高中數(shù)學(xué)北師大版2-3學(xué)案：第三章 1．1　回歸分析-1．2　相關(guān)系數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1。1回歸分析1.2相關(guān)系數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1。會(huì)建立線性回歸模型分析兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系。2.能通過相關(guān)系數(shù)判斷兩個(gè)變量間的線性相關(guān)程度。3。掌握建立線性回歸模型的步驟．知識(shí)點(diǎn)一線性回歸方程思考（1)什么叫回歸分析?（2)回歸分析中，利用線性回歸方程求出的函數(shù)值一定是真實(shí)值嗎？梳理(1)平均值的符號(hào)表示假設(shè)樣本點(diǎn)為（x1，y1)，（x2,y2),…,（xn，yn），在統(tǒng)計(jì)上,用eq\x\to（x)表示一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均值,即eq\x\to(x)＝______＝________；用eq\x\to(y）表示一組數(shù)據(jù)y1,y2，…，yn的平均值,即eq\x\to（y)＝______________＝______________。(2）參數(shù)a，b的求法b＝eq\f(lxy,lxx）＝____________＝____________，a＝________.知識(shí)點(diǎn)二相關(guān)系數(shù)思考1給出n對(duì)數(shù)據(jù)，按照公式求出的線性回歸方程，是否一定能反映這n對(duì)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律?思考2怎樣通過相關(guān)系數(shù)刻畫變量之間的線性相關(guān)關(guān)系？梳理(1)相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式r＝eq\f(\o(∑，\s\up6(n），\s\do4（i＝1)）xiyi－n\x\to（x)\x\to（y),\r（\o（∑，\s\up6(n）,\s\do4(i＝1））x\o\al（2,i）－n\x\to（x)2）\r(\o（∑,\s\up6（n）,\s\do4(i＝1）)y\o\al(2,i）－n\x\to(y)2））。(2)相關(guān)系數(shù)r的取值范圍是________，｜r|值越大，變量之間的線性相關(guān)程度越高；|r｜值越接近0，變量之間的線性相關(guān)程度越低．（3）當(dāng)r〉0時(shí)，b________0，稱兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，b________0，稱兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)；當(dāng)r＝0時(shí)，稱兩個(gè)變量線性不相關(guān)．類型一概念的理解和判斷例1有下列說法：①線性回歸分析就是由樣本點(diǎn)去尋找一條直線，使之貼近這些樣本點(diǎn)的數(shù)學(xué)方法；②利用樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖可以直觀判斷兩個(gè)變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示；③通過回歸方程y＝bx＋a可以估計(jì)觀測(cè)變量的取值和變化趨勢(shì)；④因?yàn)橛扇魏我唤M觀測(cè)值都可以求得一個(gè)線性回歸方程,所以沒有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4跟蹤訓(xùn)練1下列關(guān)系中，是相關(guān)關(guān)系的是________．(填序號(hào)）①正方形的邊長(zhǎng)與面積之間的關(guān)系；②農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系；③人的身高與年齡之間的關(guān)系;④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系．類型二回歸分析命題角度1求線性回歸方程例2某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得下表數(shù)據(jù)：x681012y2356(1）請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y＝bx＋a;（3）試根據(jù)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力．跟蹤訓(xùn)練2某個(gè)服裝店經(jīng)營(yíng)某種服裝，在某周內(nèi)純獲利y（元)與該周每天銷售這種服裝件數(shù)x之間的一組數(shù)據(jù)如下表：x3456789y66697381899091（1)求樣本點(diǎn)的中心；(2）畫出散點(diǎn)圖；（3）求純獲利y與每天銷售件數(shù)x之間的回歸方程．命題角度2線性回歸分析與回歸模型構(gòu)建例3某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)一批進(jìn)價(jià)是30元/臺(tái)的小商品,在市場(chǎng)試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價(jià)x(x取整數(shù))（元）與日銷售量y(臺(tái)）之間有如下關(guān)系:x35404550y56412811（1）畫出散點(diǎn)圖，并判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系；（2）求日銷售量y對(duì)銷售單價(jià)x的線性回歸方程；(3）設(shè)經(jīng)營(yíng)此商品的日銷售利潤(rùn)為P元，根據(jù)（2）寫出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并預(yù)測(cè)當(dāng)銷售單價(jià)x為多少元時(shí)，才能獲得最大日銷售利潤(rùn)．