高中數(shù)學(xué) 6.5含絕對(duì)值的不等式(備課資料) 大綱人教版必修

一參例［例1］已知函數(shù))=

●課料,∈0,+∞求證：(1)函數(shù)f()在［∞上是增函數(shù)；(2)

a1

ab1b

.分析:對(duì)于1),結(jié)論明確所只緊扣單調(diào)函數(shù)的定義即可解.對(duì)于2),題目結(jié)論有它自身的特,與函數(shù)()=式的性質(zhì)定理即可得.

存在著必然的聯(lián),利用(的論,合含有絕對(duì)值不等證明:(1)設(shè),∈0,+）且<則f()-()=

x121xx1

2xxx22(1x)(1)x1x)(1)∵、∈［0,+且x∴1+x>0,1+>0,x-<0∴

x1(1x)(1)1

<0即()-)<0.∴()<)故函數(shù)fx在［0,+∞上增函數(shù)(2)由(1)可知函(x)在［0,+上是增函數(shù)且0≤+|≤a|+||,則有f(|+|)≤(||+||),即

a1a

ab1ab

.評(píng)述:要證明函數(shù)()的單性依據(jù)義就是在規(guī)定了變量的大小順序的條件比較函數(shù)值的大小的過(guò)程,其中,不式的證明方法起作用;反過(guò)來(lái)證明等式又可以利用函數(shù)的單調(diào)性本的(就利了1)已經(jīng)證明的函數(shù)(x的單調(diào)性進(jìn)行證明的由此可見(jiàn),學(xué)知識(shí)應(yīng)當(dāng)重視相互聯(lián)的觀(guān)點(diǎn)和方法.另外對(duì)于2),也可用分析法證明,請(qǐng)同學(xué)們自己完成證略.［例2］已知bc∈函數(shù)f()=++)=axb當(dāng)1≤時(shí)有|fx≤(1)證明||1;(2)證明當(dāng)1≤1,x)|≤(3)設(shè)>0,-1≤x≤時(shí),g()的大值為2,求fx)的解析.

分析:本題是函數(shù)的概念函數(shù)單性絕對(duì)值不等,函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用.靈活地運(yùn)用所學(xué)知識(shí),巧地創(chuàng)設(shè)運(yùn)用基本識(shí)的條件,對(duì)提高解題效率是很重要的.對(duì)于有|c|=|(0)|;于2),題中含有字母系數(shù),對(duì)a進(jìn)行類(lèi)討論;對(duì)(3),靈活運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)(1)證明∵≤1有|f()|≤∴當(dāng)=0時(shí)有(0)=c即c|=|(0)|≤1.故c≤1.(2)證明欲當(dāng)1≤≤時(shí)，有|g()|≤即證:當(dāng)1≤≤1時(shí)有2≤g()2.對(duì)于進(jìn)分類(lèi)討論.當(dāng)>0時(shí),g(在-≤x≤上增函,∴-≤g(x≤a+b∵+(1)-≤(1)|+||2,a-=(-1)-c≥(-1)|+||)≥∴-2≤x≤2,即g()|≤當(dāng)<0時(shí),g(在-≤x≤上減函,∴+≤g(x≤a-b∵+(1)-≥-(|f(1)|+||)≥a-=(-1)-c≤f(-1)|+||2,∴-2≤x≤2,即g()|≤當(dāng)=0時(shí),g()=b,()=bxc,∴|g((1)-|≤|f(1)|+|c≤2;綜上所述,有g(shù)()|≤2.(3)解∵>0,∴g(x)在1≤≤上是函,∴當(dāng)=1時(shí)g()取最大值即+=2,∴(1)-(0)=ab=2,∴-1≤(0)=(1)-2≤1-2=-1即=(1)=-1,∵-1≤≤(x)≥(0)∴=0為函x圖的對(duì)稱(chēng)軸,∴=0,而=2故()=2評(píng)述:本題是“96全”考試.從中我們可以看:(1)高試卷中的壓卷題入手一般也較低,往往多步設(shè)問(wèn),路較寬(2)本題關(guān)鍵是利用函數(shù)單調(diào)性,絕對(duì)值性質(zhì),進(jìn)湊形分析從達(dá)到解題目.含有絕對(duì)值不等式,這類(lèi)知識(shí)經(jīng)常出現(xiàn)在高考試卷因此,應(yīng)總結(jié)(或證明絕值不等式的規(guī)律會(huì)確地去掉絕對(duì)值符,把絕對(duì)值不等式等價(jià)變形為不含絕對(duì)值的不等,進(jìn)一步提高綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能.二參練題1.選擇題(1)若,c∈且ac|<||,正確的是（）A.||>||+||

