(shí)數(shù)且，求證：；（可以使用公式：）（3）證明：等式對任意實(shí)數(shù)恒成立的充要條件是【答案】（1）表格見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合“五點(diǎn)法”作圖完善表格.（2）根據(jù)給定條件，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計(jì)算即得.（3）根據(jù)給定條件，利用恒等式成立的充要條件推理即得.【詳解】（1）“五點(diǎn)法”作函數(shù)的圖象的5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以表格如下：0001010121（2）實(shí)數(shù)且，則，因此，所以.（3），依題意，對任意實(shí)數(shù)恒成立，因此，所以等式對任意實(shí)數(shù)恒成立的充要條件是.【綜合提升練】一、單選題1．（2024·黑龍江·二模）命題“，”的否定是（

）A．“，” B．“，”C．“，” D．“，”【答案】D【分析】利用“含有一個(gè)量詞命題的否定”形式即可得出答案.【詳解】根據(jù)全稱量詞命題的否定可知，命題“，”的否定是“，”.故選：D2．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）命題“，，”的否定形式是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】本題考查全稱量詞命題與存在量詞命題的否定?！驹斀狻坑扇Q量詞命題與存在量詞命題的否定可知：命題“，，”的否定形式是“，，”.故選：C3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知直線：，直線：，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用兩直線平行求解的值，結(jié)合充要關(guān)系的定義判斷即可.【詳解】由可得，解得或.當(dāng)時(shí)，：，：，顯然，重合，舍去，故時(shí)，.因此“”是“”的充要條件.故選：C4．（2024·安徽·模擬預(yù)測）若，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】借助充分條件與必要條件的定義，先借助特值排除充分性，再借助基本不等式驗(yàn)證必要性即可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，成立，而不成立，故“”不是“”的充分條件；當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，則，故“”是“”的必要條件.故選：B.5．（2024·全國·模擬預(yù)測）若直線和圓的方程分別為，則“”是“直線和圓沒有公共點(diǎn)”的（

）A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件 D．必要不充分條件【答案】C【分析】由圓的方程可得，再根據(jù)圓心到直線的距離大于半徑求解可得或，進(jìn)而根據(jù)充分與必要條件的性質(zhì)判斷即可.【詳解】因?yàn)楸硎緢A，所以，即．若圓與直線沒有公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離大于半徑，即，解得或．所以“”是“直線和圓沒有公共點(diǎn)”的充分不必要條件．故選：C6．（2024·黑龍江·二模）已知，為兩個(gè)不重合平面，l，m為兩條不同直線，則的充分條件是（

）A．， B．， C．， D．，，【答案】B【分析】對于ACD，根據(jù)空間中線面關(guān)系可得或，故ACD均不是充分條件，結(jié)合面面平行的定義可得B正確.【詳解】對于A，若，，則或，故A中條件不是充分條件，故A錯(cuò)誤；對于B，若，，由面面平行的定義可得，故B中條件是的充分條件，故B正確；對于C，若，，則或，C中條件不是充分條件，故C錯(cuò)誤；對于D，，，，則或，D中條件不是充分條件，故D錯(cuò)誤；故選：B.7．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，命題，命題，則P是Q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)三角恒等變換解命題P可得A，B，C必有一個(gè)為直角；根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算與垂直關(guān)系的向量表示解命題Q可得A為直角，結(jié)合充分、必要條件的定義即可求解.【詳解】命題P：由，及,得,∴，得，則，，必有一個(gè)為0，∴A，B，C必有一個(gè)為直角．命題Q：由得，即，得，即，∴A為直角，故P是Q的必要不充分條件.故選：B．8．（2024·吉林·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則“有兩個(gè)極值”的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)有兩個(gè)正的穿越零點(diǎn)，求得有兩個(gè)極值點(diǎn)的充要條件，再求其充分不必要條件即可.【詳解】由題可得，若滿足題意，則有兩個(gè)正的穿越零點(diǎn)，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；又，，當(dāng)趨近于正無窮時(shí)，趨近于，若有兩個(gè)正的穿越零點(diǎn)，則，解得，即有兩個(gè)極值的充要條件是：，根據(jù)選項(xiàng)，則有兩個(gè)極值的一個(gè)充分不必要條件是.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是對，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，從而求得有兩個(gè)極值點(diǎn)的充要條件.二、多選題9．（2024·河南開封·二模）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一．用其名字命名的高斯取整函數(shù)為，表示不超過x的最大整數(shù)，例如，．下列命題中正確的有（

）A．，B．，，C．，D．，【答案】BD【分析】根據(jù)給定的定義，結(jié)合存在量詞命題、全稱量詞命題的真假判斷方法逐項(xiàng)分析即得.【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而，因此，A錯(cuò)誤；對于B，，，令，則，，因此，B正確；對于C，取，，則，，顯然，C錯(cuò)誤；對于D，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而，因此，此時(shí)，D正確.故選：BD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷全稱量詞命題為真、存在量詞命題為假必須推理論證；判斷全稱量詞命題為假、存在量詞命題為真只需舉例說明.10．（2024·全國·模擬預(yù)測）下列說法中，正確的是（

