指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)復習有詳細知識點和習題詳-解-補課

第六講指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)都是基本初等函數(shù)，是高中必須掌握的，在高考中，主要是考查基礎知識。要求掌握擴充后指數(shù)的運算，對數(shù)的運算，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像和性質。一、指數(shù)的性質〔一〕整數(shù)指數(shù)幕.整數(shù)指數(shù)幕概念：an=a,a.整數(shù)指數(shù)幕概念：an=a,a;…an個aa0=1(a豐0)a一n=—(a豐0,ngN*an.整數(shù)指數(shù)幕的運算性質：〔1〕〔3〕am?an=am+n(m,ngZ) 〔2〕(am)=amn(m,ngZ)(ab>=an.bn(ngZ)an

bnan

bn1.分數(shù)指數(shù)幕：5a10=a2=a5(a>0)12=a3其中am+an=am?a-n=am-n,a的n次方根的概念一般地，如果一個數(shù)的n次方等于a(n>1,ngN*1那么這個數(shù)叫做a的n次方根，即：假設xn=a，則x叫做a的n次方根，(n>1,ngN*)例如：27的3次方根V27=3, —27的3次方根3-27=—3,32的5次方根5.變=2, -32的5次方根V-32=-2._ _說明：①假設n是奇數(shù)，則a的n次方根記作低;假設a>0則nja>0，假設a<o則R<0；②假設n是偶數(shù)，/a>0則^a的正的n次方根記作幾,a的負的n次方根，記作：-<a；[例如:8的平方根土'四=±2<216的4次方根土<16=±2〕③假設n是偶數(shù)，且a<0則na沒意義，即負數(shù)沒有偶次方根;④???0n=0(n>1,ngN*) ??.n0=0；⑤式子na叫根式，n叫根指數(shù)，a叫被開方數(shù)。,0")=a.a的n次方根的性質一般地，假設n是奇數(shù)，則nd=a；faa>0假設n是偶數(shù)，則nan=a|/ 八.[—aa<0例題分析:例.計算：v7+-v40+\；7-v40解：『7+.、而+<7-<40=Q+、5)2+v(v5-<2)2:2.<5〔二〕分數(shù)指數(shù)幕即當根式的被開方數(shù)能被根指數(shù)整除時，根式可以寫成分數(shù)指數(shù)幕的形式;幕的運算性質0m)=amn對分數(shù)指數(shù)幕也適用，r2)例如：假設a>0r2)例如：假設a>0，貝ua3V73 23=a3x3=a25、a47=a4x4=a5, ；.3a2=a3 4a5=a5.m規(guī)定〔1〕正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)幕的意義是ann；am(a>0,m,neN*,n>1)；m〔2〕正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)幕的意義是a-n=J_(a>0,m,neN*,n>1).nam.分數(shù)指數(shù)冪的運算性質：整數(shù)指數(shù)冪的運算性質對于分數(shù)指數(shù)冪也同樣適用，即：(1)aras=ar+s(a>0,r,seQ)(2)(air)f=ars(a>0,r,seQ)(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,reQ)說明〔1〕有理數(shù)指數(shù)幕的運算性質對無理數(shù)指數(shù)幕同樣適用；〔2〕0的正分數(shù)指數(shù)幕等于0，0的負分數(shù)指數(shù)幕沒意義。.例題分析：【例1】用分數(shù)指數(shù)幕的形式表示以下各式(a>。)：a2?、：a, a3?3a2, %；a、Ja.1 2+1 5解：a2-7a=a2?a2=a2=a2； 2 113、a27a3-3a2=a3?a3、a27aaaa=【例2】計算以下各式的值〔式中字母都是正數(shù)〕.r2〔1〕2a3bV

