湖南三年數(shù)學高考真題及答案

2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）

理科數(shù)學

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。1.若log2a<0,（；）"〉1,則【】

A.a>1,b>0B.?>1,b<0

C.0<a<ltb>0D.0<a<1,b<0

2.對于非零向量工及“G+B=O”是“Z//3”的【]

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

JT

3.將函數(shù)y=sinx的圖象網(wǎng)方平移夕（0?9<2萬）個單位后，得到函數(shù)^=5出口一一）的

圖象，則0等于【】

71c5）C77r、11）

A.—B.—C.—-D.——

6666

X

4.如圖1,當參數(shù)丸=4,4時，連續(xù)函數(shù)丁=7=^。20）的

\J\+Ax

圖像分別對應曲線C1和，則【】

A.0<4<4B.0<4<4

1圖1

C.A]<22<0D.4<4<0

5.從10名大學生畢業(yè)生中選3個人擔任村長助理，則F日、乙至

少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為【】

A.85B.56C.19D.28

x-2y>0,

6.已知D是由不等式組1所確定的平面區(qū)域,則圓Y+y=4在區(qū)域D內(nèi)的弧

x+3y>0

長為【】

71r冗c3刀n3%

A.—B.—C.—-D.—

4242

7.正方體ABCD—AmCQi的棱上到異面直線AB,eq的距離相等的點的個數(shù)為【】

A.2B.3C.4D5

AB

8.設函數(shù)y=f(X)在(-8,+8)內(nèi)有定義.對于給定的正數(shù)K,定義函數(shù)

?4(%)=<取函數(shù)〃x)=2—x—1。若對任意的xe(-00,+8),恒有

」(x)=/(x),則[]

A.K的最大值為2B.K的最小值為2

C.K的最大值為1D.K的最小值為1

二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分

9.某班共30人，其中15人喜愛籃球運動，10人喜愛兵乓球運動，8人對這兩項運動都不

喜愛，則喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數(shù)為.

10.在(l+x)3+(l+?y+(l+加》的展開式中，x的系數(shù)為—(用數(shù)字作答).

TTTT

11.若xe(0,,),則21211犬+1211(5-了)的最小值為.

12.已知以雙曲線C的兩個焦點及虛軸的兩個端點為頂點的四邊形中有一個內(nèi)角為60°,則

雙曲線C的離心率為

13.一個總體分為A,B兩層，其個體數(shù)之比為4：1,用分層抽樣方法從總體中抽取一個容

量為10的樣本.已知B層中甲、乙都被抽到的概率為則總體中的個體數(shù)為

28

14.在半徑為13的球面上有A,B,C三點,AB=6,BC=8,CA=10,則

(1)球心到平面ABC的距離為；

(2)過A,B兩點的大圓面與平面ABC所成二面角(銳角)的正切值為.

15.將正A48C分割成〃2(〃>2,〃eN*)個全等的小正三角形(圖2,圖3分別給出了n=2,3

的情形)，在每個三角形的頂點各放置一個數(shù)，使位于/ABC的三邊及平行于某邊的任一直

線上的數(shù)(當數(shù)的個數(shù)不少于3時D都分別依次成等差數(shù)列.若頂點A,B,C處的三個數(shù)互

不相同且和為1,記所有頂點上的數(shù)之和為/(〃)，則有/(2)=2,/(3)=

，…，/(?)=?

Z\圖2圖3

BCB

三.解答題：本大題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

16.（本小題滿分12分）

在AABC中，已知2通.元=石|通口公卜3就，求角A,B,C的大小

17.（本小題滿分12分）

為拉動經(jīng)濟增長，某市決定新建一批重點工程，分別為基礎(chǔ)設施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)

