2023年江蘇省高考數(shù)學(xué)信息卷(二-解析版)

PAGEPAGE72023高考數(shù)學(xué)信息卷二一、填空題1.，且，那么的值為.2.函數(shù)的定義域為R.，對任意的R，，那么的解集為.提示：設(shè)，,故在R上為增函數(shù).又，由，即，得.3.設(shè)點是內(nèi)一點〔不包括邊界〕，且，那么的取值范圍是.提示：,點在直線系上，點到直線系上點的距離取值范圍是.4.數(shù)列{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5，…}的首項是1，隨后兩項都是2，接下來3項都是3，再接下來4項都是4，…，以此類推，假設(shè)，那么=211.提示：∵，.5.點是雙曲線右支上一點，、分別是雙曲線的左、右焦點.為內(nèi)心，假設(shè)，那么雙曲線的離心率為2.提示：,.6.如圖，在中，在斜邊上，,那么的值為24.7.各項都為正數(shù)的數(shù)列，其前項的和為，且，假設(shè)，且數(shù)列的前項的和為，那么=.提示：，,，,.二、解答題1.如圖，以為始邊作角，它們的終邊分別與單位圓相交于點P、Q,點P的坐標(biāo)為(1)求的值；(2)假設(shè)求的值.解：(1)由三角函數(shù)的定義得那么原式=(2)，，2.如圖①三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，，，M,N分別是的中點.求證：;求證：.證明：(1)如圖②,連接,顯然AC1過點N.M,N分別是的中點，又,,.(2)三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，,是正方形.,又的中點,.，.3．煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵而污染環(huán)境。落在地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪的距離成反比，現(xiàn)有兩座煙囪相距10㎞，甲煙囪噴出的煙塵濃度是乙煙囪的2倍，在距甲煙囪1km處的煙塵濃度為2個單位/,現(xiàn)要在甲、乙兩煙囪之間建一所學(xué)校，問學(xué)校建在何處，煙塵對學(xué)校的影響最??？解：設(shè)學(xué)校建立在離甲煙囪處，那么該處甲、乙兩煙囪的煙塵濃度分別為那么在該處的煙塵濃度由所以，.當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，故學(xué)校應(yīng)建立在離甲煙囪處煙塵對學(xué)校的影響最小.4．,(1)求以雙曲線的頂點為焦點，焦點為頂點的橢圓E的方程.(2)點P在橢圓E上，點C(2,1)關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為D，直線CP和DP的斜率都存在且不為0，試問直線CP和DP的斜率之積是否為定值？假設(shè)是，求此定值;假設(shè)不是，請說明理由.(3)平行于CD的直線交橢圓E于M、N兩點，求面積的最大值，并求此時直線的方程.解：(2)依題意得D點的坐標(biāo)為〔-2，-1〕，且D點在橢圓E上，直線CP和DP的斜率KCP和KDP均存在，設(shè)P(x,y),..(3)直線CD的斜率為，CD平行于直線，設(shè)直線的方程為由，消去，整理得，,.點C到直線MN的距離為當(dāng)且僅當(dāng)5.(1)兩個等比數(shù)列，，滿足.假設(shè)數(shù)列唯一，求的值；(2)是否存在兩個等比數(shù)列，，使得成公差不為0的等差數(shù)列？假設(shè)存在，求，的通項公式；假設(shè)不存在，說明理由.解：(1)設(shè)的公比為，那么.由成等比數(shù)列得，即.〔〕由得，故方程〔〕有兩個不同的實根.再由唯一，知方程必有一根為0，將代入方程得.(2)假設(shè)存在兩個等比數(shù)列，，使得成公差不為0的等差數(shù)列，設(shè)的公比為，的公比為.那么，，.由成等差數(shù)列得即(*)-(**)得.由得或.當(dāng)時，由(*)(**)得或，這時，與公差不為0矛盾.當(dāng)時，由(*)(**)得或，這時，與公差不為0矛盾.綜上所述，不存在兩個等比數(shù)列，，使得成公差不為0的等差數(shù)列.6.函數(shù),其中.(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)假設(shè)，求函數(shù)的最值；(3)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，假設(shè)對于任意的，總存在唯一的，使得成立，試求m的取值范圍.解：〔1〕那么當(dāng)時，知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在及上單調(diào)遞減；當(dāng)時，知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在及上單調(diào)遞增.(2)由，可得..由(1)知，當(dāng)，，函數(shù)在上是減函數(shù)，而函數(shù)在上也是減函數(shù)，故當(dāng)時，函數(shù)取得最大值.當(dāng)時,函數(shù)取得最小值.(3)當(dāng)時，由于，那么，由(1)知，此時函數(shù)在上是減函數(shù)，從而假設(shè)時，由于，那么==，易知在上單調(diào)遞增，從而.要使成立，只需，即成立即可,設(shè)那么易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，故，所以.三、理科附加題1.為拉動經(jīng)濟(jì)增長，某市決定新建一批重點工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類，這三類工程所含工程個數(shù)分別占總數(shù)的現(xiàn)在3名工人獨立地從中任意一個工程參與建設(shè).(1)求他們選擇的工程所屬類別互不相同的概率.(2)記X為3人中選擇的工程所屬于重點工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.解：記第i名工人選擇的工程屬于根底設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件Ai，Bi，Ci，i=1，2，3.由題意，知A1，A2，A3相互獨立，B1，B2，B3相互獨立，C1，C2，C3相互獨立,Ai，Bj，Ck(i,j,k=1,2,3,且i,j,k互不相同)相互獨立，且P(Ai)=,P(Bj)=,P(Ck)=.他們選擇的工程所屬類別互不相同的概率P=3!P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3)=設(shè)3名工人中選擇的工程屬于民生工程的人數(shù)為，由所以故X的分布列是X的數(shù)學(xué)期望是.2.函數(shù).(1)當(dāng)曲線在點處的切線與直線平行時，求a的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：,(1)由題意可得解得，因為此時在點處的切線方程為，即與直線平行，故所求a的值為3.(2)令得到，由可知.當(dāng)時，.所以，故的單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時