跟蹤訓(xùn)練3某電腦公司有5名產(chǎn)品推銷員，其工作年限與年推銷金額數(shù)據(jù)如下表：推銷員編號(hào)12345工作年限x/年35679推銷金額y/萬元23345(1）求年推銷金額y對(duì)工作年限x的線性回歸方程；(2）若第6名推銷員的工作年限為11年，試估計(jì)他的年推銷金額．類型三相關(guān)系數(shù)的計(jì)算與應(yīng)用例4現(xiàn)隨機(jī)抽取了某中學(xué)高一10名在校學(xué)生，他們?nèi)雽W(xué)時(shí)的數(shù)學(xué)成績(jī)（x)與入學(xué)后第一次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)(y）如下：學(xué)生號(hào)12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771請(qǐng)問：這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)成績(jī)是否具有線性相關(guān)關(guān)系?跟蹤訓(xùn)練4下面的數(shù)據(jù)是從年齡在40歲到60歲的男子中隨機(jī)抽出的6個(gè)樣本，分別測(cè)定了心臟的功能水平y(tǒng)（滿分100），以及每天花在看電視上的平均時(shí)間x（小時(shí))．看電視的平均時(shí)間x4.44.62.75.80。24。6心臟功能水平y(tǒng)525369578965（1）求心臟功能水平y(tǒng)與每天花在看電視上的平均時(shí)間x之間的樣本相關(guān)系數(shù)r；(2）求心臟功能水平y(tǒng)與每天花在看電視上的平均時(shí)間x的線性回歸方程，并討論方程是否有意義；(3）估計(jì)平均每天看電視3小時(shí)的男子的心臟功能水平．1．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后在生產(chǎn)A產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(t）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（t)的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x3456y2。5t44.5根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程為y＝0.7x＋0.35，那么表中t的值為（）A．3B．3.15C．3。5D．4。52．下表是x和y之間的一組數(shù)據(jù),則y關(guān)于x的回歸直線必過點(diǎn)（）x1234y1357A。（2，3)B．(1。5,4）C．（2.5，4)D．(2。5,5)3．一唱片公司欲知打歌費(fèi)用x（十萬元）與唱片銷售量y（千張)之間的關(guān)系，從其所發(fā)行的唱片中隨機(jī)抽取了10張，得如下的資料：eq\i\su（i＝1，10，x）i＝28，eq\i\su（i＝1，10，x)eq\o\al(2，i)＝303。4，eq\i\su（i＝1,10，y)i＝75，eq\i\su(i＝1,10，y）eq\o\al（2,i)＝598.5，eq\i\su(i＝1，10,x）iyi＝237,則y與x的相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值為________．4．面對(duì)競(jìng)爭(zhēng)日益激烈的消費(fèi)市場(chǎng)，眾多商家不斷擴(kuò)大自己的銷售市場(chǎng)，以降低生產(chǎn)成本．某白酒釀造企業(yè)市場(chǎng)部對(duì)該企業(yè)9月份的產(chǎn)品銷量x(單位：千箱）與單位成本y（單位：元)的資料進(jìn)行線性回歸分析，結(jié)果如下:eq\x\to(x）＝eq\f(7,2），eq\x\to(y）＝71，eq\i\su(i＝1,6，x）eq\o\al(2,i)＝79，eq\i\su(i＝1,6，x）iyi＝1481。則銷量每增加1000箱,單位成本下降________元．5．已知x、y之間的一組數(shù)據(jù)如下表：x0123y1357(1)分別計(jì)算：eq\x\to(x)、eq\x\to(y)、x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4、xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al（2,2）＋xeq\o\al(2，3)＋xeq\o\al(2,4);(2）已知變量x與y線性相關(guān)，求出回歸方程．回歸分析的步驟(1）確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是自變量,哪個(gè)變量是因變量．(2）畫出確定好的自變量和因變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在線性關(guān)系等）．（3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如果呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程y＝bx＋a)．(4）按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考（1）回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種方法．（2)不一定是真實(shí)值，利用線性回歸方程求的值，在很多時(shí)候是個(gè)預(yù)報(bào)值,例如，人的體重與身高存在一定的線性關(guān)系,但體重除了受身高的影響外，還受其他因素的影響,如飲食、是否喜歡運(yùn)動(dòng)等．梳理(1）eq\f（x1＋x2＋…＋xn,n）eq\f（1,n)eq\i\su(i＝1，n,x）ieq\f(y1＋y2＋…＋yn,n）eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1，n，y)i(2）eq\f（\i\su(i＝1，n,）xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su（i＝1,n,)xi－\x\to（x)2)eq\f（\i\su（i＝1,n,x）iyi－n\x\to（x)\x\to(y)，\i\su(i＝1，n,x）\o\al(2，i）－n\x\to（x)2）eq\x\to（y）－beq\x\to(x)知識(shí)點(diǎn)二思考1如果數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖中的點(diǎn)都大致分布在一條直線附近，這條直線就能反映這n對(duì)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律,否則求出的方程沒有實(shí)際意義．