建設工程三類.這三類工程所含項目的個數(shù)分別占總數(shù)的,，L現(xiàn)在3名工人獨立地

236

從中任選一個項目參與建設。

（I）求他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率；

（II）記々為3人中選擇的項目屬于基礎(chǔ)設施工程或產(chǎn)業(yè)建設工程的人數(shù)，求J的分布

列及數(shù)學期望。

18.（本小題滿分12分）

如圖4,在正三棱柱ABC—A4G中，AB=42AA,,

點D是4隹的中點，點E在AG上，且

（I）證明：平面AOE1.平面ACGA；

（II）求直線AD和平面ABC所成角的正弦值。

19.（本小題滿分13分）

某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距機米，余下工程只需建兩端橋墩之間

的橋面和橋墩.經(jīng)測算，一個橋墩的工程費用為256萬元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋

面工程費用為（2+五口萬元。假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其它因

素.記余下工程的費用為y萬元。

（I）試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（JI）當機=640米時，需新建多少個橋墩才能使y最?。?/p>

20.（本小題滿分13分）

在平面直角坐標系xOy中，點P到點F（3,0）的距離的4倍與它到直線x=2的距離

的3倍之和記為d.當點P運動時，d恒等于點P的橫坐標與18之和

（I）求點P的軌跡C；

（II）設過點F的直線/與軌跡C相交于M,N兩點，求線段MN長度的最大值。

21.（本小題滿分13分）

對于數(shù)列｛〃,｝,若存在常數(shù)M>0,對任意的〃eN*,恒有

Mu

|?+I-|+\n-u,,_l\+---+\u2-ui\<M,

則稱數(shù)列｛〃,J為8-數(shù)列.

（I）首項為1,公比為q（同<1）的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請說明理由；

請以其中一組的一個論斷條件，另--組中的一個論斷為結(jié)論組成一個命題

判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；

（II）設s,是數(shù)列｛4｝的前〃項和，給出下列兩組論斷；

A組：①數(shù)列｛%,｝是B-數(shù)列，②數(shù)列卜“｝不是B-數(shù)列；

B組：③數(shù)列｛SJ是B-數(shù)列，④數(shù)列⑸｝不是B-數(shù)列.

請以其中一組中的一個論斷為條件，另一組中的一個論斷為結(jié)論

組成一個命題。判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；

（III）若數(shù)列｛4｝,｛〃,｝都是8-數(shù)列，證明：數(shù)列也是5-數(shù)列。

參考答案

選擇題

1—5DADBC6—8BCD

二.填空題

9.1210.711.27212.--13.40

2

14.(1)12(2)315.(1)—(2)-(n+l)(/?+2)

36

三.解答題

16.解：設BC=a,AC="A3=c

6

由2而.尼=6］嘉H就［得28ccosA=G"c,所以cosA=-^-

TT

又AE(0,4)，因此4=一

6

由百|(zhì)而=3前2得6。=百。2,于是sinC-sinB=Jisii？4=學

s、i.廠./54小G.一/I「G.一、百

所以sinC?sin(--C)-,sinC?(—cosC+-^-sinC)=,

因此2sinC,cosC+2^3sin2C-V3,sin2C->/3cos2C=0,既sin(2C-?)=0.

..71j-5了”，、，71_?7147r

由4=一知0<C<—,所以一一<2C-一<——，

66333

從而2C—工=0,或2C—二=肛，既。=工，或C=也，

3363

故人=工,8=生,。=工，或4=工,8=工,。=如。

636663

17.解：記第i名工人選擇的項目屬于基礎(chǔ)設施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設工程分別為事件

A,,4c,i=i,2,3.由題意知4,4,A相互獨立，耳，々，與相互獨立，。|,。2，。3相

互獨立，4,嗎,G(i，j，k=l,2,3,且i,j,k互不相同)相互獨立，且

p(4)=1p(B,)=]p(G)=!

Z3o

(I)他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率

P=3!P(AB2C3)=6P(A,)P(B2)P(C3)=6xixlxi=l

2366

(II)解法1：設3名工人中選擇的項目屬于民生工程的人數(shù)為〃，

由已知，〃B(3,3),且J=3-〃。

所以P"=0)=P(7=3)=C；g)3=g，

P"=1)=P(7=2)=C；(i)2(|)=1,

P(々2)=P(7=1)=《(；)守總，

P。=3)=P(77=0)=Cf(|)3=

故J的分布列是

40123

p1248

萬9927

J的數(shù)學期望EJ=0XL1X2+2X&+3X2=2.

