初高中數(shù)學(xué)銜接基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)專(zhuān)題

-.z.初高中數(shù)學(xué)銜接知識(shí)點(diǎn)專(zhuān)題臨洮二中數(shù)學(xué)組董學(xué)峰*專(zhuān)題一數(shù)與式的運(yùn)算【要點(diǎn)回憶】1．絕對(duì)值[1]絕對(duì)值的代數(shù)意義：．即．[2]絕對(duì)值的幾何意義：的距離．[3]兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：表示的距離．[4]兩個(gè)絕對(duì)值不等式:；．2．乘法公式我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了以下一些乘法公式：[1]平方差公式：；[2]完全平方和公式：；[3]完全平方差公式：．我們還可以通過(guò)證明得到以下一些乘法公式：[公式1][公式2](立方和公式)[公式3](立方差公式)說(shuō)明:上述公式均稱(chēng)為"乘法公式〞．3．根式[1]式子叫做二次根式，其性質(zhì)如下：(1)；(2)；(3)；(4)．[2]平方根與算術(shù)平方根的概念：叫做的平方根，記作，其中叫做的算術(shù)平方根．[3]立方根的概念：叫做的立方根，記為4．分式[1]分式的意義形如的式子，假設(shè)B中含有字母，且，則稱(chēng)為分式．當(dāng)M≠0時(shí)，分式具有以下性質(zhì)：〔1〕；〔2〕．[2]繁分式當(dāng)分式的分子、分母中至少有一個(gè)是分式時(shí)，就叫做繁分式，如，說(shuō)明：繁分式的化簡(jiǎn)常用以下兩種方法：(1)利用除法法則；(2)利用分式的根本性質(zhì)．[3]分母〔子〕有理化把分母〔子〕中的根號(hào)化去，叫做分母〔子〕有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過(guò)程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過(guò)程【例題選講】例1解以下不等式：〔1〕〔2〕＞4．例2計(jì)算：〔1〕 〔2〕〔3〕 〔4〕例3，求的值．例4，求的值．例5計(jì)算(沒(méi)有特殊說(shuō)明，本節(jié)中出現(xiàn)的字母均為正數(shù))：〔1〕 〔2〕〔3〕 〔4〕例6設(shè)，求的值．例7化簡(jiǎn)：〔1〕〔2〕〔1〕解法一：原式=解法二：原式=〔2〕解：原式=說(shuō)明：(1)分式的乘除運(yùn)算一般化為乘法進(jìn)展，當(dāng)分子、分母為多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)先因式分解再進(jìn)展約分化簡(jiǎn)；(2)分式的計(jì)算結(jié)果應(yīng)是最簡(jiǎn)分式或整式．【穩(wěn)固練習(xí)】解不等式設(shè)，求代數(shù)式的值．當(dāng)，求的值．設(shè)，求的值．計(jì)算6．化簡(jiǎn)或計(jì)算： (1) (2) (3)(4)*專(zhuān)題二因式分解【要點(diǎn)回憶】因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形．在分式運(yùn)算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用．是一種重要的根本技能．因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，還有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分組分解法等等．1．公式法常用的乘法公式：[1]平方差公式：；[2]完全平方和公式：；[3]完全平方差公式：．[4][5](立方和公式)[6](立方差公式)由于因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過(guò)來(lái)寫(xiě)，運(yùn)用上述公式可以進(jìn)展因式分解．2．分組分解法從前面可以看出，能夠直接運(yùn)用公式法分解的多項(xiàng)式，主要是二項(xiàng)式和三項(xiàng)式．而對(duì)于四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，如既沒(méi)有公式可用，也沒(méi)有公因式可以提?。虼耍梢韵葘⒍囗?xiàng)式分組處理．這種利用分組來(lái)因式分解的方法叫做分組分解法．分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組．常見(jiàn)題型：〔1〕分組后能提取公因式〔2〕分組后能直接運(yùn)用公式3．十字相乘法〔1〕型的因式分解這類(lèi)式子在許多問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點(diǎn)是：①二次項(xiàng)系數(shù)是1；②常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；③一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和．∵，∴運(yùn)用這個(gè)公式，可以把*些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式．〔2〕一般二次三項(xiàng)式型的因式分解由我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)分解成，常數(shù)項(xiàng)分解成，把寫(xiě)成，這里按斜線穿插相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次項(xiàng)系數(shù)，則就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行．這種借助畫(huà)十字穿插線分解系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過(guò)屢次嘗試，才能確定一個(gè)二次三項(xiàng)式能否用十字相乘法分解．