）A．“”是“”的既不充分也不必要條件B．命題“，”的否定是“，”C．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則D．既是奇函數(shù)又是減函數(shù)【答案】ACD【分析】利用充分必要條件定義及不等式性質(zhì)可判斷A，由全稱命題的否定定義可判斷B，由正態(tài)分布的概率可判斷C，由函數(shù)的圖像可判斷D.【詳解】選項(xiàng)A：由“”不能得到“”，反之，由“”也不能得到“”，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，所以A正確；選項(xiàng)B：命題“，”的否定是“，”，所以B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以，所以C正確；選項(xiàng)D：，作出它的圖象如圖：知它既是奇函數(shù)又是減函數(shù)，所以D正確．故選：ACD．11．（2024·云南楚雄·模擬預(yù)測）下列命題為真命題的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】BC【分析】運(yùn)用全稱和特稱量詞的命題的知識分析即可.【詳解】對A，當(dāng)時(shí)，無意義，故A錯(cuò)誤；對B，易得，，則，可得，故B正確；對C，當(dāng)時(shí)，成立，故C正確；對D，，可得，故D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題12．（2024·遼寧沈陽·一模）的一個(gè)充分不必要條件是.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分不必要條件即可求解.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，由可得,故的一個(gè)充分不必要條件是，故答案為：（答案不唯一）13．（2024·全國·模擬預(yù)測）“函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱”是“”的條件．【答案】充分必要【分析】先由函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱求得的值，再解方程求得的值，進(jìn)而得到二者間的邏輯關(guān)系.【詳解】函數(shù)圖象的對稱中心為，所以由“函數(shù)y=tanx的圖象關(guān)于(x0,0)中心對稱”等價(jià)于“”．因?yàn)榈葍r(jià)于，即．所以“函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱”是“”的是充分必要條件．故答案為：充分必要14．（23-24高三上·四川成都·期中）已知，，則在下列關(guān)系①②③④中，能作為“”的必要不充分條件的是（填正確的序號）.【答案】②③【分析】利用基本不等式可判斷①；數(shù)形結(jié)合，作出的圖象，結(jié)合不等式相應(yīng)的幾何意義判斷②；利用放縮法說明，再用構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)知識說明，從而判斷③；構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合，說明兩命題之間的推理關(guān)系，判斷④.【詳解】對于①，取，滿足，但不滿足，即成立推不出，由于，故，而，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即成立可推出成立，故不是“”的必要不充分條件；對于②，作出函數(shù)的圖象，如圖曲線，即將的圖像向右平移1個(gè)單位得到；

則（）表示幾何意義為曲線在第一象限內(nèi)和坐標(biāo)軸圍成的區(qū)域部分（不含坐標(biāo)軸），則中相應(yīng)的點(diǎn)所在區(qū)域即上述區(qū)域；而表示的幾何意義為直角三角形區(qū)域部分（不含坐標(biāo)軸），顯然直角三角形區(qū)域部分（不含坐標(biāo)軸）對應(yīng)集合為曲線在第一象限內(nèi)和坐標(biāo)軸圍成的區(qū)域部分（不含坐標(biāo)軸）相應(yīng)集合的真子集，即是的必要不充分條件，對于③，由得，故，（），設(shè)，則，則在上單調(diào)遞減，且，則存在，使得，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，而，則在上恒成立，即，故；而當(dāng)成立時(shí)，不妨取，成立，但不成立，故是的必要不充分條件；對于④，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，顯然在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，又，作出的大致圖象如圖：