279927

解法2:記第i名工人選擇的項目屬于基礎(chǔ)工程或產(chǎn)業(yè)建設工程分別為事件。,，i=l,2,3.

112

由已知，A，。?，"相互獨立，且P（2）=（A+c.）=P（A）+P（C.）=—+—=—,

263

5(3,1),即P(J=k)=C；(|)A(1)W,k=0,1,2,3.

所以J

故4的分布列是

q0123

p1248

279927

解：（I）如圖所示，由正三棱柱ABC—A4G的性質(zhì)知J?平面A4G.

又DEu平面A4G，所以DEJ.A4.而DE_LAE,DAE=A,

所以DE_L平面ACC,又DEu平面ADE,故平面ADE1平面ACgA

（2）解法1：如圖所示，設F是AB的中點，連接DF,DC1，

C]F,

由正三棱柱ABC-4BCi的性質(zhì)及D是A#的中點知，

J_C]D,A{BX±DF

又gDriDF=D,所以ARJ_平面gDF.而所〃,

所以AB_L平面（\DF.又ABu平面ABCr

故平面ABg，平面C|DF。過點D做DH垂直gF于點H,則DHL平面ABC]。

連接AH,則NHAD是AD和平面ABg所成的角。

由已知AB=V2AA]，不妨設AA「母，貝UAB=2,DF=0,Dg=,C,F=V5,

AD=房E=5吹空也;挈=我.

GFJ55

所以sinZHAD=—=—o即直線AD和平面ABg所成角的正弦值為叵.

AD55

解法2：如圖所示，設0是AC的中點，以0為原點建立空間直角坐標系，不妨設AA尸滅，

則AB=2,相關(guān)各點的坐標分別是A(0,-1,0),B(73,0,0),g(0,1,拉)，D

(旦—L痣)。

22

易知1,0),AC〕=(0,2,72),而吟,

r如),

設平面ABC1的法向量為〃=(x,y,z),則有

nAB=石x+y=0,

V

“,AG=2y+V2z=0.

解得x=--y,z=-V2y.

故可取;=(1,->/1,指).

1UL皿

,XUUIh2V3Vio

所以，cos(n,A￡))=TtitflK'.

V10xV35

n-A。

由此即知I,直線AD和平面ABg所成角的正弦值為巫。

15

fri

19.解：(I)設需新建〃個橋墩，則(〃+l)x=機，即的——1,

x

所以y=f(x)=256n+(n+l)(2+4)x=256(%-D+%(2+?)x

XX

256mr—,

---------\-myJx+2m-256.

x

(II)由(I)知，/'(x)=-2^56F/H+-1mx—2=-^/?y(x—2-512).

x22x

3

令/。)=0,得戶=512,所以x=64.

當0<x<64時,f\x)<0,/(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減函數(shù);

當64<x<640時,f'(%)>0./(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù).

irt640

所以/⑴在x=64處取得最小值，此時〃='_1=旁_1=9.

x64

故需新建9個橋墩才能使y最小。

20.解：(I)設點P的坐標為(x,y),則，/=4而，二7+3|x-2|.

2

由題設，d=18+x,即4"(x-3)-y?+3|x-2|=18+x.①

當x>2時，由①得近_3)2+丁=6-；x,……②

22

化簡得2+二

3627

當x42時，由①得J(3+x>+y2=3+x,……③

化簡得>2=12x.

22

故點P的軌跡C是橢圓G：3+=1在直線x=2的右側(cè)部分與拋物線：丁=12x在直

線x=2的左側(cè)部分(包括它與直線x=2的交點)所組成的曲線，參見圖1.

