6.探索圖形的奧秘

2014年州市小學(xué)數(shù)學(xué)小課題評(píng)比

南縣小

探索圖形的秘一、問的提出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)經(jīng)常會(huì)碰到極具挑戰(zhàn)的題目一次我就碰到了一道關(guān)于正方體涂色的難題我苦思冥想依舊束手無策這道題讓我們留下了深刻的印象。我們的腦海里就突然冒出一些想法:這樣的題目能不能很快就做對(duì)呢？如果讓別的同學(xué)來做這道題又會(huì)出現(xiàn)什么情況呢？心血來潮，我對(duì)本校六年級(jí)的同學(xué)進(jìn)行了調(diào)查。我們發(fā)下的題目是36個(gè)小正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，表面涂色，把它們拆開。三面涂色最多有（）個(gè)，最少有（）個(gè)。我們共發(fā)下了318張題目單，回收張，回收率。不看不知道一調(diào)查還真嚇一跳有錯(cuò)誤的是314張而正確的居然僅僅只有4張，錯(cuò)誤率達(dá)到正確率只有1.26%如圖，這兩組數(shù)據(jù)是多么鮮明的對(duì)比?。×硗?，兩個(gè)填空中，只有一個(gè)空格對(duì)的共有個(gè)，第一個(gè)空格對(duì)的有16個(gè)第二個(gè)填空對(duì)的有10個(gè)第一個(gè)空格填8的有151個(gè)占六年級(jí)總?cè)藬?shù)的47.48%，近占一半。第二個(gè)空格填的填的也較多，有47個(gè)。圖1調(diào)查結(jié)果為什么同學(xué)們喜歡填8呢？我們這樣的正方體涂色有沒有什么規(guī)律？為了不要再掉進(jìn)數(shù)學(xué)的“陷阱”。于是，我們小組開始了探究之旅。二、研過程（一）方體的涂色題和規(guī)1從簡(jiǎn)單入手探索棱是2、34各種涂小正方的個(gè)數(shù)用棱長(zhǎng)1cm的小正方體拼大正方體后把它們的表面分別涂上顏色三面、1

兩面、一面以及沒有涂色的小正方體各有多少塊？我們?nèi)四脕硪浊懈畹牟牧?，如馬鈴薯、蘿卜等做成小正方體，再拼成各種大正方體，并把整個(gè)正方體涂上自己喜歡的顏色。棱長(zhǎng)是2厘米的是顯而易見的，8個(gè)面都是三面涂色的。棱長(zhǎng)是3厘米的，如下圖2。三面涂色的小正方體，在原正方體的頂點(diǎn)處一共有個(gè)。兩面涂色的小正方體在原正方體的每條棱的中間位置處12個(gè)。一面涂色的小正方體在原正方體的每個(gè)面的中間位置處一共有6個(gè)。沒有涂色的小正方體在原正方體的中心位置處，一共有1個(gè)。圖2由此，我們就聯(lián)想到棱長(zhǎng)是厘米的正方體，如下圖4。三面涂色的有8個(gè)。兩面涂色的2×12=24個(gè)。一面涂色的4×6=24個(gè)。沒有涂色的有8個(gè)。圖3我們的發(fā)現(xiàn)在研究2、3、4各種涂色小正方體的個(gè)數(shù)與位置有關(guān)系，三面涂色的一定在正方體的三面交界處也就是頂點(diǎn)處都是8個(gè)兩面涂色的小正方體一定在大正方體的兩面交界處面涂色的小正方體只能在每個(gè)面的中間而不能靠邊；沒有涂色的就是在中間處，像是把大正方體“剝?nèi)ヒ粚油馄ぁ焙蟮玫降恼襟w。2探索棱長(zhǎng)是6、78??n所得小正體表面的涂情況，出規(guī)律。在涂涂數(shù)數(shù)后我們利用前面的各種涂色小正方體的個(gè)數(shù)與位置有關(guān)系的發(fā)現(xiàn)，很快得到棱長(zhǎng)分別是5、6的情況。2

表1棱長(zhǎng)

總?cè)嫱可珨?shù)

兩面涂色數(shù)

一面涂色數(shù)