4．其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法：〔1〕配方法〔2〕拆、添項(xiàng)法【例題選講】例1〔公式法〕分解因式：(1)；(2)例2〔分組分解法〕分解因式：〔1〕〔2〕例3〔十字相乘法〕把以下各式因式分解：(1)(2)(3) (4)解：〔1〕〔2〕〔3〕分析：把看成的二次三項(xiàng)式，這時(shí)常數(shù)項(xiàng)是，一次項(xiàng)系數(shù)是，把分解成與的積，而，正好是一次項(xiàng)系數(shù)．解：(4)由換元思想，只要把整體看作一個(gè)字母，可不必寫(xiě)出，只當(dāng)作分解二次三項(xiàng)式．解：例4〔十字相乘法〕把以下各式因式分解：(1) ；(2)解：(1) (2) 說(shuō)明：用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式很重要．當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)較困難，具體分解時(shí)，為提高速度，可先對(duì)有關(guān)常數(shù)分解，穿插相乘后，假設(shè)原常數(shù)為負(fù)數(shù)，用減法〞湊〞，看是否符合一次項(xiàng)系數(shù)，否則用加法〞湊〞，先〞湊〞絕對(duì)值，然后調(diào)整，添加正、負(fù)號(hào)．例5〔拆項(xiàng)法〕分解因式【穩(wěn)固練習(xí)】1．把以下各式分解因式：(1) (2)(3) (4) (5)2．，求代數(shù)式的值．3．現(xiàn)給出三個(gè)多項(xiàng)式，，，，請(qǐng)你選擇其中兩個(gè)進(jìn)展加法運(yùn)算，并把結(jié)果因式分解.4．，求證：．*專(zhuān)題三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【要點(diǎn)回憶】1．一元二次方程的根的判斷式一元二次方程，用配方法將其變形為：．由于可以用的取值情況來(lái)判定一元二次方程的根的情況．因此，把叫做一元二次方程的根的判別式，表示為：對(duì)于一元二次方程a*2＋b*＋c＝0〔a≠0〕，有[1]當(dāng)Δ0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：；[2]當(dāng)Δ0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：；[3]當(dāng)Δ0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．2．一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系定理：如果一元二次方程的兩個(gè)根為，則：說(shuō)明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱(chēng)為〞韋達(dá)定理〞．上述定理成立的前提是．特別地，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程*2＋p*＋q＝0，假設(shè)*1，*2是其兩根，由韋達(dá)定理可知*1＋*2＝－p，*1·*2＝q，即p＝－(*1＋*2)，q＝*1·*2，所以，方程*2＋p*＋q＝0可化為*2－(*1＋*2)*＋*1·*2＝0，由于*1，*2是一元二次方程*2＋p*＋q＝0的兩根，所以，*1，*2也是一元二次方程*2－(*1＋*2)*＋*1·*2＝0．因此有以兩個(gè)數(shù)*1，*2為根的一元二次方程〔二次項(xiàng)系數(shù)為1〕是*2－(*1＋*2)*＋*1·*2＝0．【例題選講】例1關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)以下條件，分別求出的范圍： 〔1〕方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； 〔2〕方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 〔3〕方程有實(shí)數(shù)根； 〔4〕方程無(wú)實(shí)數(shù)根．例2實(shí)數(shù)、滿足，試求、的值．例3假設(shè)是方程的兩個(gè)根，試求以下各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)．例4是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(1)是否存在實(shí)數(shù)，使成立？假設(shè)存在，求出的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)求使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)的整數(shù)值．解：(1)假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使成立．∵一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，又是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴∴，但．∴不存在實(shí)數(shù)，使成立．(2)∵∴要使其值是整數(shù)，只需能被4整除，故，注意到，要使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)的整數(shù)值為．【穩(wěn)固練習(xí)】1．假設(shè)是方程的兩個(gè)根，則的值為( ) A． B． C． D．2．假設(shè)是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式的關(guān)系是( ) A． B． C． D．大小關(guān)系不能確定3．設(shè)是方程的兩實(shí)根，是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，則=_____，=_____．