(II)如圖2所示，易知直線x=2

與G，的交點都是A(2,2&)，B(2,-276),

直線AF,BF的斜率分別為g=-2&,kBF=246.

當點P在G上時，由②知歸尸|=6—……④

當點P在G上時，由③知|PF|=3+x.……⑤

若直線I的斜率k存在，則直線I的方程為y=k(x-3).

(i)當kWkAF,或k>kBF,即kW-2庭或k\2^6

時，直線/與軌跡C的兩個交點M(x“y)N(X2，y2)都在G上，此時由④知

阿可=6-；苞，=6-，

從而|MN|=|MF|+|NF|=(6--x.)+(6-—x)=12--(x.+x).

22222

y=k(x-3),

2222

由x2y2M(3+4Z:)x-24A：x+36A：-108=0.

36+77-

2dk21\2k2

則再，％是這個方程的兩根，所以玉+匕二——IMN|二12-一（玉+%）=12-——

'3+4k2-3+4k

因為當比V—2而，或女226時?24,所以

pWN|=12—-逖==12--^—＜12—―-=—.當且僅當女=±246時等號成立。

1111

3+止4+4有4

k224

（ii）當左"＜攵＜%"，一2遍＜攵＜2指時，直線/與軌跡C的兩個交點

例（士,%）”（%2，%）分別在￡，G上，不妨設點M在G上，點N在C2上，

則由④⑤知，眼F|=6-；XJNF|=3+X2.

設直線AF與橢圓C,的另一交點為￡（小,先）,則/＜x,,x2＜2.

可可=6—＜6—；/=怛日,"可=3+々＜3+2=|AF|,

所以|MN|=MF|+|N曰＜怛尸|+|力曰=|AE］。而點A,E都在G上，

且疑=一2八，由（i）知卜耳=岑，所以|"N|＜詈

若直線/的斜率不存在，則玉=々=3,此時

|MN|=12—g（x+%）=9〈詈.綜上所述，線段MN長度的最大值為*.

21.解：（I）設滿足題設的等比數(shù)列為{4},則a?=q'-',于是

k，-??-i|=I，"'一2匕》2.

因此&+i—%I+1a”一4-iI+…+14—a"=|q—［（i+|q|+|q|+…+b|）-

因為|同＜1,所以l+|q|+,「+…+|/1=宜_＜占，即

1一⑼1一囿

%+1一%|+|凡一%」+…+1<卜-"

1-W

故首項為1,公比為q（同＜1）的等比數(shù)列是B-數(shù)歹人

(11)命題1：若數(shù)列｛x,,｝是B-數(shù)列，則數(shù)列⑸｝是B-數(shù)列.此命題為假命題。

事實上，設x“=l,〃eN?，易知數(shù)列｛x,J是B-數(shù)列，但5“=〃，

+…+應一周=〃.

由〃的任意性知，數(shù)列⑸｝不是B-數(shù)列。

命題2：若數(shù)列｛S“｝是B-數(shù)列，則數(shù)列｛4｝是B-數(shù)列.此命題為真命題.

事實上，因為數(shù)列｛S,,｝是B-數(shù)列，所以存在正數(shù)M,對任意的“cN?，有

S,J+|S“一S“」+…+|邑—SjWM,

即|加|+同+…+同于是

I.+1_xj+k"_X“_J+…+,2—xj

4kM+2|x“|+2kM+“.+2同+同42M+聞,

所以數(shù)列｛x,J是B-數(shù)列。

(in)若數(shù)列｛為｝,｛2｝是8-數(shù)列，則存在正數(shù)〃”朋2,對任意的〃eN?，有

K+l-an\+\an-an-l\+'"+\a2-ai\-Ml；

b+b

k+1~n\\n~4-11+…+卜2-414M2,

注意到㈤=-an_1+a,-+an_2+---+a2-al+a1|

引。"-+-%以+…+|。2-+WM+|aj.

