2023-2023學(xué)年第一學(xué)期末數(shù)值分析考試試題A參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)

PAGE第3頁，共5頁2023/2023學(xué)年第一學(xué)期末考試試題〔A卷〕參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)數(shù)值分析使用班級：10研一、填空題(第1小題每空2分，其余每空3分，共30分)一元二次方程的兩個(gè)根為，，假設(shè)取進(jìn)行計(jì)算，那么得到的有4位有效數(shù)字，有1位有效數(shù)字，假設(shè)改用公式計(jì)算，那么得到的有3位有效數(shù)字；設(shè)，那么=9；設(shè)，且是對應(yīng)的Lagrange插值基函數(shù)，那么1，x，又設(shè)是利用Lagrange方法得到的的二次插值基函數(shù)，那么用代替進(jìn)行計(jì)算的誤差為；用Simpson公式計(jì)算近似定積分0；用Newton法求解方程的迭代公式為；求解初值問題的改良Euler法的公式為，它是2階方法。二、解答以下各題(每題12分，共24分)用LU分解法求解線性方程組；解： LU矩陣(或?qū)?yīng)元素每算對兩個(gè)給1分)給定數(shù)據(jù)表192531384419.032.349.073.397.8求形如的擬合函數(shù)及誤差平方和，并估計(jì)變量在處的值。解：令 ，， 3分對應(yīng)的正規(guī)方程組為 7分解此方程得 9分即最終的擬合函數(shù) 10分誤差平方和為 11分 12分三(此題12分)〔1〕Gauss求積公式的代數(shù)精度是多少？〔2〕利用上述公式計(jì)算定積分，并與真值進(jìn)行比擬；〔在計(jì)算中可取〕〔3〕將區(qū)間等分成兩個(gè)小區(qū)間，對每個(gè)小區(qū)間分別利用〔1〕中的Gauss求積公式進(jìn)行計(jì)算，并將最后得到的的近似值與〔2〕進(jìn)行比擬。解：(1)經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)取，都有，而，所以，Gauss求積公式的代數(shù)精度為5。 4分(2)，與真實(shí)值比擬可知，近似計(jì)算結(jié)果有4位有效數(shù)字。 8分(3)與真實(shí)值比擬可知，近似計(jì)算結(jié)果有5位有效數(shù)字。比(2)的結(jié)果更為精確些。 12分四、(每題10分，共20分)1．設(shè)有線性方程組，寫出用Gauss-Seidel迭代法求解該線性方程組的迭代公式(不要求計(jì)算)，然后給出相應(yīng)的迭代矩陣，并判斷用Gauss-Seidel迭代法求解本方程組是否收斂？解：Gauss-Seidel迭代法求解該線性方程組的迭代公式為 5分其中，任意選取。迭代矩陣 8分由于該方程組的系數(shù)矩陣是主對角線按行絕對占優(yōu)矩陣，所以，用Gauss-Seidel迭代法求解該線性方程組收斂。 10分2．寫出用Newton迭代法求解非線性方程組的步驟，并取初值計(jì)算近似解(只進(jìn)行一次迭代)。解： 1分 3分方程 為 6分其解為 9分所以 10分五、(此題8分)設(shè)A=，用冪法求A的按模最大的特征值及對應(yīng)的一個(gè)特征向量。取初始特征向量為進(jìn)行1次迭代計(jì)算。要求使用-范數(shù)進(jìn)行計(jì)算，寫出詳細(xì)計(jì)算過程。解：取，那么 3分，， 6分 7分所以，可用作為矩陣A的近似特征值，對應(yīng)的特征向量可取為。 8分六、(此題6分)為使以下求解常微分方程初值問題的線性多步法到達(dá)盡可能高的收斂階數(shù)，取值應(yīng)為多少，并指出該公式到達(dá)的收斂階是多少？解：設(shè)為該初值問題的解，那么局部截?cái)嗾`差 1分將、和在處展開成Taylor級數(shù)得 3分令