4．實(shí)數(shù)滿足，則=_____，=_____，=_____．5．關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于11，求證：關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根．6．假設(shè)是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且都大于1． (1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)假設(shè)，求的值．*專(zhuān)題四平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)、反比例函數(shù)【要點(diǎn)回憶】1．平面直角坐標(biāo)系[1]組成平面直角坐標(biāo)系。叫做軸或橫軸，叫做軸或縱軸，軸與軸統(tǒng)稱(chēng)坐標(biāo)軸，他們的公共原點(diǎn)稱(chēng)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。[2]平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)：對(duì)稱(chēng)點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)直線方程對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)軸軸原點(diǎn)點(diǎn)直線直線直線直線2．函數(shù)圖象[1]一次函數(shù)：稱(chēng)是的一次函數(shù)，記為：(k、b是常數(shù)，k≠0)特別的，當(dāng)=0時(shí)，稱(chēng)是的正比例函數(shù)。[2]正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)y=k*(k是常數(shù)，k≠0)的圖象是的一條直線，當(dāng)時(shí)，圖象過(guò)原點(diǎn)及第一、第三象限，y隨*的增大而；當(dāng)時(shí)，圖象過(guò)原點(diǎn)及第二、第四象限，y隨*的增大而．[3]一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)(k、b是常數(shù)，k≠0)的圖象是過(guò)點(diǎn)(0，b)且與直線y=k*平行的一條直線.設(shè)(k≠0)，則當(dāng)時(shí)，y隨*的增大而；當(dāng)時(shí)，y隨*的增大而．[4]反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)(k≠0)是雙曲線，當(dāng)時(shí)，圖象在第一、第三象限，在每個(gè)象限中，y隨*的增大而；當(dāng)時(shí)，圖象在第二、第四象限.，在每個(gè)象限中，y隨*的增大而．雙曲線是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是直線與；又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心是原點(diǎn)．【例題選講】例1、，根據(jù)以下條件，求出、點(diǎn)坐標(biāo)．(1)、關(guān)于*軸對(duì)稱(chēng)；(2)、關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；(3)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．例2一次函數(shù)y＝k*＋2的圖象過(guò)第一、二、三象限且與*、y軸分別交于、兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，假設(shè)ΔAOB的面積為2，求此一次函數(shù)的表達(dá)式。例3如圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)．〔1〕求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；〔2〕根據(jù)圖象答復(fù)：當(dāng)取何值時(shí)，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值．解：〔1〕在的圖象上，，又在的圖象上，，即，解得：，，反比例函數(shù)的解析式為，一次函數(shù)的解析式為，〔2〕從圖象上可知，當(dāng)或時(shí)，反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象的上方，所以反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值。【穩(wěn)固練習(xí)】1．函數(shù)與在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可以是〔〕2．如圖，平行四邊形ABCD中，A在坐標(biāo)原點(diǎn)，D在第一象限角平分線上，又知，，求點(diǎn)的坐標(biāo)．3．如圖，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．〔1〕求的值；〔2〕過(guò)原點(diǎn)的另一條直線交雙曲線于兩點(diǎn)〔點(diǎn)在第一象限〕，假設(shè)由點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．*專(zhuān)題五二次函數(shù)【要點(diǎn)回憶】1．二次函數(shù)y＝a*2＋b*＋c的圖像和性質(zhì)問(wèn)題[1]函數(shù)y＝a*2與y＝*2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？