積分對稱性定理

關(guān)于積分對稱性定理1、 定積分：設(shè)f⑴在［f,a］上連續(xù)，則r^ \ 0, f(工)為￥的奇函數(shù)/*aaf(x&f。)為因的偶函數(shù)

〔02、 二重積分：若函數(shù)f(x,y)在平面閉區(qū)域d上連續(xù)，則如果積分區(qū)域D關(guān)于x軸對稱，f(x,y)為y的奇(或偶)函數(shù)，即f(x,-y)=-f(x,y)(或f(x,-y)=f(x,y))，則一重積分[ 0, f(x,y)為的奇函數(shù)f(x,y)xdy='2^f(x,y)hdy,f(x,y)為的偶函數(shù)D1其中：D1為D滿足y>0上半平面區(qū)域。如果積分區(qū)域D關(guān)于y軸對稱，f(x,y)為x的奇(或偶)函數(shù)，即f(-x,y)=-f(x,y)(或f(-x,y)=f(x,y))，則一重積分丫 0, f(x,卜)為的奇函數(shù)'f(x,y^dy=<2^f(x,y)ixdy,f(x,y)為的偶函數(shù)lD2其中：。2為D滿足x>0的右半平面區(qū)域。如果積分區(qū)域D關(guān)于原點對稱，f(x,y)為x,j的奇(或偶)函數(shù)，即f(-x,-y)=-f(x,y)(或f(-x,-y)=f(x,y))則一重積分| 0, fQy)為,y的奇函數(shù)」fQ:y)dxdy=qjf(x,y)3xdv,f(x,y)為,y的偶函數(shù)D [D2其中：Di為D在y>0上半平面的部分區(qū)域.如果積分區(qū)域D關(guān)于直線y=x對稱，則一重積分jjf(x,yMdy=jjf(y,xkdy。(一重積分的輪換對稱性)D D如果積分區(qū)域D關(guān)于直線y=-x對稱，則有] 0, 當f(-y,-x)=-f(x,〉)時JJf(x,y)dxdy=\2JJf(x,y)dxdy 當(-y,-x)=f(x,y)時D1利用上述性質(zhì)定理化簡二重積分計算時，應(yīng)注意的是(1)(2)(3)中應(yīng)同時具有積分域D對稱及被積函數(shù)f(x,y)具有奇偶性兩個特性。3、三重積分：若f(x,y,z)為閉區(qū)域。上的連續(xù)函數(shù)，空間有界閉區(qū)域。關(guān)于xoy坐標面對稱，。1為。位于xoy坐標面上側(cè)z>0的部分區(qū)域，則有JIfG,乂舟岬』2j]f(JIfG,乂舟岬』2j]f(x,y,z?ddz,f(x,f(x,y,z^d(d^dz=<2』Jf(x,y,z^dxdydz,f(x,y,2)為由勺偶函數(shù)注：f(x,y,z)是z的奇函數(shù)：f(x,y-z)=-f(x,y,z)f(x,y,z)是z的偶函數(shù)：f(x,y-z)=f(x,y,z)同樣，對于空間閉區(qū)域。關(guān)于xoz,wz坐標面對稱也有類似的性質(zhì)。4、 曲線積分(第一類)若分段光滑平面曲線L關(guān)于y軸對稱，且f(x,y)在L上為連續(xù)函數(shù)，L1為L位于y軸右側(cè)的弧段，則()J0, f(x,y)為浦勺奇函數(shù)Lf*" 〔2』f(x,y迅，f(x,y)為的偶函數(shù)〔Li若分段光滑平面曲線L關(guān)于x軸對稱，且f(x,y)在L上為連續(xù)函數(shù)，L1為L位于x軸上側(cè)的弧段，貝』(x J0,f(x,))為的奇函數(shù)/x,y 〔2』f(x,yik,f(x,>)為俯勺偶函數(shù)〔Li若L關(guān)于直線y=x對稱，則Jf(x,y)ds=Jf(y,x)dsL L其中(3)式也稱為第一類曲線積分的輪換對稱性.5、第二類曲線積分設(shè)分段光滑的平面曲線L關(guān)于x軸對稱，且L在x軸的上半部分L與在下半1部分的L2方向相反，則J( )J0, P(x,y)是關(guān)于y的偶函數(shù)Lx，y次2JP(x,y)dx, P(x,y)是關(guān)于y的奇函數(shù)■L1設(shè)分段光滑的平面曲線L關(guān)于y軸對稱，且L在y軸的右半部分氣與在左半部分的L2方向相反則J( )J0, P(x,y)是關(guān)于x的偶函數(shù)，Px.ydx s2Jp(x,y)dx,P(x,y)是關(guān)于x的奇函數(shù).〔L對于積分JQ(x,y)dy也有類似地結(jié)論。上述結(jié)論可推廣到空間曲線的情形.L6、 第一類曲面積分：若曲面￡關(guān)于x°y坐標面對稱，f(x,y,z)為￡上的連續(xù)函數(shù)，氣為￡位于x°y上側(cè)z>0的部分曲面，則

了 0,jjfG,y,Z虹甘jfJ,y,乙地,f(x,y,f(x,y,z)為由勺奇函數(shù)

f(x,y,z況的偶函數(shù)7、第二類曲面積分的對稱性設(shè)函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在分片光滑的曲面￡上連續(xù)，面、取上側(cè)，在xoy下半空間的部分曲面￡2取定下側(cè)，則JJR(x,y,z面、取上側(cè)，在xoy下半空間的部分曲面￡2取定下側(cè)，則JJR(x,y,z)dxdy=<￡2JJ1￡i0, R(x,y,口)關(guān)于是偶函數(shù)R(x,y,z)dxdy,R(x,y,z)關(guān)于是奇函數(shù)(2)設(shè)分片光滑的曲面￡關(guān)于yoz坐標面對稱，且￡在yoz前半空間的部分曲面￡1取前側(cè)，在yoz后半空間的部分曲面￡2取后側(cè)，則0, P(x,y,z)關(guān)于是偶函數(shù)JJp(x,y,z)dxdy=<2jjp(x,y,z)dydz,P(x,y,口)關(guān)于是奇函數(shù)￡1設(shè)分片光滑的