r解〔1〕r2〔1〕2a3bV

r解〔1〕2a3b

V-6a2b3+-3a6b6；-6a2b3+-3a6b6m4n8V7r1m4n88 m2=m2n-3=——n3=[2x(-6).(-3)]=4ab0=4a；例3.計算以下各式：〔1〕(：5-<125)+訪211115+-36=53—52+54=53+54—52+5〔2〕一一,——= =a6=7a3a2a2a3=512—54二4；55—54：51 1【例3】已知X+X-1=3，求以下各式的值：〔1〕X2+X-21 1 1 1 1 1解：〔1〕?/(X2+X-2)2=(X2)2+2X2X-2+(X-2)2=x1+x-1+2=3+2=5,1 _1...X2+X-2>0,1 _1...X2+X-2>0,又由x+x-1=3得X>0,TOC\o"1-5"\h\z11 —所以X2+X-2=\.：5.1 _1 111 1 1 1〔2〕〔法(X2)3+(X-2)3=(X2+X-2)[(X2)2一X2X-2+(X-2)〔2〕〔法=(X2+X-2)[(X+X-1)-1]=<5(3-1)=2%：,5，3 _3 3 _3 _3_3〔法二〕[(X2)+(X-2)]2=(X2)2+(X-2)2+2X-2X-2=X3+X-3+2而X3+X-3=(X+X-1)(X2+X-2-1)=(X+X-1)[(X+X-1)2-3]=3*(32-3)=18\o"CurrentDocument"3 3.,.(X2+X-2)2=20,3 _3又由X+X-1=3>0得X>0，.二X2+X-2>0,所以x2+x-2=\-'20=2<5.二、指數(shù)函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)定義：一般地，函數(shù)y一般地，函數(shù)y=ax〔a>0且a豐1〕叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，a叫底數(shù)，函數(shù)定義域是R.3【例1】求以下函數(shù)的定義域、值域：[11y=82■1 [2)y=4：1一(!)% [3)y=3-」 [4)y=a7(a>0,a豐1).2 2 ax+1解：[1)?.?2x-1中0???x豐1 原函數(shù)的定義域是｛x|xeR,x豐j),令t=-1-貝1富豐0,teR2x-1y=8t(teR,t豐0)得y>0,y中1,所以，原函數(shù)的值域是｛y|y>0,y豐1).[2)???1-(1)x>0.?.x>0 原函數(shù)的定義域是[。,+8),令t=1-d)x(x>0)則0<t<1,2???y=4在在[0,1)是增函數(shù) ?,?0<y<1,所以，原函數(shù)的值域是[0,1).[3)原函數(shù)的定義域是R,令t=-|x| 貝ijt<0,.?.y=3t在(-8,01是增函數(shù)，0<y<1,所以，原函數(shù)的值域是(0,11[4)原函數(shù)的定義域是R,TOC\o"1-5"\h\zax—1 y+1由y= (a>0,a豐1)得ax= ,ax+1 y-1八 y+1八 y y丁ax>0 /. >0, -1<y<1,y-1所以，原函數(shù)的值域是(-1,1).說明：求復合函數(shù)的值域通過換元可轉換為求簡單函數(shù)的值域。ax+1【例2】當a>1時，證明函數(shù)y二 是奇函數(shù)。ax-1證明：由ax-1中0得，x豐0,故函數(shù)定義域｛x|x豐0｝關于原點對稱。、a-x+1 (a-x+1)ax 1+ax ”、f(-x)= = = =-f(x)a-x-1 (a-x-1)ax 1-ax J.??f(-x)=-f(x)ax+1所以，函數(shù)y二 是奇函數(shù)。ax-1三、對數(shù)的性質1.對數(shù)定義：一般地，如果a〔a>0且a豐1〕的b次幕等于N,就是ab=N，那么數(shù)b叫做a為底N的對數(shù)，記作10gaN=b,a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。即ab=N,log,N二b。aNb指數(shù)式ab=N底數(shù)幕指數(shù)對數(shù)式10gaN=b對數(shù)的底數(shù)真數(shù)對數(shù)說明：1.「在指數(shù)式中幕N>0,???在對數(shù)式中，真數(shù)N>0.〔負數(shù)與零沒有對數(shù)〕.「對任意a>0且a豐1,都有a0=1 .、log1=0，同樣：loga=1..如果把ab=N中的b寫成logN,則有a1ogaN=N〔對數(shù)恒等式〕.a2.對數(shù)式與指數(shù)式的互換例如：42=16,10g416=2；102=100,10gl0100=2；42=2,log2=1; 10-2=0.01,log0.01=-2。&4 2 10【例1】將以下指數(shù)式寫成對數(shù)式：⑴54=25； 〔2〕2-6=X； ⑶3a=27；64解：〔1〕log625=4； 〔2〕log—=-6; 〔3〕5 264」,、(1)m〔4〕-=5.37.k3710g327=a； 〔4〕3.介紹兩種常見的對數(shù)：①常用對數(shù)：以10作底10gl0N簡寫成1gN；②自然對數(shù)：以e作底為無理數(shù)，e=2.71828?…?【例2】〔1〕計算：10g927,logg625.解：設x=1og927則u9x=27, 32x=33,令x=log_625,??.（54）=6255；x354,logN簡寫成lnN.e3?x= " 2'=54,.?.x=5.log5.37=m.1