思考2｜r|值越接近1，變量之間的線性相關(guān)程度越高；|r｜值越接近0，變量之間的線性相關(guān)程度越低；當(dāng)r＝0時(shí)，兩個(gè)變量線性不相關(guān)．梳理(2)[－1，1]（3)>〈題型探究例1C跟蹤訓(xùn)練1②④例2解（1）散點(diǎn)圖如圖．（2)因?yàn)閑q\i\su(i＝1,4，x）iyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，eq\x\to(x)＝eq\f(6＋8＋10＋12,4）＝9,eq\x\to(y)＝eq\f（2＋3＋5＋6，4)＝4，eq\i\su（i＝1,4,x)eq\o\al（2，i)＝62＋82＋102＋122＝344，所以b＝eq\f(158－4×9×4,344－4×92)＝eq\f（14，20）＝0.7,a＝eq\x\to(y）－beq\x\to(x）＝4－0.7×9＝－2.3，故線性回歸方程為y＝0。7x－2。3.（3)由（2）中線性回歸方程可知，當(dāng)x＝9時(shí),y＝0.7×9－2。3＝4,所以預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力約為4。跟蹤訓(xùn)練2解(1）eq\x\to（x）＝6，eq\x\to(y)≈79.86,樣本點(diǎn)的中心為(6,79。86）．（2）散點(diǎn)圖如下:（3)因?yàn)閑q\i\su(i＝1,7，x）iyi＝3487，eq\i\su(i＝1,7,x）eq\o\al（2，i）＝280，所以b＝eq\f（\i\su(i＝1,7，x）iyi－7\x\to(x）\x\to（y）,\i\su（i＝1,7，x）\o\al(2，i)－7\x\to(x)2）＝eq\f(3487－7×6×79.86,280－7×62)≈4。75.a＝eq\x\to（y）－beq\x\to(x）≈51。36，所以y＝4。75x＋51。36。例3解(1)散點(diǎn)圖如圖所示，從圖中可以看出這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近，因此兩個(gè)變量線性相關(guān)．（2）因?yàn)閑q\x\to(x）＝eq\f（1，4）×(35＋40＋45＋50）＝42.5,eq\x\to（y)＝eq\f（1，4）×(56＋41＋28＋11）＝34.eq\i\su(i＝1，n,x）iyi＝35×56＋40×41＋45×28＋50×11＝5410。eq\i\su（i＝1，4,x)eq\o\al(2,i)＝352＋402＋452＋502＝7350.所以b＝eq\f（\i\su（i＝1,4，x)iyi－4\x\to(x）\x\to(y）,\i\su(i＝1，4，x）\o\al(2，i）－4\x\to(x)2）＝eq\f(5410－4×42.5×34，7350－4×42。52)＝eq\f（－370，125)≈－3.a＝eq\x\to（y)－beq\x\to（x)＝34－（－3)×42.5＝161.5。所以線性回歸方程為y＝161。5－3x.（3)依題意，有P＝（161。5－3x）(x－30)＝－3x2＋251.5x－4845＝－3(x－eq\f（251.5,6））2＋eq\f(251。52，12）－4845。所以當(dāng)x＝eq\f(251.5，6)≈42時(shí)，P有最大值，約為426元．即預(yù)測(cè)當(dāng)銷售單價(jià)為42元時(shí)，能獲得最大日銷售利潤(rùn)．跟蹤訓(xùn)練3解(1）設(shè)所求的線性回歸方程為y＝a＋bx，則b＝eq\f(\i\su（i＝1，5,）xi－\x\to(x）yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,5，）xi－\x\to（x)2）＝eq\f（10，20)＝0.5，a＝eq\x\to(y）－beq\x\to（x)＝0。4?！嗄晖其N金額y對(duì)工作年限x的線性回歸方程為y＝0.4＋0。5x.（2)當(dāng)x＝11時(shí)，y＝0。4＋0.5×11＝5。9(萬元），∴可以估計(jì)第6名推銷員的年推銷金額為5。9萬元．例4解eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，eq\x\to（y)＝eq\f(1,10）(84＋64＋…＋57＋71）＝68，eq\i\su（i＝1，10,x)eq\o\al（2，i）＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116584，eq\i\su（i＝1，10,y)eq\o\al(2,i)＝842＋642＋…＋572＋712＝47384，eq\i\su(i＝1，10,x）iyi＝120×84＋108×64＋…＋99×57＋108×71＝73796.所以相關(guān)系數(shù)r＝eq\f（73796－10×107。8×68，\r（116584－10×107.8247384－10×682)）≈0.7506.由此可看出這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)成績(jī)具有線性相關(guān)關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練4解n＝6，eq\x\to（x)＝eq\f(1,6）（4。4＋4.6＋…＋4。6)≈3。7167,eq\x\to（y）＝eq\f（1,6）（52＋53＋…＋65）≈64.1667，eq\i\su(i＝1，6,x）eq\o\al（2，i)－6eq\x\to（x）2＝(4。42＋4。62＋…＋4。62)－6×3.71672≈19.7668，eq\i\su(i＝1,6,y）eq\o\al（2,i）－6eq\x\to(y)2＝(522＋532＋…＋652）－6×64。16672≈964.8077,eq\i\su(i＝1,6，x)iyi－6eq\x\to（x）eq\x\to（y）＝（4.4×52＋4.6×53＋…＋4。6×65）－6×3.7167×64.1667≈－124.6302.（1)心臟功能水平y(tǒng)與每天花在看電視上的平均時(shí)間x之間的相