問(wèn)題[2]函數(shù)y＝a(*＋h)2＋k與y＝a*2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)y＝a*2＋b*＋c(a≠0)的圖象的方法：由于y＝a*2＋b*＋c＝a(*2＋)＋c＝a(*2＋＋)＋c－，所以，y＝a*2＋b*＋c(a≠0)的圖象可以看作是將函數(shù)y＝a*2的圖象作左右平移、上下平移得到的，二次函數(shù)y＝a*2＋b*＋c(a≠0)具有以下性質(zhì)：[1]當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y＝a*2＋b*＋c圖象開(kāi)口方向；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為直線；當(dāng)時(shí)，y隨著*的增大而；當(dāng)時(shí)，y隨著*的增大而；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值．[2]當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y＝a*2＋b*＋c圖象開(kāi)口方向；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為直線；當(dāng)時(shí)，y隨著*的增大而；當(dāng)時(shí)，y隨著*的增大而；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值．上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過(guò)上圖直觀地表示出來(lái)．因此，在今后解決二次函數(shù)問(wèn)題時(shí)，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)解決問(wèn)題．2．二次函數(shù)的三種表示方式[1]二次函數(shù)的三種表示方式：〔1〕．一般式：；〔2〕．頂點(diǎn)式：；〔3〕．交點(diǎn)式：．說(shuō)明：確定二此函數(shù)的關(guān)系式的一般方法是待定系數(shù)法，在選擇把二次函數(shù)的關(guān)系式設(shè)成什么形式時(shí)，可根據(jù)題目中的條件靈活選擇，以簡(jiǎn)單為原則．二次函數(shù)的關(guān)系式可設(shè)如下三種形式：①給出三點(diǎn)坐標(biāo)可利用一般式來(lái)求；②給出兩點(diǎn)，且其中一點(diǎn)為頂點(diǎn)時(shí)可利用頂點(diǎn)式來(lái)求．③給出三點(diǎn)，其中兩點(diǎn)為與*軸的兩個(gè)交點(diǎn).時(shí)可利用交點(diǎn)式來(lái)求．3．分段函數(shù)一般地，如果自變量在不同取值范圍內(nèi)時(shí)，函數(shù)由不同的解析式給出，這種函數(shù)，叫作分段函數(shù)．【例題選講】例1求二次函數(shù)y＝－3*2－6*＋1圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大值〔或最小值〕，并指出當(dāng)*取何值時(shí)，y隨*的增大而增大〔或減小〕？并畫(huà)出該函數(shù)的圖象．例2*種產(chǎn)品的本錢(qián)是120元/件，試銷(xiāo)階段每件產(chǎn)品的售價(jià)*〔元〕與產(chǎn)品的日銷(xiāo)售量y〔件〕之間關(guān)系如下表所示：*/元130150165y/件705035假設(shè)日銷(xiāo)售量y是銷(xiāo)售價(jià)*的一次函數(shù)，則，要使每天所獲得最大的利潤(rùn)，每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少？例3函數(shù)，其中，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量*的值．例4根據(jù)以下條件，分別求出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式．〔1〕*二次函數(shù)的最大值為2，圖像的頂點(diǎn)在直線y＝*＋1上，并且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)〔3，－1〕；〔2〕二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，且頂點(diǎn)到*軸的距離等于2；〔3〕二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)．例5在國(guó)內(nèi)投遞外埠平信，每封信不超過(guò)20g付郵資80分，超過(guò)20g不超過(guò)40g付郵資160分，超過(guò)40g不超過(guò)60g付郵資240分，依此類(lèi)推，每封*g(0＜*≤100)的信應(yīng)付多少郵資〔單位：分〕？寫(xiě)出函數(shù)表達(dá)式，作出函數(shù)圖象．分析：由于當(dāng)自變量*在各個(gè)不同的范圍內(nèi)時(shí)，應(yīng)付郵資的數(shù)量是不同的．所以，可以用分段函數(shù)給出其對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．在解題時(shí)，需要注意的是，當(dāng)*在各個(gè)小范圍內(nèi)〔如20＜*≤40〕變化時(shí)，它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值〔郵資〕并不變化〔都是160分〕．解：設(shè)每封信的郵資為y〔單位：分〕，則y是*的函數(shù)．這個(gè)函數(shù)的解析式為由上述的函數(shù)解析式，可以得到其圖象如下列圖．【穩(wěn)固練習(xí)】1．選擇題：〔1〕把函數(shù)y＝－(*－1)2＋4的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是〔〕〔A〕〔－1，4〕〔B〕〔－1，－4〕〔C〕〔1，－4〕〔D〕〔1，4〕〔2〕函數(shù)y＝－*2＋4*＋6的最值情況是〔〕〔A〕有最大值6〔B〕有最小值6〔C〕有最大值10〔D〕有最大值2〔3〕函數(shù)y＝2*2＋4*－5中，當(dāng)－3≤*＜2時(shí)，則y值的取值范圍是〔〕〔A〕－3≤y≤1〔B〕－7≤y≤1〔C〕－7≤y≤11〔D〕－7≤y＜112．