同理，同4必+時.記&=M+同,K2=M2+\b2\,

則有.+色+i一。也|=,"+也用一。也+1+川一。也|

引加||a?+1-a?|+同僚?-b,JWa|an+1-??|+^iK+1

因此兄+也用一。也|+,也一4一也11+…+|22-她|

--(|a“+i-%|“一％」+…+E-41)

+K(1%-2I+■—%+??+恒—用)W&M+匕%?故數(shù)列｛。,凡｝是8-數(shù)列.

2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）

數(shù)學（理工農(nóng)醫(yī)類）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.

1.已知集合用={1,2,3},N={2,3,4},則

A.M=NB.NjM

C.MAN={2,3}D.MUN={1,4}

2.下列命題中的假命題是

A.VxeR,2'-|>0B.VxeN*,(x-1)2>0

C.GR,1gx<lD.R,tanx=2

X=-1—t,

3.極坐標方程P=cos6和參數(shù)方程?（方為參數(shù)）所表示的圖形分別是

y=2+3f

A.圓、直線B..直線、圓C.圓、圓D.直線、直線

4.在RtA48C中,ZC=90°,AC=4,則ABAC等于

A.一16B.-8C.8D.16

5.等于

A.—2In2B.21n2C.—In2D.In2

6..在AABC中,角4B,。所對的邊長分別為a,b,若NC=120°,c=6a,則

A.a>bB.a<bC.srbD.d與力的大小關(guān)系不能確定

7.在某種信息傳輸過程中，用4個數(shù)字的?個排列（數(shù)字允許重復）表示一個信息，不同

排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1,則與信息0110至多有兩個對應位置上的數(shù)字

相同的信息個數(shù)為

A.10B.11C.12D.15

8.用min{“S}表示兩數(shù)中的最小值.若函數(shù)/（x）=min{陣k+理的圖像關(guān)于直線

x=對稱，則/的值為

2

A.-2B.2C.-1D.1

二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分.9.已知一種材料的最佳加入量在

110g到210g之間.若用0.618法安排實驗，則第一次試點的加

入量可以是g.

10.如圖1所示，過。外一點P作一條直線與。交于A,B

兩點.已知PA=2,點P到。的切線長PT=4,則弦AB的長

為________

11.在區(qū)間［-1,2］上隨機取一個數(shù)X,則卜區(qū)1的概率為

12.圖2是求『+2?+3?+…+10()2的值的程序框圖，則正整數(shù)“=

13.圖3中的三個直角三角形是一個體積為20cn?的幾何體的三視圖，則力=cm.

14.過拋物線V=2py(p>0)的焦點作斜率為1的直線與該拋物線交于A,8兩點，在

x軸上的正射影分別為2C.若梯形A8C。的面積為12血，貝Up=.

15.若數(shù)列｛%,｝滿足：對任意的〃eN*,只有有限個正整數(shù)機使得金〈〃成立，記這樣的

用的個數(shù)為(aj,則得到一個新數(shù)冽｛(%)*｝.例如，若數(shù)列｛%｝是1,2,3…，〃，…，則

數(shù)列｛("“)*｝是0,1,2,…，.已知對任意的〃wN*,an=n~,貝ij(“5)*=，

((??)*)*=?

三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=>/3sin2x-2sin2x.

(I)求函數(shù)/(x)的最大值；

(II)求函數(shù)/(x)的零點的集合

17.(本小題滿分12分)

圖4是某城后通過抽樣得到的居民某年的月均用水量

(單位：噸)的頻率分布直方圖.

(I)求直方圖中x的值.

(II)若將頻率視為概率，從這個城市隨機抽取3位居

民(看作有放回的抽樣)，求月均用水量在3至4噸的居

民數(shù)X的分布列和數(shù)學期望.

18.(本小題滿分12分)

如圖5所示，在正方體ABCD—A|B|GD中，E是棱DD1的中點.

(I)求直線BE的平面ABB|A|所成的角的正弦值；

(H)在棱C1D上是否存在一點F,使BF〃平面A|BE?證明你

的結(jié)論.