3②log 3x2+2x-17=1.(2x2-p3 1解：①x=〔2〕求x的值：①〔2〕求x的值：①10g3x=-4②3x2+2x-1=2x2-1nx2+2x=0nx=0,x=-2'2x2-1>0但必須：< 2x2-1豐1 , ?x=0舍去，從而x=-2.3x2+2x-1>03 7〔3〕求底數(shù)：①10gx3=-5，②10gx2=8.解：①x"5=3=(3-3)-5?x=3-3；

V74.對數(shù)的運算性質：那么如果a>0,a豐1,M>0,N>0,那么〔1〕log(MN)=logM+logN；TOC\o"1-5"\h\z，M， ，log--=logM-logN；N〔3〕logMn=nlogM(neR).a a【例3】計算： _ _7 lg243 lg；27+lg8-3lgA/10〔1〕lg14—21g-+lg7-lg18； ⑵ ； 〔3〕-^ ~~--.3 lg9 lg1.27解：〔1〕解法一：lg14-21g3+lg7-lg18=lg(2*7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(32義2)=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0；解法二:7解法二:lg14-21g3+lg7-lg18一，，7 ，一c=lg14-lg(§)2+lg7-lg1814x14x717)2x18=lg1=0；〔2〕〔2〕〔3〕lg243_lg35_5lg3_5IgF=收=艱=2；i , 3lga/27+lg8-3lgA/Wlg(33)2+lg23-3lg102_2(lg3+21g2-1)_3lgi2 ;l3x22 lg3+21g2-1—2g10logN5.換底公式：logN=--m一(a>0,a豐1；m>0,m豐1)aloga證明：設10gN=x，則ax=N，a兩邊取以m為底的對數(shù)得：兩邊取以m為底的對數(shù)得：logax=logN，,xlog從而得：x=logmNloga說明：兩個較為常用的推論：m m mlogN：.logN=——m-.alogaa=logm〔1〕〔1〕logbxlogba=1；， - n. rc〔2〕logbn=—logb〔a、b>0且均不為1〕.am malgblgar證明：〔1〕logb-loga= =1；ablgalgb⑵logbnamlgbn_nlgb【例4】計算：⑴lgam510g0.2；mlgalog3-log2+log⑵logbnamlgbn_nlgb【例4】計算：⑴lgam510g0.2；mlgalog3-log2+log432.解：⑴原式=510g0.23 510gJ原式=1 1]510g23310g2 2 2=1=15;32+—log2=, 4 2【例5】已知log18解：?.?log9=a181og182=1-a又?.T8b=5,18b=5，求log45.? 18 1：??.log=1-log182 184〔用2b表示〕.現(xiàn)止5=b：.log3645=,log 18 log3645log9+log5a+b18【例6】設3x=4y=6z1+10gl82. .1=t>1，求證：—z7 1gtz= ,lg6lg2lg4〔圖2〕證明：:3x=4y=6z=t>1.lgtlgt；.x=,y=,1g3'1g4,11_1g61g3zxlgtlgtlgt21gt 2y四、對數(shù)函數(shù)1.對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)y=logax(a>0且a豐1)叫做對數(shù)函數(shù)。2.對數(shù)函數(shù)的性質:〔1〕定義域、值域：對數(shù)函物=logx(a>0且a豐1)的定義域為(0,+8)，值域為(-8,+8).a〔2〕圖象：由于對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，所以對數(shù)函數(shù)的圖象只須由相應的指數(shù)函數(shù)圖象作關于y=x的對稱圖形，即可獲得。以y=10g2x〔圖1〕與y=10glx〔圖2〕為例。同樣：也分a>1與同樣：也分a>1與0<a<1兩種情況歸納〔圖1〕圖象a>10<a<1x=1 1…y=lo旬x ? ? ? ? ? (1,0) "■;x=11m0—廣-；y^iog^x性質〔1〕定義域：(0,+8)〔2〕值域：R〔3〕過點(1,0)，即當x=1時，y=0〔4〕在〔0,+8〕上是增函數(shù)〔4〕在(0,+8)上是減函數(shù)〔3〕對數(shù)函數(shù)性質列表:【例1】求以下函數(shù)的定義域:aa〔2〕y=log(4—x)； 〔3〕y=log(9—x2).〔1〕y=logx2；a分析：此題主要利用對數(shù)函數(shù)y〔1〕y=logx2；a解：〔1〕由x2>0得x豐0,，函數(shù)y=logx2的定義域是a〔2〕由4—x>0得x<4,???函數(shù)y=loga(4—x)的定義域是x豐0}；{xx<4}；〔3〕由9-—x2>0得-3<x<3,?,?函數(shù)y=log(9—x2)的定義域是lx\—3<x<3}.a【例2】比較以下比較以下各組數(shù)中兩個值的大小：〔1〕1.10.9,log0.9,log0.8； 〔2〕log3,log3,log3.0.7 5 6 7解：〔「.T.1。9>1.1o=1,log0.9<log1=0,0=log1<log0.8<log0.7=1,A1.10.9>log0.8>log0.9.〔2〕：0<log5<log6<log7,Alog53>10g63>10g73.【例3】求以下函數(shù)的值域：〔1〕y=10gJx+3)；〔2〕y=10g2(3—x2)解：〔1〕令t=x+3，則y=10g2t,?：t>0,AyeR，即函數(shù)值域為R.⑵令t=3—x2，則0<t<3,Ay<10g23,即函數(shù)值域為(—8,1og23].【例4】判斷函數(shù)f(x)=log(x-；x2+1—x)的奇偶性。 2解：<x2+1>x恒成立，故f(x)的定義域為(—8,+8),f(—x)=1og2(Jx2+1+x)1二一log. -<'x2+1+x飛x2+1—x二一10g . (Yx2+1)2—x2二—log弋x2+1—x=—f(x),2所以，f(x)為奇函數(shù)?！纠?】求函數(shù)J=21ogjx2—3x+2)的單調區(qū)間?！?，3、 1.13 、 ..， 3r .解：令u=x2—3x+2=(x——-)2—在［—,+^)上遞增，在(—^,—］上遞減，2 4 2 2又,：x2—3x+2>0, x>2或x<1,故u=x2—3x+2在(2,+8)上遞增，在(—8,1)上遞減， 又：J=21ogu為減函數(shù)，13所以，函數(shù)J=21og1(x2—3x+2)在(2,+8)上遞增，在(—8,1)上遞減。3課堂練習題1、填空：〔3〕Xm-X3m+1=；〔4〕(一丁)3?(一y)5=；⑸(〃—b)2.(a—b)3=；〔6〕(-2).(-2)4.(-2)3=；2、〔1〕假設am=a2-a3，則m=；〔2〕假設an.a2=a6，則n=〔3〕假設3m=a,3n=b，用a,b表示3m+n=,32m+3n=⑵〔3〕(am)2=；〔4〕-(x4)3=；〔5〕[(a-b)2]3=；〔6〕(2a)3=；〔7〕(-5b)3=；〔8〕(盯2)2=；〔9〕(-2x3)4=；〔10〕(3ab2)3=；2、判斷以下式子是否正確，假設不對，請糾正：(1)(am)2=a2m； 〔2〕(am)2=Qm+2；〔3〕am+a〔3〕am+an=am+n；課后穩(wěn)固提高1、以下計算正確的選項是〔〕A.x3+X3=X6 B.x4+X3=X2、81義27可以記為〔〕A.93 B.36 C.373、a5可以等于〔〕A.(-a)2?(-a)3 B.(—a)?(-a)44、計算-b2?(-b3)2的結果是〔〕A.-b8 B.-b11 C.b8〔4〕am*an=amn.C.(X5)5=X10 D.x2y3=(xy)5D.312C.(-a2)?a3 D.(-a3)?(-a2)D.b115、在等式a2?a3?()=a10中，括號內的代數(shù)式應當是〔〕10