沒有涂色數(shù)數(shù)22×233×344×455×566×6

82764125216

88888

012243648

06245496

0182764??這好像有規(guī)律！我們就火眼金睛開始找隱藏的規(guī)律。發(fā)現(xiàn)了這么幾點(diǎn)：（1）三面涂色數(shù)都是8；（2）兩面涂色數(shù)都是12倍數(shù)，可以以看作12×0，12×，12×2，12×3，12×4；（3）一面涂色的都6的倍數(shù)，可以看6×06×126×226326×42；（4）沒有涂色數(shù)都是立方數(shù)，03，13，23，3，43。發(fā)現(xiàn)了這么多們很興奮們突然冒出了一個(gè)想法能找到通式呢？是那這里計(jì)算的數(shù)據(jù)和原正方體的棱長(zhǎng)有什么關(guān)系呢？當(dāng)棱長(zhǎng)是n涂色情況是怎樣的呢？三面涂色的都在頂點(diǎn)處，每個(gè)頂點(diǎn)處1個(gè)，個(gè)頂點(diǎn)就一共有8，所以三面涂色的是8個(gè)，每條棱上就有（）個(gè)小正方體涂色，共有12條棱就有12（n-2個(gè)面涂色的小正方體每個(gè)面上2共有6個(gè)面共有（n-2）2，各面都沒涂色的小正方體有（n-2）3個(gè)。3延伸思考如圖5，若干個(gè)大小相同的正方體按一定規(guī)律在地面上擺成一個(gè)大正方體，若將露出的表面都涂上顏色（底面不涂色），則棱長(zhǎng)a，三面涂色的小正方體有多少個(gè)？二面涂色的小正方體有多少個(gè)？一面涂色的小正方體有多少個(gè)？各面都沒有涂色的小正方體有多少個(gè)？3

圖4我們小組通過剛才的類似的方法繼續(xù)來研究分析。因?yàn)榈酌娌煌可?，?面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)只剩下4個(gè)兩面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)為每條棱上的（a-2）個(gè)共8條，加上底面上4個(gè)頂點(diǎn)共有（a-2）+4=8a-12。一面涂色的小正方體是每個(gè)面上有(a-2)2個(gè)，5個(gè)面，有2個(gè)，再加上底面上四條棱上的（a-2共有5(a-2)（a-2個(gè)各面沒有涂色的小正方（）3個(gè)加上底面上有(a-2)2個(gè)，共有（a-2）3+(a-2)個(gè)。整理得到表2如下:表2棱長(zhǎng)

總?cè)嫱可珨?shù)

兩面涂色數(shù)

一面涂色數(shù)

沒有涂色數(shù)數(shù)22×233×344×4??a

82764??a3

444??4

41220??8a-12

0928??5(a-2)2+4

0212??（a-2）3（a-2）

+(a-2)2（二）長(zhǎng)方體涂色規(guī)律正方體的規(guī)律知道了那我們?cè)趤砜纯撮L(zhǎng)方體的吧先來看個(gè)長(zhǎng)方體具體例子吧將棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體按一定規(guī)律在地面上擺成一個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬、高分別是米、5米、4米的長(zhǎng)方體，三面涂色的小正方體有多少個(gè)？二面涂色的小正方體有多少個(gè)？一面涂色的小正方體有多少個(gè)？各面都沒有涂色的小正方體有多少個(gè)？根據(jù)一個(gè)長(zhǎng)方體的特征，8個(gè)頂點(diǎn)，4條長(zhǎng)，4條寬，條高，有6個(gè)面，相對(duì)的兩面都完全相同我們得出因?yàn)橹挥许旤c(diǎn)是涂三面的那么涂三個(gè)面的個(gè)數(shù)就是8個(gè)。涂?jī)擅娴氖窃诿織l棱上的，除了頂點(diǎn)上的個(gè)以外的小正方體，4