19.(本小題滿分13分)

為了考察冰川的融化狀況,一支科考隊在某冰川上相距8km的4,8兩點各建一個考察基地.視

冰川面為平面形，以過46兩點的直線為x軸，線段16的垂直,平分線為y軸建立平面直

角坐標系(圖6).在直線x=2的右側(cè)，考察范圍為到點6的距離不超過65km的區(qū)域;

5

在直線x=2的左側(cè)，考察范圍為到46兩點的

距離之和不超過475km的區(qū)域.

(I)求考察區(qū)域邊界曲線的方程；

(0)如圖6所示，設線段68，64是冰川的

部分邊界線(不考慮其他邊界)，當冰川融化時,

邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動，

第一年移動0.2km,以后每年移動的距離為前一

年的2倍，求冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間.

20.(本小題滿分13分)

1知函數(shù)/(x)=Y+bx+c(b,ceR),對任意的xeR，恒有/'(x)<f(x).

(I)證明：當x?0時，/(x)<(x+c)2；

(H)若對滿足題設條件的任意b,c,不等式/(c)-/S)WM(c2—〃)恒成立，求M

的最小值.

21.(本小題滿分13分)

數(shù)列｛為｝(〃€N*)中，％=。，。川是函數(shù)力(x)=；d—3(3〃,+〃2.2+3〃24/的極

小值點.

(I)當a=0時，求通項4“；

(II)是否存在。，使數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列？若存在，求a的取值范圍；若不存在,

請說明理山.

參考答案

一、選擇題

1.C2.B.3.A4.D5.D6.A7.B8.D

二、填空題

9.171.8或“148.210.611.-212.10013.414.215.2n2

3

三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.(本小崎I分12分)

解(I)由為/(x)=&sin2x-(l-cos2x)=asin(2x+m-l,

6

7T7T-TT

所以，當2x+—=2發(fā)開+—,即工=上不+―(上eZ)時，函數(shù)/(x)取得最大值1.

626

7T1

(II)解法1：由(I)及/(x)=0得sin(2x+0)=±,所以

62

2x4--=2k7r+—或2X+2=2ATT+空，即無=七￥,或彳=ATT+2.

66663

故函數(shù)了(x)的零點的集合為1x|x=匕5或工=上不+；,上eZ>.

解法2：由/(x)=0得2Gsinxcosx=2sin?x,于是sinx=0,或JJcosx=sinx

即tanx=V3.

由sinx=0可知x=k7r；由tanx=G可知x=k兀+2.

3

故函數(shù)/(%)的零點的集合為=k兀，或x=k兀+鼻,kGZ>.

17.(本小題滿分12分)

解：(I)依題意及頻率分布直方圖知,0.02+0?1+%+0?37+0?39=1,解得％=0.12.

(II)由題意知,XB(3,0.1).

因此P(X=0)=C；x0.93=0.729,尸(X=1)=C；x0.1x0.92=0.243,

P(X=2)=C；x0.V*o.9=0.027,P(X=3)=C；x0.f=0.001.

故隨機變量X的分布列為

X0123

p0.7290.2430.0270.001

X的數(shù)學期望為EX=3x0.1=0.3.

18.(本小題滿分12分)

解1：設正方體的棱長為1.如圖所示，以AB,AD,AA1為單位正交基底建立空間直角坐標系.

(I)依題意，得5(1,0,0),4(0,0,0),0(0,1,0),

所以1),AD=(0,1,0).

在正方體ABC?！?中，因為平面ABB4,所以

AD是平面人的一個法向量，設直線BE和平面AB4A

所成的角為6,則

阿西12

sin0=?11——?=--=-.

MM|xi3

2

即直線BE和平面ABB,\所成的角的正弦值為y.

(II)依題意，得4(0,0，1)，朋1=(7,0」)，刑=

設％=(x,y,z)是平面4Asl的一個法向量，則由閥Q?4==0,得

-x+z=0,

,1-

-x+y+—z-0.

所以x=z，尸三gz.取z=2,得萬=(2,1,2).