A.a4A.a4 B.a5C.a6D.a76、假設n是正整數(shù)，當a=-1時，-(-a2n)2n+1等于1)A.1 B.-1 C.0 D.1或一17、計算(x2?xn-1?x1+n)3的結果為( )Cx12n8、8、a6=( )3, (a4)32=，-(2ab2)3=9、已知am=2an=3，則am+n=；已知4x=2x+3，則x=.10、計算：［1)Ix2)=；〔2)(x2y)=；［3〕02).(-a)=11、以下各式中，正確的選項是［ )m4?m4=m8 B.m5?m5=2m25)B.(-)B.(-2a2)4=16a8A.(xc-y)」=(x-yXC.f-1m2J-m6n3I3 ) 2713、已知n是大于1的自然數(shù)，則(-c)n-1?(-c)n+1等于 ( )A.(-J21-2nc C.-c2n D.A.(-J2114、以下運算中與a4?a4結果相同的是(a2a2?a8(a2)4c.a4)15、用簡便方法計算(1)(2)(1)(2)200(kG.5)1999X(-1)1999^3(2)f7\11f9\11119J116J(-1)1116、已知3X9mX27m=316,求m的值.1117、假設22義16n=(22)9,解關于X的方程nx+4=2.18、假設2m=5,2n-6，求2m+2n的值.§2指數(shù)擴充及其運算性質1、將b寫成分數(shù)指數(shù)幕的形式：〔1〕b3-4； 〔2〕b-2-5； 〔3〕bm-42n.2、將分數(shù)指數(shù)幕寫成根式的形式：113 2〔1〕82； 〔2〕273； 〔3〕42； 〔4〕1253.3、將根式寫成分數(shù)指數(shù)幕的形式：〔1〕3x2； 〔2〕'； 〔3〕式a一b)3； 〔4〕3m2+n2.4、計算:1212 3 1⑴1002； 〔2〕643； 〔3〕9-2； 〔4〕81-4.5、已知10&=5、已知10&=3,10P6、§3指數(shù)函數(shù)1、已知1>n>m>0，則指數(shù)函數(shù)1.y=mx,2.y=n的圖像為〔 〕2、如圖是指數(shù)y=ax,y=bx，y=ex，y=dx函數(shù)的圖像則a,b,c,d的關系是B.b<a<1<d<cD.a<b<1<d<c3、已知a>%獻，則2a吃a的大小關系是〔〕A.B.A.B.C.D.4、假設-1<a<0,S=2a,P=2-a,Q=0.2a,則以下選項成立的是〔 〕13