填空：〔1〕*二次函數(shù)的圖象與*軸交于A(－2，0)，B(1，0)，且過(guò)點(diǎn)C〔2，4〕，則該二次函數(shù)的表達(dá)式為．〔2〕*二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)〔－1，0〕，〔0，3〕，〔1，4〕，則該函數(shù)的表達(dá)式為．3．根據(jù)以下條件，分別求出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式．〔1〕二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔0，〕，B〔1，0〕，C〔，2〕；〔2〕拋物線的頂點(diǎn)為〔1，〕，且與y軸交于點(diǎn)〔0，1〕；〔3〕拋物線與*軸交于點(diǎn)M〔，0〕，〔5，0〕，且與y軸交于點(diǎn)〔0，〕；〔4〕拋物線的頂點(diǎn)為〔3，〕，且與*軸兩交點(diǎn)間的距離為4．4．如圖，*農(nóng)民要用12m的竹籬笆在墻邊圍出一塊一面為墻、另三面為籬笆的矩形地供他圈養(yǎng)小雞．墻的長(zhǎng)度為6m，問(wèn)怎樣圍才能使得該矩形面積最大？5．如下列圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的邊上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，從點(diǎn)A出發(fā)沿折線ABCD移動(dòng)一周后，回到A點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)A移動(dòng)的路程為*，ΔPAC的面積為y．〔1〕求函數(shù)y的解析式；〔2〕畫(huà)出函數(shù)y的圖像；〔3〕求函數(shù)y的取值范圍．*專(zhuān)題六二次函數(shù)的最值問(wèn)題【要點(diǎn)回憶】1．二次函數(shù)的最值．二次函數(shù)在自變量取任意實(shí)數(shù)時(shí)的最值情況(當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得最小值，無(wú)最大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得最大值，無(wú)最小值．2．二次函數(shù)最大值或最小值的求法．第一步確定a的符號(hào)，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步配方求頂點(diǎn)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為對(duì)應(yīng)的最大值或最小值．3．求二次函數(shù)在*一范圍內(nèi)的最值．如：在〔其中〕的最值．第一步：先通過(guò)配方，求出函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸：；第二步：討論：[1]假設(shè)時(shí)求最小值或時(shí)求最大值，需分三種情況討論：①對(duì)稱(chēng)軸小于即，即對(duì)稱(chēng)軸在的左側(cè)；②對(duì)稱(chēng)軸，即對(duì)稱(chēng)軸在的內(nèi)部；③對(duì)稱(chēng)軸大于即，即對(duì)稱(chēng)軸在的右側(cè)。[2]假設(shè)時(shí)求最大值或時(shí)求最小值，需分兩種情況討論：①對(duì)稱(chēng)軸，即對(duì)稱(chēng)軸在的中點(diǎn)的左側(cè)；②對(duì)稱(chēng)軸，即對(duì)稱(chēng)軸在的中點(diǎn)的右側(cè)；說(shuō)明：求二次函數(shù)在*一范圍內(nèi)的最值，要注意對(duì)稱(chēng)軸與自變量的取值范圍相應(yīng)位置，具體情況，參考例4?！纠}選講】例1求以下函數(shù)的最大值或最小值．〔1〕；〔2〕．例2當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值．例3當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的取值范圍．例4當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值(其中為常數(shù))．分析：由于所給的范圍隨著的變化而變化，所以需要比較對(duì)稱(chēng)軸與其范圍的相對(duì)位置．解：函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為．畫(huà)出其草圖．(1)當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在所給范圍左側(cè)．即時(shí)：當(dāng)時(shí)，；(2)當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在所給范圍之間．即時(shí)： 當(dāng)時(shí)，；(3)當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在所給范圍右側(cè)．即時(shí)：當(dāng)時(shí)，．綜上所述：例5*商場(chǎng)以每件30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，試銷(xiāo)中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷(xiāo)售量(件)與每件的銷(xiāo)售價(jià)(元)滿足一次函數(shù)．(1)寫(xiě)出商場(chǎng)賣(mài)這種商品每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)與每件銷(xiāo)售價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)假設(shè)商場(chǎng)要想每天獲得最大銷(xiāo)售利潤(rùn)，每件商品的售價(jià)定為多少最適宜？