B.||<||-||C.||<||+||D.||>||-||答案:C(2)已知實(shí)數(shù)ab滿(mǎn)足<0,則（）A.|+|>|-|B.|+|<|-|C.|-|<|||-|||D.|-|<||+|b|答案:B(3)已知>0,設(shè)題甲兩個(gè)實(shí)數(shù),足ab|<2命題:兩個(gè)實(shí)數(shù)a,滿(mǎn)|-|<且b-c|<那么甲是乙成立的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:B(4)已知x,是零實(shí)數(shù)則下列各式中不能恒成立的是（）A.|-|≤x|+||B.|+|≥2xy(,同)C.|

|≥2(x,y同)D.|+|≥xy|答案:D(5)設(shè)x-|<,|-a|<ε則下列不等式中必成立的是（）A.|+|<B.|-|<C.|-|>2D.|-|<2答案:D(6)如果a,都非零實(shí),則下列不等式中不恒成立的是（）A.|+|≥-bB.2

≤a+|(>0)C.|+|-||aD.|

baa

|≥2答案:A(7)不等式2-logx|<2ox的是（）A.1<<2B.0<<1C.>1D.>2答案:C

即即(8)已知函數(shù)()=-2+1,于任意正ε使|)-()|<ε成立的一個(gè)充分但不必要條件是（）A.||<ε

B.|x|<

2C.||<

4

D.|x|>

4答案:C(9)設(shè)a=（）

sin2n2

,則任意正整數(shù)m,(n),都成的不等式應(yīng)是A.||<nC.||<n

m2

B.|a|<nD.|a|>n

m2n答案:C2.若,∈α,β是關(guān)于的程x+=0的根,且a|+||<1,求證α|<1且||<1.證明:∵∴若|β|>||時(shí)則有α|=

<1①若β≤|b則α|=|-β-|≤β|+||≤ba|<1,即|<1②綜合①②得||<1.同理可得:|β|<1.3.設(shè),∈ε>0.(1)已知a|<,|b,求證ab|<；64(2)已知a|<ε,||>ε,證|a+2|>ε.解(1)|3-2≤|3a|+|2=3||+2|b|<3[SX(]·[SX(][]4[SX)]=ε即3-2|<.(2)|+2≥|2b|=2||-||>2ε-=ε即ab|>ε.4.若>0,則對(duì)于所有實(shí)數(shù)ab都|+|≤(1+)|+(1+號(hào)成立解由>0,得

)|b|,當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)等2||·b|=2

c

b

≤|+||,∴a+b|≤a|)

=||+|b|+2|·||≤(1+)|+(1+c|即a+b|≤)|a|+(1+

1c

)||,且僅當(dāng)b=時(shí)等號(hào)成.5.設(shè)()=ax+bx+,|≤1時(shí)總|x≤求證:|(2)|≤8.解∵|≤1時(shí),有()|≤∴f≤即c|≤又2(1)-f(-1)∴|2b|=|(1)-(-1)|≤(1)|+|f(-1)|≤即b≤1.∵a=f(1)+∴|2a|=|(1)+|≤f(1)|+|(-1)|+2|c|≤即a≤∴f(2)|=|4a+2+|=|(++)+3+|=|(1)+3+|≤f(1)|+3|a|+||≤1+6+1=8即f≤●課料一參例［例1］若a,b∈且a|<1,證方程x