設F是棱GA上的點，貝1］尸?！?1)(04，=1)?又用(1,0,1)，所以

瓦幣=(f—1,1,0).而用FZ平面4BE，于是

———.1

87〃平面4乃￡087〃=0=Q—1,1,0)(2,l,2)=0=2(f—1)+1=0=，=5=F

為GR的中點，這說明在棱G2上存在點F(G2的中點)，使用產(chǎn)〃平面ABE.

解2：(I)如圖(a)所示，取441的中點M,連結(jié)EM,BM.因為E是。A的中點，四邊形

ADD14為正方形，所以EM〃AD.

又在正方體ABCD-481clz中，AD_L平面幺班：所以EM_1_平面四44從而BM

為直線BE在平面4蘇M上的射歌AEBM為BE和平面ABBXAX所成的角.

設正方體的棱長為2.則EM=AD=2,BE=V22+22+12=3.于是,

在次口8協(xié)f中，smAEBM=-=-.

BE3

2

即直線BE和平面AB44所成的角的正弦值為y.

（II）在棱G2上存在點F,使87〃平面48E.

事實上，如圖（b）所示，分別取G2和CD的中點F,G,連結(jié)EG,BG,CA，F(xiàn)G.因

42〃6c1〃6c，且AQ|=,所以四邊形48cA是平行四邊形，因此.又

E,G分別為RO,CD的中點，所以EG〃￡）C，從而EG〃Ag.這說明&,B,G,E共面,

所以8Gu平面A18E.

因四邊形GCOA與q8CG皆為正方形，F(xiàn),G分別為GQ和CD的中點，所以

FG//C^//B,B,且/G=GC=46,因此四邊形B/GR是平行四邊形，所以B|F〃6G.

而B|F<z平面A]BE,BGu平面A|BE,故耳尸〃平面A/E.

19.（本小題滿分13分）

解：（I）設邊界曲線上點P的坐標為（x,y）,

當xN2時，由題意知（x-4>+y2=史.

當x<2時，由|PA|+|PB|=4后知，點P在以A,B為焦點，長軸長為2a=46的橢圓

上.此時短半軸長b=J(2V5)2-42=2.因而其方程為土+上=1.

v204

故考察區(qū)域邊界曲線(如圖)的方程為

2人22

q：(x-4)-+V=《(xN2)和。2:三+?=1(》<2)?

(II)設過點見《的直線為/廠過點［的直線為4,則直線小L的方程分別為

y=V5x+14,y=6.

設直線/平行于直線4,其方程為丁=/芯+冽，代入橢圓方程，+￡=1,消去_y，

得16，+10/爾+5(/-4)=0.

由口=100x3w2—4xl6x5(w2—4)=0,解得冽=8,或掰=—8.

從圖中可以看出，當冽=8時，直線/與J的公共點到直線上】的距離最近，此時直線?的方

程為y=Gx+8,/與4之間的距離為4=叱圖=3.

V1+3

又直線4到G和。2的最短距離小=6-二二，而d'>3,所以考察區(qū)域邊界到冰川邊界線

的最短距離為3.

設冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的時間為〃年，則山題設及等比數(shù)列求和公式，

02(2"-1)

得>3,所以〃24.

2-1

故冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間為4年.

20.(本小題滿分13分)

解：(I)易知/'(X)=2x+b.山題設，對任意的xeR,2x+bWx?+bx+c,即

/+(8—2)x+c—620恒成立，所以(6—2)2—4(c—b)K0,從而cN—+L

4

于是cNl,且cN2槨1因此2c-b=c+(c-6)>0.

故當x20時，有(x+c)2-/(x)=(2c-/?)x+c(c-l)>0.即當xN0時、f(x)<(x+c)2.

(H)由(I)知，c>[6|.

