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一最小二乘法的基本原理p(x同所給數(shù)據(jù)點(xiyi(i=0,1,…,m)rip(xiyi(i=0,1,…,mrip(xiyi(i=0,1,…,m)絕對值的最大值maxrimr(r,r,r m0 的∞—范數(shù);二是誤差絕對值的和 ,即誤差向量r的mri 的算術(shù)平方根,即誤差向量r的2—范數(shù);前兩mm因此在曲線擬合中常采用誤差平方和i0 r 數(shù)據(jù)擬合的具體作法是:對給定數(shù)據(jù)(xiyi)(i=0,1,…,m),在取定的函數(shù)類p(x,使誤差rip(xi)r mp(x)y2i
=小的曲線yp(x(6-1)p(x合函數(shù)p(x)的方法稱為曲線擬合的最小二乘法。在曲線擬合中,函數(shù)類可有不同的6—項式假設(shè)給定數(shù)據(jù)點(xi,yi)(i=0,1,…,m),為所有次數(shù)不超過n(nm)n
pn(x)k
xk
, m m Ip(x)y2axky
i0k
k i
當(dāng)擬合函數(shù)為多項式時,稱為多項式擬合,滿足式(1)pn(x稱為n=1時,稱為線性擬合或直線擬合。顯 xiI(xii k
kyi)為a0a1,anII(a0a1,anI2m(
axky)xj j0,1,,k 即
km
(xjk xjy j0,1,,ik0
(3)是關(guān)于a0a1,anm
in
yi
0
m
1
xiyi
i0
i0 a
2n
n ii xi xnyii 從式(4)中解出ak(k=0,1,…,n),nkpn(x)akkk 可以證明,式(5)pn(x滿足式(1),pn(xip(x)yi
)
r22
mp(x)y r2yiak(xiyi k m
(j
xij
(j;寫出正規(guī)方程組,求出a0a1,annkpn(x)akk k 在實際應(yīng)用中,nm或nm;當(dāng)nm時所得的擬合多項式就是日或牛i0123456TiRi解畫出散點圖(6-2)n=1,擬合函
Ra0iTi0123456
245.3a 0 9325.83a1 a0故得RT
79.77 a1R79.77 6-例2例 已知實驗數(shù)據(jù)如下i0123456781345678954211234 列表如
ya0a1xa2xIxixixixix2 01111352465768279384得正規(guī)方
32 解a0故擬合多
a1 a2y13.45973.60530.2676x*三最小二乘擬合多項式的存在唯一定理1 設(shè)節(jié)點x0,x1,,xn互異,則法方程組(4)的解存在唯一。證由法則,只需證明方程組(4)的系數(shù)矩陣非奇異即可m m
x i
m
i0
xn1 1xiyi
i0
i0 a
n xn x xiyii0
i 有非零解。式(7) (xjk j0,1,, k0 將式(8)中第j方程乘以aj(j=0,1,…,n),然后將新得到的
aj
)ak0個方程左右兩端分別相加,得因
nan(
j
aaxjk
aji ak
mp(xnj n
kj
x xi) j其
k0 i0j0k npn(x)
j k k所pn(xi) pn(x是次數(shù)不超過n多項式,它有m+1>n相異零點,由代數(shù)基本定理必須有a0a1an0與齊次方程組有非零解的假設(shè)。因此正規(guī)方程組(4)必有唯一解。定理2a0,a1,an是正規(guī)方程nkpn(x)akk k 是滿足式(1)的最小二乘擬合多項式 只需證明,對任意一組數(shù)b0,b1,,bn組成的多項nkQn(x)bkkk Q(x)y2p(x)y即可m
m
Q(x)y2p(x)y
Q(x)p(x)22mQ(x)p(x)p(x)y
02
a
j
a
y
n a
m
a
jb k i jk yixibi0j k j0 i0k 因為ak(k=0,1,…,n)是正規(guī)方程組(4)的解,所以滿足式(2),Q(x)y2p(x)y2 i
ipn(x)為最小二乘擬合多*四多項式擬合中克服正規(guī)方程組的①正規(guī)方程組系數(shù)矩陣的階數(shù)越高,越嚴(yán)重②擬合節(jié)點分布的區(qū)間x0,xm偏離原點越遠(yuǎn) 越嚴(yán)重③xi(i=0,1,…,m)的數(shù)量級相差越大,越嚴(yán)重。①盡量少作高次擬合多項式,而作不同的分段低次②不使用原始節(jié)點作擬合,將節(jié)點分布區(qū)間作平移,使新的節(jié)點xi關(guān)點對稱,可大大降低正規(guī)方程組的條件數(shù),從而減 程度平移為
xi
x0xm,
③對平移后的節(jié)點 (i=0,1,…,m),再作壓縮或擴張?zhí)幚韎ixpx iip2r(m其
(x)ii
,(r是擬合次數(shù) 經(jīng)過這樣調(diào)整可以使i的數(shù)量級不太大也不太特別對于等距節(jié)xix0 (i0,1,m),作式(10)和式(11)兩項變換后規(guī)方程組的系數(shù)矩陣設(shè)A,則對1~4多項式擬合,條件數(shù)都不變換后的條件數(shù)上限表擬合次1234cond2(④在實際應(yīng)用中還可以利用正交多項式求擬合多項式法是構(gòu)造離散正交多項式另法是利用切節(jié)點求出函數(shù)值后再使用正交多項式。這兩種方法都使正規(guī)方程組的系數(shù)矩陣為對角矩陣,從而避免了正規(guī)方程組的。我們只介紹第一種,見第三節(jié)。例如m=19,x0=328,h=1,x1x0+ih,i=0,1,…,19,即節(jié)點布[328,347],作二次多項式①xi構(gòu)造正規(guī)方程組系數(shù)矩陣A0,計算可cond2(A)2.250嚴(yán)重,擬合結(jié)果完全不能用平移變xi
3283472
ixi構(gòu)造正規(guī)方程組系數(shù)矩A1,計cond2(A)1比cond2(A0)降低了13個數(shù)
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