那么，涂?jī)擅娴木褪?×7-2+4×（）+4×4-2）=40個(gè)，涂一面的就是[（7-2）×（+）×（4-2（5-2）×（）]×2=62個(gè)，沒涂色的就是長(zhǎng)方體的中心，也就是（7-2）×（5-2（4-2）=30個(gè)。1、一般長(zhǎng)方體通過研究計(jì)算我們發(fā)現(xiàn)了長(zhǎng)方體涂色的規(guī)律三面涂色的就是8個(gè)兩面涂色的等于長(zhǎng)、寬、高分別減去2，再分別4積加起來。一面涂色的就等于長(zhǎng)寬高-2在分別相乘之后再乘2全部的減去其他的就是沒涂色的如果用字母a、b、c分別表示長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高。三面涂色的個(gè)數(shù)=8兩面涂色的個(gè)數(shù)=4×（a-2）+4×（b-2）+4（c-2）一面涂色的個(gè)數(shù)=[（a-2）×b-2+（a-2）×c-2）（b-2）×（c-2）]×沒有涂色的個(gè)數(shù)=（a-2）×（b-2）×（c-2圖5但（如上圖6）長(zhǎng)、寬、高中如果有一個(gè)或兩1呢？那就大不相同了。看來這里要想成立，應(yīng)該給a、b、c加個(gè)條件：＞2、b＞2、c＞2。當(dāng)長(zhǎng)、寬、高其中有一個(gè)或兩個(gè)1厘米，我們就要比較特殊，應(yīng)該另當(dāng)別論。2、特殊長(zhǎng)方體像圖6第1個(gè)的長(zhǎng)方體的這樣的涂色頭尾兩個(gè)就是5個(gè)面涂色剩下的都是4面涂色的，小正方形的總個(gè)數(shù)-2。像圖6第2個(gè)的長(zhǎng)方體的這樣的涂色，4面涂色的有4個(gè)，在頭尾各2個(gè)，共4個(gè)4面涂色的，其余都是三面涂色的。像圖6第3個(gè)的長(zhǎng)方體的這樣的涂色4面涂色的有4個(gè)，三面涂色的有不是1的兩個(gè)數(shù)分別減2的差乘2再相加的和面涂色的是把不是的兩個(gè)數(shù)分別減2再相乘。5

（三）何圖形的規(guī)接著讓我們找一找不規(guī)則圖形的規(guī)律吧。用棱長(zhǎng)1cm的小正方體拼成如下幾何體后，把它們的表面分別涂上顏色。圖6第1個(gè)圖形，五面涂色的3個(gè)，三面涂色的1個(gè)。第2個(gè)圖形，五面涂色3個(gè)，四面涂色的3個(gè)，三面涂色1個(gè)，兩面涂色的3個(gè)。第3個(gè)圖形，五面涂色3個(gè)，四面涂色的6個(gè)，三面涂色2個(gè)，兩面涂色的6個(gè)，一面涂色的3個(gè)。我們可以發(fā)現(xiàn)像這樣的規(guī)律搭成的幾何體表面涂色，面涂色的都是3個(gè)，四面涂色的是（層-2）×3，三面涂色的就是方塊總（一面涂色+兩面涂色+四面涂色+五面涂色）,兩面涂色的就是（層-2）×3，一面涂色的就是（層數(shù)-3）×3。三、問解決發(fā)現(xiàn)了以上的這些規(guī)律后，有些難題是不是能迎刃而解呢？再次看開始讓我們大跌眼鏡的題目36個(gè)小正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，表面涂色，把它們拆開。三面涂色最多有（）個(gè)，最少有（）個(gè)。同學(xué)們看到題目中提到“拼成長(zhǎng)方體”，腦子里第一感覺就會(huì)出現(xiàn)如圖，常規(guī)類型的。三面涂色的就在頂點(diǎn)處，8個(gè)頂點(diǎn)，就得三面涂色的是8個(gè)。這就是同學(xué)們?yōu)槭裁聪矚g填8的原因。圖7

常規(guī)型6

此時(shí)，是否還會(huì)想到圖8這樣的類型呢？三面涂色的個(gè)數(shù)=（6-2）×4=16（個(gè)）三面涂色的個(gè)數(shù)=（9-2）×2+（4-2）×2=18（個(gè)）三面涂色的個(gè)數(shù)=（12-2）×2+（3-2）×（個(gè)）三面涂色的個(gè)數(shù)=36-4=32（個(gè)最多的。圖8我們把36個(gè)小正方體拼成一個(gè)×2×18的長(zhǎng)方體讓我們來數(shù)一數(shù)除了長(zhǎng)方體的兩條寬上的四個(gè)小正方體是涂4個(gè)面的，其他都是涂三個(gè)面的。圖9三面涂色的個(gè)數(shù)=0（個(gè)）另外，如圖9，我們把個(gè)正方體拼成一個(gè)1×1×36的長(zhǎng)方體，這樣會(huì)出現(xiàn)什么情況呢？頭尾是兩個(gè)5面的小正方體間都是4個(gè)面的小正方體。這樣不就是0個(gè)了嗎？三面涂色的個(gè)數(shù)=0（個(gè)），這是三面涂色最少的一種。所以，36個(gè)小正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，表面涂色，把它們拆開。三面涂色最多有（32）個(gè)，最少有（0）個(gè)。四、研感想經(jīng)過了這段時(shí)間的調(diào)查、探索研究，我們學(xué)到了很多，正方形、長(zhǎng)方形的涂色規(guī)律，我