最大銷(xiāo)售利潤(rùn)為多少？【穩(wěn)固練習(xí)】1．拋物線，當(dāng)=_____時(shí)，圖象的頂點(diǎn)在軸上；當(dāng)=_____時(shí)，圖象的頂點(diǎn)在軸上；當(dāng)=_____時(shí)，圖象過(guò)原點(diǎn)．2．用一長(zhǎng)度為米的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形或正方形，則其所圍成的最大面積為_(kāi)_______．3．設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是，最大值是0，求的值．4．函數(shù)在上的最大值為4，求的值．5．求關(guān)于的二次函數(shù)在上的最大值(為常數(shù))．*專(zhuān)題七不等式【要點(diǎn)回憶】1．一元二次不等式及其解法[1]定義：形如為關(guān)于的一元二次不等式．[2]一元二次不等式與二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系(簡(jiǎn)稱(chēng)：三個(gè)二次)．〔ⅰ〕一般地，一元二次不等式可以結(jié)合相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程求解，步驟如下：(1)將二次項(xiàng)系數(shù)先化為正數(shù)；(2)觀測(cè)相應(yīng)的二次函數(shù)圖象．①如果圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(也可由根的判別式來(lái)判斷)．則②如果圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(也可由根的判別式來(lái)判斷)．則：③如果圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根(也可由根的判別式來(lái)判斷)．則：〔ⅱ〕解一元二次不等式的步驟是：(1)化二次項(xiàng)系數(shù)為正；(2)假設(shè)二次三項(xiàng)式能分解成兩個(gè)一次因式的積，則求出兩根．則"〞型的解為(俗稱(chēng)兩根之外)；"〞型的解為(俗稱(chēng)兩根之間)；(3)否則，對(duì)二次三項(xiàng)式進(jìn)展配方，變成，結(jié)合完全平方式為非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解．2．簡(jiǎn)單分式不等式的解法解簡(jiǎn)單的分式不等式的方法：對(duì)簡(jiǎn)單分式不等式進(jìn)展等價(jià)轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為整式不等式，應(yīng)當(dāng)注意分母不為零.3．含有字母系數(shù)的一元一次不等式一元一次不等式最終可以化為的形式．[1]當(dāng)時(shí)，不等式的解為：；[2]當(dāng)時(shí)，不等式的解為：；[3]當(dāng)時(shí)，不等式化為：；①假設(shè)，則不等式的解是全體實(shí)數(shù)；②假設(shè)，則不等式無(wú)解．【例題選講】例1解以下不等式：(1) (2)⑴解法一：原不等式可以化為：，于是：或所以，原不等式的解是．解法二：解相應(yīng)的方程得：，所以原不等式的解是．(2)解法一：原不等式可化為：，即于是：，所以原不等式的解是．解法二：原不等式可化為：，即，解相應(yīng)方程，得，所以原不等式的解是．說(shuō)明：解一元二次不等式，實(shí)際就是先解相應(yīng)的一元二次方程，然后再根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷出不等式的解．例2解以下不等式：(1) (2) (3)例3對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒為正數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例4解以下不等式： (1) (2)例5求關(guān)于的不等式的解．解：原不等式可化為：(1)當(dāng)時(shí)，，不等式的解為；(2)當(dāng)時(shí)，．①時(shí)，不等式的解為；②時(shí)，不等式的解為；③時(shí)，不等式的解為全體實(shí)數(shù)．(3)當(dāng)時(shí)，不等式無(wú)解．綜上所述：當(dāng)或時(shí)，不等式的解為；當(dāng)時(shí)，不等式的解為；當(dāng)時(shí)，不等式的解為全體實(shí)數(shù)；當(dāng)時(shí)，不等式無(wú)解．【穩(wěn)固練習(xí)】1．解以下不等式： (1) (2) (3) (4)2．解以下不等式： (1) (2)(3) (4)3．解以下不等式： (1) (2)4．解關(guān)于的不等式．5．關(guān)于的不等式的解是一切實(shí)數(shù)，求的取值范圍．6．假設(shè)不等式的解是，求的值．7．取何值時(shí)，代數(shù)式的值不小于0？●各專(zhuān)題參考答案●專(zhuān)題一數(shù)與式的運(yùn)算參考答案例1〔1〕解法1：由，得；①假設(shè)，不等式可變?yōu)?，即；②假設(shè)，不等式可變?yōu)椋?，解得：．綜上所述，原不等式的解為．解法2：表示*軸上坐標(biāo)為*的點(diǎn)到坐標(biāo)為2的點(diǎn)之間的距離，所以不等式的幾何意義即為*軸上坐標(biāo)為*的點(diǎn)到坐標(biāo)為2的點(diǎn)之間的距離小于1，觀察數(shù)軸可知坐標(biāo)為*的點(diǎn)在坐標(biāo)為3的點(diǎn)的左側(cè)，在坐標(biāo)為1的點(diǎn)的右側(cè)．所以原不等式的解為．解法3：，所以原不等式的解為．〔2〕解法一：由，得；由，得；①假設(shè)，不等式可變?yōu)椋矗?，解得*＜0，又*＜1，∴*＜0；②假設(shè)，不等式可變?yōu)椋?