S>P>S>P>QP>Q>SQ>P>SS>Q>P（1、-1.55、設y=4o.9,y=8o.48,y=-，則〔1 2 3 12）y3>yi>y2y2>yi>y3yi>y3>y2D.yi>y2>y36、假設32x+9=10?3X，那么X2+1的值為〔〕A.1 B.2 C.5 D.1或57、已知a=O.80.9,b=O.90.8,c=0.8。8則a,b,c的大小關系為8、解方程32x-2?3x-3=0.對數(shù)及其運算1、把以下指數(shù)式寫成對數(shù)式：〔1〕23=8 〔2〕2-1=12〔3〕273=3 ⑷(3)根=5.732、把以下對數(shù)式寫成指數(shù)式：〔1〕10g39=2 〔2〕10g5125=3TOC\o"1-5"\h\z? 1c . 1〔3〕log =-2 〔4〕log =-424 3813、求以下各式中x的值：2〔1〕logx=-〔2〕log8=664 3x〔3〕lg100=x〔4〕lne2=x4、求以下各式的值：〔1〕log125〔2〕i 1log—5216〔3〕lg1000〔4〕lg0.00114

〔6〕10g04〔6〕10g041⑻101g105⑺210g245、基礎練習⑴1g2+1g5= 〔2〕1og318-1og32=6、加強穩(wěn)固〔1〕1og.2+10g1個+10g.20-1og.41g2+1g5-1g81g50-1g40〔3〕71g14-21g3+1g7-1g181g4+1g5-121g0.5+1g8〔5〕1g22+1g2-1g5+1g5〔6〕101g3-101og1+兀10ggX2V7、已知a=1ogx,b=1ogv,c=1ogz，請分別用a,b,c表示式子1og(x2y),1og(9%y)2,1og .2 2 2 2 2 23Z15§4.2換底公式1、求以下各式的值：⑴log_27 ⑵log9273⑷1g243 ⑸log9.log321g9 8 9⑶log/4⑹10g916-log32812、加強穩(wěn)固(1)logJ2+log27+4%132 9(2)(log43+10g'訓叫2+10g92)3、綜合應用〔1〕設1g2=a,1g3=b，試用a、

b表示1g2，10g34，10g512.16〔2〕已知3x=4y=36求2+—.§5對數(shù)函數(shù)1、求以下函數(shù)的定義域：⑴y=log（X+D； ⑵y=logC；2 2X—1⑶y=10g3yx+1； ⑷y=Jlog2X.2、求以下函數(shù)的反函數(shù)：（i）y=1og2x； 〔2〕y=log1x；⑶y=3x；（5）y=10g2（x-1）；⑷y=2x；⑹y—52x.3、比較各題中各數(shù)的大?。孩?0g23，log/；⑵10go.22，1og0.20」；⑶10g23，log32；〔4〕10g21og3（a〉0,a豐1）17

4、已知函數(shù)f(xx，—xl；g2；<>1，則f[〃2)]=2, 12x-1—2,x<15、已知函數(shù)f(x)=| , 1,且f(a)=—3，則f(6—a)=I—log(x+1),x>1I2第三章指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單元測試卷總分值150分，考試時間120分鐘一、選擇題〔每題6分，共60分.〕1.已知x,y為正實數(shù)，則(A.C.2lgx+lgy=2lgx+2lgy2lgx,lgy=2lgx+2lgyA.C.2lgx+lgy=2lgx+2lgy2lgx,lgy=2lgx+2lgyB.D.2lg(x+y)=2lgx?2