++=0的兩實(shí)根的絕對(duì)值小于1.分析:本題主要考查一元二次方根與系數(shù)的關(guān)系以及含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)定,靈活運(yùn)用基礎(chǔ)知,對(duì)提高解題效率是很重要.證明:設(shè)方程+ax+=0的兩根為x,,由一元二次方程根與的關(guān)系得+x=-,xx即=-(x+),b=x①將①代入已知條件||+|b|<1,得|+|+||<1∴+x|<1-|xx由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)得:||-||≤x+x|<1-|xx|,則有:x|-|x|<1-|x|.移項(xiàng)因式分解得||(1+||)-||-1<0(1+||)(||-1)<0∵1+|x|>0,∴|-1<0即|<1.同理可證:|x|<1.故若,∈且|+||<1,則方程x++=0兩個(gè)實(shí)根的絕對(duì)值小于1.評(píng)述:題設(shè)中a|+||<1,自然聯(lián)想|-|||±|≤a|+||,a、b方程的系,欲證根的絕對(duì)值小于因由達(dá)定,找解題途,挖掘式子特征,實(shí)現(xiàn)首尾溝通［例2］已二次函數(shù)()滿(mǎn)足|(-1)|≤1,|(0)|≤1,|f(1)|≤1,求:在||≤

時(shí)|)|≤

54

.分析:本題于求二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問(wèn)題.其基本思想是建立方程組,用f(-1),(0),f(1)表函數(shù)fx的解析,而后用含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)定理及其推論達(dá)到解決問(wèn)題的目的證明:設(shè)(x)=ax

++(≠0)則有:

a(1)cfa(解這個(gè)關(guān)于ab,的元一次方程組得:

f((0)f(cf(0)

代入()=ax+bx+,形得f()=

x2xxf(1)+fx)f(0).2∵f≤(0)|≤1,|f(-1)|≤∴當(dāng)||≤1時(shí)|()|=|

x

2

xxx2xx(1)+f(-1)+(1-x)(0)|≤||·|(1)|+|22|·f(-1)|+|1-|·|f(0)|≤

x)2

x)2

)=-

+||+1=-||+||+11=-(||-)+≤2故x≤時(shí)有|f(x≤

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.評(píng)述:從近幾年高考來(lái)看二次函在高考中的地位顯得越來(lái)越突,所首先掌握基礎(chǔ)知識(shí),從定義圖象質(zhì)開(kāi)始握好求二次函數(shù)的解析式性質(zhì)論,最值求法掌握配方法,充利用二次函數(shù)圖象解,這是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn),對(duì)要結(jié)論要記憶深刻,便于靈活運(yùn)用此題考查的是如結(jié)合絕對(duì)值有關(guān)性,用聯(lián)系與變化的觀(guān)點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì),抽象數(shù)量特,建立函數(shù)關(guān),解提出的問(wèn).二參練題1.選擇題(1)已知h>0,設(shè)題甲兩個(gè)實(shí)數(shù),滿(mǎn)-,命題乙為兩個(gè)實(shí)數(shù)滿(mǎn)

|a-1|<,且b-1|<那么（）A.甲是乙的充分條件,但不是乙必要條件B.甲是乙的必要條件,但不是乙充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲不是乙的充分條件,也不是的必要條件答案:B(2)設(shè)

1ab

<0,則①>b,②+b>2,③abb,+>|a|+||這四不等式中,恒成立的個(gè)數(shù)是（）A.0B.1C.2答案:B(3),∈R,不等|+2|≥|2+|解集為R的要條件是（A.=±B.=±2C.=4且||≤2D.ab且|a≥答案:D

D.3）(4)若<0,0<||<||<||且A.<<aC.<<c

2accc

,則有（）B.a<<D.b<<答案:A2.填空題(1)不等式1-||)(1+的解集是.答案:<1且x≠-1即-∞,-1)∪(-1,1)提示:分>0,<0,x=0討求.(2)不等式x

-5||+60的解是.答案:［2,3］［］提示:(||-2)(||-3)≤2≤||≤3(3)不等式2+2≥的解是.答案:(-∞］∪［1,+∞提示:分≥1,-2≤x<1,<-2討論(4)設(shè)()=

,則不等式(x)|>1解集是.答案:(-∞,-1)∪(-1,0)提示:()=

x

()=

.(5)不等式lg|1+12

1x

|>1的解集是.2答案:(-2,-1)∪(-1,-)3提示:只需解1+

1|<x2

2-2<x<-,又1+|0,≠-1.3x

3.求滿(mǎn)足不等式組

x

x

的整數(shù)對(duì)(,y的數(shù)

解由意得

∵∈∴=0或1.當(dāng)=0時(shí),

2