＞4，∴不存在滿足條件的*；③假設(shè)，不等式可變?yōu)?，即?，解得*＞4．又*≥3，∴*＞4．綜上所述，原不等式的解為*＜0，或*＞4．解法二：如圖，表示*軸上坐標(biāo)為*的點(diǎn)P到坐標(biāo)為1的點(diǎn)A之間的距離|PA|，即|PA|＝|*－1|；|*－3|表示*軸上點(diǎn)P到坐標(biāo)為2的點(diǎn)B之間的距離|PB|，即|PB|＝|*－3|．所以，不等式＞4的幾何意義即為|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2，可知點(diǎn)P在點(diǎn)C(坐標(biāo)為0)的左側(cè)、或點(diǎn)P在點(diǎn)D(坐標(biāo)為4)的右側(cè)．所以原不等式的解為*＜0，或*＞4．例2〔1〕解：原式=說(shuō)明：多項(xiàng)式乘法的結(jié)果一般是按*個(gè)字母的降冪或升冪排列．〔2〕原式=〔3〕原式=〔4〕原式=例3解：原式=例4解：原式=①②，把②代入①得原式=例5解：〔1〕原式= 〔2〕原式=說(shuō)明：注意性質(zhì)的使用：當(dāng)化去絕對(duì)值符號(hào)但字母的范圍未知時(shí)，要對(duì)字母的取值分類(lèi)討論．〔3〕原式=〔4〕原式=例6解：原式=說(shuō)明：有關(guān)代數(shù)式的求值問(wèn)題：(1)先化簡(jiǎn)后求值；(2)當(dāng)直接代入運(yùn)算較復(fù)雜時(shí)，可根據(jù)結(jié)論的構(gòu)造特點(diǎn)，倒推幾步，再代入條件，有時(shí)整體代入可簡(jiǎn)化計(jì)算量．【穩(wěn)固練習(xí)】1．2．3．或 4．5．6．專(zhuān)題二因式分解答案例1分析：(1)中應(yīng)先提取公因式再進(jìn)一步分解；(2)中提取公因式后，括號(hào)內(nèi)出現(xiàn)，可看著是或．解：(1)．(2)例2〔1〕分析：按照原先分組方式，無(wú)公因式可提，需要把括號(hào)翻開(kāi)后重新分組，然后再分解因式．解：〔2〕分析：先將系數(shù)2提出后，得到，其中前三項(xiàng)作為一組，它是一個(gè)完全平方式，再和第四項(xiàng)形成平方差形式，可繼續(xù)分解因式．解：例5解：【穩(wěn)固練習(xí)】1．．2．；3．其他情況如下：；.4．專(zhuān)題三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系習(xí)題答案例1解：∵，∴(1)；(2)； (3)；(4)．例2解：可以把所給方程看作為關(guān)于的方程，整理得：由于是實(shí)數(shù)，所以上述方程有實(shí)數(shù)根，因此：，代入原方程得：．綜上知：例3解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：(1)(2)(3)(4)說(shuō)明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：，，，等等．韋達(dá)定理表達(dá)了整體思想．【穩(wěn)固練習(xí)】1．A；2．A；3．；4．；5． (1)當(dāng)時(shí)，方程為，有實(shí)根；(2)當(dāng)時(shí)，也有實(shí)根．6．(1)； (2)．專(zhuān)題四平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)、反比例函數(shù)參考答案例1解：(1)因?yàn)?、關(guān)于*軸對(duì)稱(chēng)，它們橫坐標(biāo)一樣，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，所以，，則、．(2)因?yàn)椤㈥P(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，它們橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)一樣，所以，，，則、．(3)因?yàn)?、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，它們的橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，所以，，則、．例2分析：因?yàn)橹本€過(guò)第一、三象限，所以可知k>0，又因?yàn)閎＝2，所以直線與y軸交于〔0，2〕，即可知OB＝2，而ΔAOB的面積為2，由此可推算出OA＝2，而直線過(guò)第二象限，所以A點(diǎn)坐標(biāo)為〔－2，0〕，由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)可求出此一次函數(shù)的表達(dá)式。解：∵B是直線y＝k*＋2與y軸交點(diǎn)，∴B〔0，2〕，∴OB＝2，，過(guò)第二象限，【穩(wěn)固練習(xí)】1．B2．D(2，2)、C(8，2)、B(6，0)．3．〔1〕．〔2〕點(diǎn)的坐標(biāo)是或．專(zhuān)題五二次函數(shù)參考答案例1解：∵y＝－3*2－6*＋1＝－3(*＋1)2＋4，∴函數(shù)圖象的開(kāi)口向下；對(duì)稱(chēng)軸是直線*＝－1；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，4)；當(dāng)*＝－1時(shí)，函數(shù)y取最大值y＝4；當(dāng)*＜－1時(shí)，y隨著*的增大而增大；當(dāng)*＞－1時(shí)，y隨著*的增大而減?。徊捎妹椟c(diǎn)法畫(huà)圖，選頂點(diǎn)A(－1，4))，與*軸交于點(diǎn)B和C，與y軸的交點(diǎn)為D(0，1)，過(guò)這五點(diǎn)畫(huà)出圖象〔如圖2－5所示〕．說(shuō)明：從這個(gè)例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫(huà)函數(shù)的圖象，可以直接選出關(guān)鍵點(diǎn)，減少了選點(diǎn)的盲目性，使畫(huà)圖更簡(jiǎn)便、圖象更準(zhǔn)確．