當C劑時，有MN名坐

11c-b1c2-^b+c

令￡=2,貝ij一1<￡<1,￡1^=2—一1-而函數(shù)8?)=2—工(一1<￡<1)的值域

c3+c1+Z1+Z

'-因此，當c>|同時，M的取值集合為I，+00^

當,=網(wǎng)時，由(I)知，b=±2,c=2.此時/(c)—/(")=—8或。c2-b2^0,

從而/(c)—/3)?5(c2—b2)恒成立綜上所述，M的最小值為

21.(本小題滿分13分)

2222

解：易知=x-(3a,(+n)x+3nan=(x-3a?)(x-n).

2

令E：(x)=0，得X[=3a“,x2=n.

⑴若%“</,則當無<34“時,￡：(x)〉0",(x)單調(diào)遞增；

當<x<“2時，￡；(x)<0,￡,(x)單調(diào)遞減；當x>〃2時，￡：。)>0,力(%)單調(diào)遞增.

故力(用在了=〃2取得極小值.

<2>卷3。->>a2?仿(1>可何?在k=取都極刁、佰

<3>君卯JJV820*8無極值

a

(I>a=O?a1=O?3ort<l由<1>5m?=尸=1.

國為=3v?貝II由<1)知.=22=4

2

30cs=12>3*貝*J(2)矢0*04=30淳=3x4.

國為?由知.a

R304=36>4?DW<2)as?3?4-3x-4

由此猜測：當〃23時，%=4x3"T.下面先用數(shù)學歸納法證明：當〃23時，3??>n2.

事實上，當〃=3時，由前面的討論知結(jié)論成立.

假設當”=上伙23）時，3%>%2成立，則由（2）知，4+|=3%>公，從而

222

3ak+l-（k+l）>3k-（k+r）=2k（k-2）+2k-l>0,

所以>伏+1）2.故當“N3時，3%>〃2成立.

于是由（2）知，當“23時，氏+1=3《,，而%=4,因此%=4X3"￡.

綜上所述，當a=0時，％=0,々=1，%=4x3"“〃23）.

（II）存在a,使數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列.

事實上，由（2）知,若對任意的〃,都有3%>〃2,則%+|=3%.即數(shù)列｛《,｝是首項為a,

公比為3的等比數(shù)列，且=a3T.

2

而要使34〉〃2,即。3">"2對一切〃wN*都成立，只需a>j對一切“wN*都成立.

n2141

記6=一，則a=—也=—也=—,???.

3"132933

令則了=（（2彳一/1113）<《（2》一/）.因此，當xN2時，y'<0,從而函數(shù)

y=9在［2,+8）上單調(diào)遞減，故當"22時，數(shù)列｛4單調(diào)遞減，即數(shù)列｛4｝中最大項

為與=1.于是當a時，必有白.這說明，當46償,400）時，數(shù)列｛.｝是等比數(shù)列.

444C

當以=—時，可得/=—,以2=—?而%?=4=2,,由（3）知，力（工）無極值，不合題意.

當"〈以<5時，可得%=以,%=3a,以3=4,以4=12,…，數(shù)列｛%｝不是等比數(shù)列.

當以二g時，3以=1=1',由（3）知，工（X）無極值，不合題意

當a<；時，可得％=a,。？=1,%=4,%=12,…，數(shù)歹ij｛a〃｝不是等比數(shù)列.

綜上所述，存在“，使數(shù)列｛為｝是等比數(shù)列，且。的取值范圍為伐,+oo）.

2011年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(湖南卷)

數(shù)學(理工農(nóng)醫(yī)類)

本試題卷包括選擇題、填空題和解答題三部分，共6頁，時量120分鐘，滿分

150分。

參考公式：(1)P(8]A)=尸''),其中A,8為兩個事件，且P(A)>0,

P(A)

(2)柱體體積公式V=S%,其中5為底面面積，/?為高。

(3)球的體積公式其中R為求的半徑。

3

一選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一

項符合題目要求的。

1.若a,beR,i為虛數(shù)單位，且(a+i)i=b+i,貝ij()

A.a-l,h—IB.a——l,b—1C.a——\,b=—1D.a-\,b—