由圖象可知存在，使得，故當(dāng)時(shí)，只有唯一解，若，則與條件不符；即此時(shí)得不出，即不是的必要條件，故能作為“”的必要不充分條件的是②③，故答案為：②③【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了必要條件的判斷，實(shí)質(zhì)還是考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，難度較大，難點(diǎn)是選項(xiàng)③④的判斷，解答時(shí)要注意利用放縮法結(jié)合構(gòu)造函數(shù)判斷③，利用構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合判斷④.四、解答題15．（2024·廣東·模擬預(yù)測）設(shè)X，Y為任意集合，映射．定義：對任意，若，則，此時(shí)的為單射．(1)試在上給出一個(gè)非單射的映射；(2)證明：是單射的充分必要條件是：給定任意其他集合與映射，若對任意，有，則；(3)證明：是單射的充分必要條件是：存在映射，使對任意，有．【答案】(1)（答案不唯一）(2)證明過程見解析(3)證明過程見解析【分析】（1）結(jié)合單射的定義舉出符合條件的例子即可；（2）結(jié)合單射的定義、反證法從兩方面來說明即可；（3）結(jié)合單射的定義、反證法從兩方面來說明即可.【詳解】（1）由題意不妨設(shè)，當(dāng)（非0）互為相反數(shù)時(shí)，滿足題意；（2）一方面若是單射，且，則，即（否則若，有，矛盾），另一方面，若對任意，由可以得到，我們用反證法證明是單射，假設(shè)不是單射，即存在，有，又由可以得到，即，這就產(chǎn)生了矛盾，所以是單射，綜上所述，命題得證；（3）一方面若是單射，則由可得，同理存在單射，使得，，有，另一方面，若存在映射，使對任意，有，我們用反證法來證明是單射，若不是單射，即存在，有，又若，則由題意，這與產(chǎn)生矛盾，所以此時(shí)是單射，綜上所述，命題得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：后面兩問的關(guān)鍵是結(jié)合單射的定義、反證法從兩方面來說明，由此即可順利得證.16．（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知集合中含有三個(gè)元素，同時(shí)滿足①；②；③為偶數(shù)，那么稱集合具有性質(zhì).已知集合，對于集合的非空子集，若中存在三個(gè)互不相同的元素，使得均屬于，則稱集合是集合的“期待子集”.(1)試判斷集合是否具有性質(zhì)，并說明理由；(2)若集合具有性質(zhì)，證明：集合是集合的“期待子集”；(3)證明：集合具有性質(zhì)的充要條件是集合是集合的“期待子集”.【答案】(1)不具有，理由見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）分取到的三個(gè)元素都是奇數(shù)和有偶數(shù)2，兩種情況比較三個(gè)條件，即可判斷；（2）首先根據(jù)性質(zhì)，確定集合，再根據(jù)“期待子集”的定義，確定集合是集合的“期待子集”；（3）首先證明充分性，存在三個(gè)互不相同的，使得均屬于證明滿足性質(zhì)的三個(gè)條件；再證明必要性，首先設(shè)滿足條件的，再證明均屬于，即可證明.【詳解】（1）集合不具有性質(zhì)，理由如下：（i）從集合中任取三個(gè)元素均為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，不滿足條件③（ii）從集合中任取三個(gè)元素有一個(gè)為，另外兩個(gè)為奇數(shù)時(shí)，不妨設(shè)，，則有，即，不滿足條件②，綜上所述，可得集合不具有性質(zhì).（2）證明：由是偶數(shù)，得實(shí)數(shù)是奇數(shù)，當(dāng)時(shí)，由，得，即，不合題意，當(dāng)時(shí)，由，得，即，或（舍），因?yàn)槭桥紨?shù)，所以集合，令，解得，顯然，所以集合是集合的“期待子集”得證.（3）證明：先證充分性：當(dāng)集合是集合的“期待子集”時(shí)，存在三個(gè)互不相同的，使得均屬于，不妨設(shè)，令，，，則，即滿足條件①，因?yàn)?，所以，即滿足條件②，因?yàn)?，所以為偶?shù)，即滿足條件③，所以當(dāng)集合是集合的“期待子集”時(shí)，集合具有性質(zhì).再證必要性：當(dāng)集合具有性質(zhì)，則存在，同時(shí)滿足①；②；③為偶數(shù)，令，，，則由條件①得，由條件②得，由條件③得均為整數(shù)，因?yàn)?，所以，且均為整?shù)，所以，因?yàn)?，所以均屬于，所以?dāng)集合具有性質(zhì)時(shí)，集合是集合的“期待子集”.綜上所述，集合是集合的“期待子集”的充要條件是集合具有性質(zhì).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用“性質(zhì)”和“期待子集”的定義.【拓展沖刺練】一、單選題1．（2024·山西·一模）設(shè)命題，則為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定形式判定即可.【詳解】由題意可知.故選：C2．（2024·天津·一模）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義分析判斷即可.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，有，則成立，即充分性成立；當(dāng)時(shí)，，即成立，而，即不成立，進(jìn)而必要性不成立.所以，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3．（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測）已知直線，和平面，且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)線面的位置關(guān)系結(jié)合充分條件和必要條件判斷即可.【詳解】當(dāng)，時(shí)，則有；反之，當(dāng)，時(shí)，或；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A4．（2024·重慶·模擬預(yù)測）設(shè)且，命題甲：為等比數(shù)列；命題乙：；則命題甲是命題乙的（

）A．充分且不必要條件 B．必要且不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的定義結(jié)合等比中項(xiàng)的公式代入計(jì)算，即可判斷.【詳解】若為等比數(shù)列，則滿足，即，所以，故充分性不成立，當(dāng)時(shí)，數(shù)列滿足，但此時(shí)為等比數(shù)列不成立，故必要性不成立，所以為等比數(shù)列是的既不充分也不必要條件.故選：D5．（2024·天津河西·一模）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)分式不等式和一