例2分析：由于每天的利潤(rùn)＝日銷(xiāo)售量y×(銷(xiāo)售價(jià)*－120)，日銷(xiāo)售量y又是銷(xiāo)售價(jià)*的一次函數(shù)，所以，欲求每天所獲得的利潤(rùn)最大值，首先需要求出每天的利潤(rùn)與銷(xiāo)售價(jià)*之間的函數(shù)關(guān)系，然后，再由它們之間的函數(shù)關(guān)系求出每天利潤(rùn)的最大值．解：由于y是*的一次函數(shù)，于是，設(shè)y＝k*＋〔B〕，將*＝130，y＝70；*＝150，y＝50代入方程，有解得k＝－1，b＝200．∴y＝－*＋200．設(shè)每天的利潤(rùn)為z〔元〕，則z＝(－*+200)(*－120)＝－*2＋320*－24000＝－(*－160)2＋1600，∴當(dāng)*＝160時(shí)，z取最大值1600．答：當(dāng)售價(jià)為160元/件時(shí)，每天的利潤(rùn)最大，為1600元．例3分析：本例中函數(shù)自變量的范圍是一個(gè)變化的范圍，需要對(duì)a的取值進(jìn)展討論．解：〔1〕當(dāng)a＝－2時(shí)，函數(shù)y＝*2的圖象僅僅對(duì)應(yīng)著一個(gè)點(diǎn)(－2，4)，所以，函數(shù)的最大值和最小值都是4，此時(shí)*＝－2；〔2〕當(dāng)－2＜a＜0時(shí)，由圖2．2－6①可知，當(dāng)*＝－2時(shí)，函數(shù)取最大值y＝4；當(dāng)*＝a時(shí)，函數(shù)取最小值y＝a2；〔3〕當(dāng)0≤a＜2時(shí)，由圖2．2－6②可知，當(dāng)*＝－2時(shí)，函數(shù)取最大值y＝4；當(dāng)*＝0時(shí)，函數(shù)取最小值y＝0；〔4〕當(dāng)a≥2時(shí)，由圖2．2－6③可知，當(dāng)*＝a時(shí)，函數(shù)取最大值y＝a2；當(dāng)*＝0時(shí)，函數(shù)取最小值y＝0．說(shuō)明：在本例中，利用了分類(lèi)討論的方法，對(duì)a的所有可能情形進(jìn)展討論．此外，本例中所研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實(shí)數(shù)，而是取局部實(shí)數(shù)來(lái)研究，在解決這一類(lèi)問(wèn)題時(shí)，通常需要借助于函數(shù)圖象來(lái)直觀地解決問(wèn)題．例4〔1〕分析：在解本例時(shí)，要充分利用題目中所給出的條件——最大值、頂點(diǎn)位置，從而可以將二次函數(shù)設(shè)成頂點(diǎn)式，再由函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)來(lái)求解出系數(shù)a．解：∵二次函數(shù)的最大值為2，而最大值一定是其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2．又頂點(diǎn)在直線y＝*＋1上，所以，2＝*＋1，∴*＝1．∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是〔1，2〕．設(shè)該二次函數(shù)的解析式為，∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)〔3，－1〕，∴，解得a＝－2．∴二次函數(shù)的解析式為，即y＝－2*2＋8*－7．說(shuō)明：在解題時(shí)，由最大值確定出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用頂點(diǎn)的位置求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，最終解決了問(wèn)題．因此，在解題時(shí)，要充分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題．〔2〕分析一：由于題目所給的條件中，二次函數(shù)的圖象所過(guò)的兩點(diǎn)實(shí)際上就是二次函數(shù)的圖象與*軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，于是可以將函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成交點(diǎn)式．解法一：∵二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，∴可設(shè)二次函數(shù)為y＝a(*＋3)(*－1)(a≠0)，展開(kāi)，得y＝a*2＋2a*－3a，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，由于二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)到*軸的距離2，∴|－4a|＝2，即a＝．所以，二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝，或分析二：由于二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，所以，對(duì)稱(chēng)軸為直線*＝－1，又由頂點(diǎn)到*軸的距離為2，可知頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，或－2，于是，又可以將二次函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成頂點(diǎn)式來(lái)解，然后再利用圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函數(shù)的表達(dá)式．解法二：∵二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，∴對(duì)稱(chēng)軸為直線*＝－1．又頂點(diǎn)到*軸的距離為2，∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，或－2．于是可設(shè)二次函數(shù)為